不定積分求解方法及技巧

1、f (x) (x)dx= f(u)du=F(u)+C=F (x)+C.不定積分求解方法及技巧小匯總摘要：總結(jié)不定積分基本定義，性質(zhì)和公式，求不定積分的幾種基本方法和技巧，列舉個(gè)別典型例子，運(yùn)用技巧解題。一不定積分的概念與性質(zhì)定義1如果F (x)是區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，并且對(duì)任意的x I，有F(x)=f(x)dx則稱F (x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。定理1 (原函數(shù)存在定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么f(x)在區(qū)間I上一定有原 函數(shù)，即存在可導(dǎo)函數(shù)F (x),使得F (x) =f(x) (x I)簡(jiǎn)單的說(shuō)就是，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)定理2設(shè)F (x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函

2、數(shù)，貝U(1) F (x) +C也是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，其中C是任意函數(shù)；(2) f(x)在I上的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)。定義2 設(shè)F (x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù) F (x) +C稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為 f(x)d(x),即 f(x)d(x)=F(x)+C其中記號(hào)稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)d(x)稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù)。性質(zhì)1設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)存在原函數(shù)，則f(x) g(x)dx= f(x)dx g(x)dx.性質(zhì)2 設(shè)函數(shù)f(x)存在原函數(shù)，k為非零常數(shù)，貝Ukf(x)dx=

3、k f(x)dx.二.換元積分法的定理如果不定積分g(x)dx不容易直接求出，但被積函數(shù)可分解為g(x)=f(x)( (x).做變量代換u= (x),并注意到 (x) dx=d (x),則可將變量x的積分轉(zhuǎn)化成變量 u的積 分，于是有 g(x)dx= f (x)( (x)dx= f(u)du.如果 f(u)du可以積出，則不定積分g(x)dx的計(jì)算問(wèn)題就解決了，這就是第一類換元法。第一類換元法就是將復(fù)合函數(shù)的微分法反過(guò)來(lái)用來(lái)求不定積分。定理1設(shè)F(u)是f(u)的一個(gè)原函數(shù)，u= (x)可導(dǎo)，則有換元公式第一類換兀法是通過(guò)變量代換u= (x),將積分f (x) (x)dx 化為f(u)du.但

4、有些積分需要用到形如x= (t)的變量代換，將積分f(x)dx 化為f(t) (t).在求出后一積分之后，再以x=(t)的反函數(shù)t=(X)帶回去，這就是第二類換元法。即f(x)dx=f (t)(t)dt t1(X).為了保證上式成立，除被積函數(shù)應(yīng)存在原函數(shù)之外，還應(yīng)有原函數(shù)t= 1 (x )存在的條件，給出下面的定理。定理2設(shè)x= (t)是單調(diào)，可導(dǎo)的函數(shù)，并且(t)0.又設(shè)f 具有原函數(shù)F (t),則 f(x)dx= f (t)(t)dt=F(t)+C=F(x)+C歡迎下載4其中 1 ( x )是x= ( t )的反函數(shù)。三常用積分公式1基本積分公式(1)(3)(9)(11)kdx=kx+C

5、(k 是常數(shù))；(2)=ln x +C;xdxsin xdx=-cosx+C ;(8)u 1u xx u dx= +C(u u 1-1);(4)=arcta nx+C;1 x2cosxdx=s in x+C;-=csc 2 xdx=-cotx+C; (10)2sin xcscxcotxdx=-cscx+C;(12)(13) axdx= e x+C;(14)dx22= sec xdx=tanx+C;cos xsecxta nxdx=secx+C;e x dx= e x +C;shxdx=chx+C;tan xdx=-l ncosx +C;secxdx=ln secx tanx +C;dx _1

6、, 2 = ln a x ax a n+C;(15) chxdx=shx+C.(16)(17) cotxdx=ln si nx +C;(18)(19)cscxdx=ln cscx cotx +C;(20)(21)dx=arcs inx c-+c；a(22):2 2 和axdx(23)=lnx；2 2寸xa+C./ 2 2(仮)rf五r “0)廿血=爲(wèi)J7(少)如6-j f(nx)dx = jf(nxyilnx8 J /(sinxJ-cosAdLv = J/(sdn :J/(cosA)-siu Adv = J/(cosx)rfcasAu ax 4 h w =rv u Jx心丄Xu axw = l

7、nx/二占u = sin a-=0SXJ /(taux)A(rx;Azh: = J /(tan xy tan a:笫一類換元枳分法J f (cot xX 2= Jcor.v9Jsfn mcos/irdLv (sin ZRXsin nxdx jcosfnxconxdx lojsiirxtfxJcos*Adlv O 為奇數(shù))11J sin 加 xdx Jcos* Adv O 為偶數(shù))12J/(arctanx)(fx = J f (arctanxi(aretanx) X 二 J /(arcsinAX(*rcsin,v)u tan 兀w cot.v制用積化和差公式進(jìn)存變換用公式*1sin2 a; =c

8、?*va1 = sIb2 x 進(jìn)和變換優(yōu)為倍角的三角曲 數(shù)降弄后再積分u = urcfinTj /(aroinx)-四.解不定積分的基本方法w = arcsiuA歡迎下載10四.求不定積分的方法及技巧小匯總1利用基本公式。(這就不多說(shuō)了 )2.第一類換元法。(湊微分)設(shè)f(卩)具有原函數(shù)F(卩)。貝Uf (x) (X)dx f (x)d (x) F (x) C其中(x)可微用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容， 同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中 拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2:【解】(ln(x 1

9、) lnx)1x(x 1)ln(x 1) In x , dx x(x 1)(ln(x 1) In x)d(l n(x 1) lnx) 丄(1 n(x 1) In x)2 C 2例2:1 ln x ,2 dx (xln x)2解(x lnx) 1 ln x1 In xx(x 1)2dxdxln x(xln x)21xln x例1:ln( x 1) In x , dx x(x 1)3.第二類換元法:設(shè)x (t)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且(t)0又設(shè)f (t) (t)具有原函數(shù),則有換元公式f(x)dx f (t) (t)dt第二類換元法主要是針對(duì)多種形式的無(wú)理根式。常見的變換形式需要熟記會(huì) 用。主要

10、有以下幾種：(1) a22x : xa si nt;xa costx2a2: xata nt；xa cot t ； xasht(3) x2a2: xa sect ；xa csct ； xacht(4) v；ax b：ax b t(5)(6) 當(dāng)被積函數(shù)含有x m ax2 bx c,有時(shí)倒代換x 1也奏效t4.分部積分法.公式： dd分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取 、 時(shí)，通?；谝韵聝牲c(diǎn)考慮:(1) 降低多項(xiàng)式部分的系數(shù)(2) 簡(jiǎn)化被積函數(shù)的類型舉兩個(gè)例子吧！例3:3x arccosx _ dx1 x2【解】觀察被積函數(shù)，選取變換t arc

11、cosx,則3X arccosxdx3 . cos t -t( sint)dt si ntt cos3 tdt例 4：arcs in2 xdx解t(si n2t3tsi n313tsi n313tsi n313x91)dsi nt td(gs in3t sint)tsi ntz 1-3(一 si n3t sin t)dttsi nt/1 - 2 (sin3t 1)d cost213ctsi ntcostcos t C392 122x (x 2)1 x arccosx C3 3arcsin2 xdx xsin2x1x2 arcs in xdxxarcs in x 2 arcs in xd、1 x

12、2xarcsin xxarcsin x2 1 x2 arcsin x2 1 x2 arcsin xx22x C2-1 x2dx上面的例3,降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4,簡(jiǎn)化了被積函數(shù)的類型 有時(shí)，分部積分會(huì)產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在 dd中，、的選取有下面簡(jiǎn)單的規(guī)律：ax(1) Pm(x)， e ,sin ax,cosax(2) In x,arcta nx,arcs inx，Pm(x)(3) e，cos x,sin x(3)會(huì)出現(xiàn)循環(huán)，注意，選取的函數(shù)不能改變。將以上規(guī)律化成一個(gè)圖就是：Ii1 2eaxsinbx dxeax cosbx dxaxe22 (asin bxa2 b2b cosb

13、x)axe-272ab(a cosbxbsinbx) C(l nx1arcs inx)Pm(x)(aAxsinx)V但是，當(dāng)ln x，arcsin x 時(shí)，是無(wú)法求解的。對(duì)于(3)情況，有兩個(gè)通用公式:5.幾種特殊類型函數(shù)的積分。(1) 有理函數(shù)的積分有理函數(shù) 出 先化為多項(xiàng)式和真分式P*兇 之和，再把上！兇 分解為若干Q(x)Q(x)Q(x)個(gè)部分分式之和。(對(duì)各部分分式的處理可能會(huì)比較復(fù)雜。出現(xiàn)I n 2dx2(a x )時(shí)，記得用遞推公式：Inx222、n 12a (n 1)(x a )2n 32a2( n 1)例5:64x x4x2厶X3, 2x (x1)2解64x x4x2r642x

14、 x3 2x (x1)23/ 22x (x 1)2 24x 2 x 4x 23/ 22322x (x 1) x 1 x (x 1)-2dx -l n(x2 1) Cx 124x224x222x2122x3(x22 dx1)x4(x22 xdx1)x4(x21)2dxx2222(1)2(1)2(1)2d(丄11C1 C1(1)x (x 1)故不定積分求得。(2) 三角函數(shù)有理式的積分2tasin x1 ta n2 -萬(wàn)能公式：21 tan2 -cosx 1 tan2 -2P(sin x,cosx)dx可用變換t tan化為有理函數(shù) 的積分，但由于計(jì)算較煩,Q(sin x, cos x)2應(yīng)盡量避免對(duì)于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成沁或妙。再用待定系數(shù)cosx sin xA(a cosxbsinx) B(acosx acosx bsinx(3) 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 一般用第二類換元法中的那