云南省保山曙光學(xué)校高二數(shù)學(xué)《數(shù)列的遞推公式》教學(xué)設(shè)計

1、2.1.2數(shù)列的遞推公式一、內(nèi)容及其解析（一）內(nèi)容：數(shù)列的遞推公式（二）解析：這節(jié)課通過對數(shù)列通項(xiàng)公式的正確理解，讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；通過經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運(yùn)用的過程，作好探究性教學(xué).發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提高學(xué)生的分析問題以及解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).教學(xué)難點(diǎn) 理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系.二、目標(biāo)及其解析1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；2.會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).1.經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運(yùn)用的過程;2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性

2、實(shí)驗(yàn);3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.三、問題診斷分析四、教學(xué)過程問題與題例問題：前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義等內(nèi)容， 哪位同學(xué)能談一談什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式？如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.問題：你能舉例說明嗎？如數(shù)列0，1，2，3，的通項(xiàng)公式為an=n-1(nn*);1,1,1的通項(xiàng)公式為an=1(nn*,1n3);1, , , ,的通項(xiàng)公式為an= (nn*).問題：通項(xiàng)公式是表示數(shù)列的很好的方法，同學(xué)們想一想還有哪些方法可以表示數(shù)列？ 圖象法，我們可仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項(xiàng)數(shù)n

3、為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)an為縱坐標(biāo)，即以(n,an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)(以前面提到的數(shù)列1, ,為例，作出一個數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢.-遞推公式法知識都來源于實(shí)踐，同時還要應(yīng)用于生活，用其來解決一些實(shí)際問題.下面同學(xué)們來看右下圖：鋼管堆放示意圖(投影片).觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學(xué)模型. 模型一：自上而下第1層鋼管數(shù)為4,即141+3;第2層鋼管數(shù)為5,即252+3;第3層鋼管數(shù)為6,即363+3;第4

4、層鋼管數(shù)為7,即474+3;第5層鋼管數(shù)為8,即585+3;第6層鋼管數(shù)為9,即696+3;第7層鋼管數(shù)為10,即7107+3.若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an=n+3(1n7). 問題：同學(xué)們運(yùn)用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運(yùn)用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便.讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？(啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律) 模型二：上下層之間的關(guān)系自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1,即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.依此類推：an=a

5、 n-1+1(2n7).問題：對于上述所求關(guān)系，同學(xué)們有什么樣的理解? 若知其第1項(xiàng)，就可以求出第二項(xiàng)，以此類推，即可求出其他項(xiàng).看來，這一關(guān)系也較為重要，我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式.概念形成1.遞推公式定義：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前n項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.如下列數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89.遞推公式為：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3n8).2.數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的

6、表示法有聯(lián)系，函數(shù)的表示法有：列表法、圖象法、解析式法.相對于數(shù)列來說也有相應(yīng)的這幾種表示方法：即列表法、圖象法、解析式法.例題【例1】 設(shè)數(shù)列an滿足.寫出這個數(shù)列的前五項(xiàng).分析：題中已給出an的第1項(xiàng)即a1=1，題目要求寫出這個數(shù)列的前五項(xiàng)，因而只要再求出二到五項(xiàng)即可.這個遞推公式：an=1+我們將如何應(yīng)用呢?這要將n的值2和a1=1代入這個遞推公式計算就可求出第二項(xiàng)，然后依次這樣進(jìn)行就可以了.請大家計算一下!解：據(jù)題意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=設(shè)計意圖：掌握遞推公式很關(guān)鍵的一點(diǎn)就是其中的遞推關(guān)系，同學(xué)們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中的前項(xiàng)與后項(xiàng)，

7、或前后幾項(xiàng)之間的關(guān)系.【例2】 已知a1=2，an+1=2an，寫出前5項(xiàng)，并猜想an.分析：由例1的經(jīng)驗(yàn)我們先求前5項(xiàng).前5項(xiàng)分別為2，4，8，16，32.下面來猜想第n項(xiàng).由a1=2，a2=22=22，a3=222=23觀察可得，猜想an=2n.問題：本題若改為求an是否還可這樣去解呢?由a n+1=2an變形可得an=2a n-1，即，依次向下寫，一直到第一項(xiàng)，然后將它們乘起來，就有，所以an=a12n-1=2n.這種方法通常叫迭乘法，這種方法在已知遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)的問題中是比較常用的方法，對應(yīng)的還有迭加法.變式：已知a1=2，an+1=an-4,求an.分析：此題與前例2比較，遞推式

8、中的運(yùn)算改為了減法，同學(xué)們想一想如何去求解呢?l 寫出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，觀察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).l 解：由an+1-an=-4依次向下寫，一直到第一項(xiàng)，然后將它們加起來,an-a n-1=-4an-1-an-2=-4an-2-an-3=-4an=2-4(n-1).小結(jié)(1)數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項(xiàng)的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無初始值，那么這個數(shù)列是不能確定的.例如，由數(shù)列an中的遞推公式an+1=2an+1無法寫出數(shù)列an中的任何一項(xiàng)，若又知a1=1，則可以依次地寫出a2=3,a3=7,a4=15,.(2)遞

9、推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可能求不出通項(xiàng)公式.五、目標(biāo)檢測1、根據(jù)各個數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式.(投影片)(1)a10，an+1an(2n-1)(nn)；(2)a11，a n+1 (nn)；(3)a13，an+13an-2(nn).(讓學(xué)生思考一定時間后，請三位學(xué)生分別作答)解：(1)a10，a21，a34，a49，a516，an(n-1)2.(2)a11， a2，a3=，a4，a5 =，an.(3)a131+230，a271+231，a3191+232，a4551+233，a51631+234，an123 n-1.注：不要求

10、學(xué)生進(jìn)行證明歸納出通項(xiàng)公式.2、一只猴子爬一個8級的梯子，每次可爬一級或上躍二級，最多能上躍起三級，從地面上到最上一級，你知道這只猴子一共可以有多少種不同的爬躍方式嗎？析：這題是一道應(yīng)用題，這里難在爬梯子有多種形式，到底是爬一級還是上躍二級等情況要分類考慮周到.爬一級梯子的方法只有一種.爬一個二級梯子有兩種,即一級一級爬是一種，還有一次爬二級，所以共有兩種.若設(shè)爬一個n級梯子的不同爬法有an種,則an=an-1+an-2+an-3(n4),則得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n4)，就可以求得a8=81.六、課堂小結(jié)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的另一種給出方法，即遞推公式及其用法，要注意理解它與通項(xiàng)公式的區(qū)別，誰能說說？通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系.