線性代數(shù)輔導(dǎo)講義

1、2013考研數(shù)學(xué)存季基礎(chǔ)班線性代數(shù)輔導(dǎo)講義2013考研數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班線性代數(shù)輔導(dǎo)講義主講：湯家鳳第一講行列式一、基木概念定義1逆序一設(shè)一對不等的正幣數(shù)，若i j,則稱(ij)為一對逆序。定義2逆序數(shù)一設(shè)/,Z2 /是1.2,的一個扭列，該推列所含逆用總數(shù)稱為該排列的逆序 數(shù)，記為7(/./； /),逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。5 絢25定義3行列式一稱如 勺“稱為階行列式，規(guī)定 o=工（-1嚴(yán)5 a2 定義4余了式與代數(shù)余了式一把行列式= 6/21心2屮元素嗎所在的i行元素和j列元索去掉,剩卜的舁-I行和H - 1列元索按照元素原來的排列次序構(gòu)成的/2 - 1階

2、行列式，稱為元索6的余子式.記為稱Aij=(-rjMij為元索仇的代數(shù)余了式。二、幾個特殊的高階行列式a, 01、對角行列式一形如5 0 000稱為對角行列式,61 a22、上(下)三角行列式一稱吩 0 0列式.0%0s 00 0 及a2l a22 0 % annnn0 0C7 22 0 一 ac5an2 ann為上(下)三角行22 ann稱為/!階范得蒙行列式,3、4、范得蒙彳丁列式一形如1/（4衛(wèi)2，久）=且 V(aa2-,an) =w-in-l【注解】心“）工（）的充分必要條件是絢山2,，心兩兩不等。三、行列式的計(jì)算性質(zhì)（一）把行列式轉(zhuǎn)化為特殊行列式的性質(zhì) 1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等,

3、epn = Dro2、對調(diào)兩行（或列）行列式改變符號。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推論1行列式某行（或列）元素全為零,則該行列式為零。推論2行列式某兩行（或列）相同，行列式為零。推論3行列式某兩行（或列）元素對應(yīng)成比例，行列式為零。an%a%5”a2 5 + h,a,i + b“ % + biaa,a,2 a+h,2 hin 5an2%5an2 annClnCtn2 aftn即4、行列式的某行（或列）的每個元索皆為兩數(shù)之和時，行列式可分解為兩個行列式，即 a2 an % 細(xì) 2 % 心 +kajt 2 + kaj2 % +也j” 勺2 勺“ 勺2 伽 eg% a”n/

4、i4川a心 ann5、行列式的某行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列）,行列式不變,其中P為任意常數(shù)?！纠}1】設(shè)久0,久化必為4維列|uJt：,HI4I=I a、VW? *= 4，IB |=|0,人3 兒，人 1=21,求 IA + BI。1 + a111 + Cl21111【例題4】計(jì)1 Dn =1 11 11 + 1. 1 1+%,其中 0(lZ =2-354-57-9-62-242472（一）行列式降階的性質(zhì)6、行列式等丁行列式某行（或列）元索與其對應(yīng)的代數(shù)余了式之積的和.即D = 5A., + ai2Ai2 + + ainAin (i = 12,n),D = a1/AM+a2.A2y +

5、 + 異可()= 1,2,曲) 7、行列式的某行（或列）元素與另_行（或列）元素的代數(shù)余子式之積的和為零。2 1【例題I】用行列式按行或列展開的性質(zhì)計(jì)算-2 34 8【例題2】設(shè)=2-354-57-9_61 -1212472，求（1）A7“ + M” + M書 + M24;( 2) A/ji + M甘。四、行列式的應(yīng)用一克萊姆法則4內(nèi)+嗎2吃+僉兀= “2內(nèi)+如勺+吆兀=（）（/） 及心內(nèi)+心2吃+心九=0a2+a22x2+-a2nxn=b2（）比中（）稱為非齊方秤細(xì)，（/）稱為（）對應(yīng)的齊次方用組或（）的導(dǎo)出方用細(xì)。a2*anSaina a2b、令D二“21 a22a2n ，D嚴(yán)b2如。2”

6、 a2 a22 be an2%bna”nnlnnan%仇其中D稱為系數(shù)行列式,我們有定理1 (Q只有零解的充分必要條件是0； (/)有非零解(或補(bǔ)(/)有無窮多個解)的 充分必要條件是D=0o定理2 (“)有唯一解的充分必要條件是0，且a;=-(/ = 1,2, - ,/7)； D = 0時， ()耍么無解，要么仃無窮多個解。第二講矩陣一、基本概念及其運(yùn)算(一)基本概念11a2anI、矩陣一形如 5 也22”稱為加行加列的矩陣，記為A = (.)mx，行數(shù)與列 m2d”wi 丿數(shù)相等的矩陣稱為方陣，元索全為零的矩陣稱為冬矩陣。(1) 若矩陣中所有元索都為零，該矩陣稱為零矩陣,記為0。(2) 對

7、4 = (a” ),”心，若m = n,稱人為乃階方陣。( (3) 稱=為單位矩陣。(4) 對稱矩陣一設(shè) A = (ai)nxn,若= 1,2,),稱 A 為對稱矩陣。(5)轉(zhuǎn)置矩陣一設(shè)A二矩陣力的轉(zhuǎn)魚矩陣。2、同型矩陣及矩陣相等一若兩個矩陣行數(shù)與列數(shù)相同，稱兩個矩陣為同熨矩陣，若兩個矩 陣為同型矩陣，且對應(yīng)元素相同，稱兩個矩陣相等。3、伴隨矩陣一設(shè)4 =(勺)也為矩陣，將矩陣A中的第!彳J和/列去掉，余下的元索按照 原來的元素排列次序構(gòu)成的/1-1階行列式,稱為元素知的余了式，記為M廠同時稱a.=(-iryMzy為元索知的代數(shù)余子式，這樣知陣中的每一個元索都佇白己的代數(shù)余了式，記4,2 Aj

8、 ,稱為矩陣A的伴隨絶陣。 人2”Ann(-)矩陣的三則運(yùn)算11 a2“、伽1細(xì)22、數(shù)與矩陣的乘法一設(shè)人=a2 a22 a2n ,則M二如21 転22 % amn 7如肋沁3、矩陣與矩陣的乘法:1、矩陣加減法一設(shè)A =5 如”(l2lCl22a2n9 9 99 9 9 ,B =b hi hM 優(yōu)2 九、仇” ,則Jrb、S 士如士切仏士幾、A =Cl2 21 G 22 士 力22 a2n b2n Si 土/% 方加ci + bninmn /2仏、%如bj設(shè)al a 22 a2n ,B =&21 “22 h2s a機(jī)2amn /4*2b則【注解】(1)A$O、BwO推不岀ABO.(2) AB

9、工 BA。(3) 犯陣多項(xiàng)式對進(jìn)行因式分解的充分必要條件是矩陣乘法可交換。若 AB= BA,則 A2 -3AB + 2B2 = (A-B)(A-2B).再如A2 -A-6E = (A-3E)(A + 2E)。(4) 方程組的二種形式 形式一：基木形式(/)(/)分別稱為齊次與非齊線性方卅組。id A =仏2 Cl2a22a2n 、X =/ ,b =*，則方程組(/ )、(/)可改寫為Vlmaml Clmn )3,” 糾內(nèi)+如勺+弘耳=0+a22x2+- + a2nxn =05州+%吃+殂兀=/?,內(nèi)+心2吃+ 2兀=b2心必+%2兀+。加兀=0An內(nèi)+心2無+ 0加兀=hm形式：方程組的矩陣形

10、式(/ )(/)AX=0,AX=b,令e =s =/ 、，, =/ 、,x =/X-V1,b =1)r2丿15 3“則有形式三：方程組的向最形式+ x2a2 + + xnan = O (I )xa,+x2a2- + xnan=O()二、矩陣的兩人核心問題一矩旳的逆矩陣與矩旳的秩【背景】初屮數(shù)學(xué)問題：對一元一次方程ax = h(a0).其解育如下兒種情況(1) 出“工()時，ax = b兩邊乘以丄得x = -oa a(2) 1 = 0,/; = 0時，方ax = b的解為一切實(shí)數(shù)。(3) 當(dāng) d = 0,bH 0 時，方 ax = b 無解， 矩陣形式的線性方程組解的聯(lián)想：對線性方卅組AX=b,

11、莫解有如下兒種情況(1) 設(shè)4為刀階矩陣，對方程組AX =b,存在刃階矩陣，使御BA = E ,則X = Bh.(此種情況產(chǎn)生矩陣的逆陣?yán)碚?(2) 設(shè)A為/I階矩陣,對方程組AX =方，不存在n階矩陣B，使得BA = E ,方程組AX=b 5：占有解?(3) 設(shè)A是mxn矩陣，且m n ,方AX =b是占有解？(后兩種情況取決于方觀纟I的耒知數(shù)個數(shù)與方秤組約束條件的個數(shù)即矩陣的秩)(-)逆矩陣I、逆矩陣的定義一設(shè)A為刀階矩陣，若存在3,使得BA=E,稱A對逆，3稱為A的逆 矩陣，記為B = A【例題I】設(shè)A為”階矩陣，且A2-A-2E = O,求”,(A + E)T?！纠}2】設(shè)A為n階矩陣

12、，且Ak = O,求（E-A）-o2、關(guān)于逆矩陣的兩個問題【問題1】設(shè)4為刃階矩陣，A何時可逆？【問題2】若A可逆，如何求A1?3、逆陣存在的充分必要條件定理設(shè)A為樸階矩陣，則矩陣A可逆的充分必要條件是MkO,4、逆陣的求法（1）方法一：伴隨矩陣法A-1 = A141（2）初等變換法（A IE）初等行變換（1獷）。5、初等變換法求逆陣的思想體系第一步，方程組的三種同解變形（1）對調(diào)兩個方程；（2）某個方卅兩邊同乘以非咨常數(shù)：（3）某個方卅的倍數(shù)加到另一個方榨，以上二種變形稱為方郴細(xì)的種同解變形。第二步，矩陣的三種初等行變換（1）對調(diào)矩陣的兩行；（2）矩陣的某行乘以非零常數(shù)倍;（3）矩陣某行的倍

13、數(shù)加到另一行，以上三種變換稱為矩陣的三種初等行變換。若對犯陣的列進(jìn)行以上二種變換，稱為矩必的初等列變換，矩陣的初等行變換和初等列變換 統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。第三步，三個初等矩陣及性質(zhì)（I）E” 一將的第i行與第丿行或者單位矩阡E的第i列與第J列對調(diào)所得到的矩陣，如I 0（）、001=E23o0 1 0,性質(zhì)：1） I ” 1= 一1 ； 1） E, = Ejj:3）E,/即為矩陣A的第/行與第j行對訓(xùn)，AEtj即為矩陣A的第i列與第j列對調(diào)，即EtjA是對4進(jìn)行第一種初等行變換，AE”是對A進(jìn)行第一種初等列變換。（2）Ef.（c）（c工0）將的第i行乘以菲零常數(shù)c或E的第i列乘以非零常數(shù)c所得

14、到的矩1 0 ()、陣，如()10 = E3(-5) O、()()-5性質(zhì)：1) I 耳(c)l=c； 2) E7(c) = /-)；c3) E,(c)A即為矩陣A的第i行樸零常數(shù)c , AE, (c)即為矩旳A的第i列非零常數(shù)c ,即E, (c)A為對A進(jìn)行第一.種初等行變換，AE.(c)為對A進(jìn)行第種初等列變換。(3) E-.(切一將E第J行的k倍加到第i彳j或E的第i列的k倍加到第j列所得到的矩陣。 性質(zhì)：1) Eh(k)A即A第八j的k倍加到第i行，AEy即A第i列的k倍加到第j列：2) I 伙)1=1； 3) E,(k) = Ejj(-k)第四步，三個問題【問題1】設(shè)A是階可逆矩陣，

15、A可都經(jīng)過有限次初等行變換化為E?(E 0、【問題2】設(shè)Aiin階不對逆矩陣，A是臺町以經(jīng)過仃限次初等行變換化為? /(e 0【問題3】設(shè)A是川階不可逆矩陣，A是否可以經(jīng)過有限次初等變換化為？I。0)第伍步，初籌變換法求逆陣的理論定理1設(shè)4是階可逆矩陣,則A經(jīng)過有限次初等行變換化為E,且(加E)t(EMT)。定理2設(shè)An階不町逆矩陣，則存在刃階町逆矩陣P和0,使得PAQ =6、逆矩陣的性質(zhì)(1) “尸二 A。(2) (M)h =-Ah o k(3) =更進(jìn)一步(人生人”尸=人：力二(4) (J4/ r，=(A)/ oO(-1，O& B丿0)(5)【例題1】設(shè)可逆矩陣人的i、j行對訓(xùn)所得的矩陣為

16、B 0(1) 證明：B可逆。 (2)求【例題2】設(shè)分別為加/階可逆矩陣,A=a,B=b9求Si +532 +1233 + 43 丿1 -1)【例35設(shè)“ 01I I ,且 A2-AB = E,求 B, o -I(二)矩陣的秩I、矩陣秩的定義一設(shè)4是mxn知陣，A屮任取r行和/列且元索按原有次序所成的r階 行列式,稱為A的A階子式,若人中至少有一個廠階了式不等于零,而所價(jià)+1階了式(如 果有)皆為零,稱廠為矩陣4的秩,記為r(A) = r.2、矩陣秩的求法一將力用初等行變換化為階梯矩陥階梯矩陣的罪零行數(shù)即為矩陣A的秩。 【注解】(I) 設(shè)A為 mxn 矩陣,則 r(A) 1的充分必要條件為(4)

17、 r(A) 2的充分必要條件是A至少有兩行不成比例T,aO(5) “二衛(wèi)門心),則r(a) =仁。(a = O3、矩陣秩的性質(zhì)(I) r(A) = r(Al ) = r(AA) = r(A7 A)?！纠}1】設(shè)A是mxn矩陣,證明:若AtA = O,則A = O.(2) 心士)S 心)+ 廠(3)?！纠}2】設(shè)G二:，0二 厲丿Aj A = aaJ 陽,證明：r( A) 2_ * 十 r(AB) r(A)(3) r(AB)minr(A),r(B),等價(jià)于r(AB) r(B)to(I訣:即矩陣的乘法不會使矩陣的秩升高)【例題3】設(shè)分別為mxnnxm矩陣,且AB = E,求r(A),r(B),(4

18、) 設(shè)且AB = 0,則r(A) + r(B) 2),(Xr(A)n-l(A(7) r r(A) + r(B) 0l*丿(8) r(A) = 1 O存在非零向就Q.0,使得4 =妙廠。第三講向量一、向最基木概念1、向最一H個實(shí)數(shù)q , “2，,所構(gòu)成的一個數(shù)組稱為向龜，其中(,他,“)稱為X維/ 、5行向毎，:稱為X維列向昴，構(gòu)成向駅的所仃元素皆為零的向最稱為零向昴。2、向倉的內(nèi)積：(Q,0) = Q0 二。r=l注解(1)(久0) = (0,4)=劉0：(2) (a,a) = ; =lal2；/=l(3) (a,0+y) = (a,0) + (a)；(4) (a,R0) = (Ra,0)=

19、R(a,0),(5) ：”i(a,0) = O,即$=()時，稱向赧Q與0正交，記為a丄0，注童零向星與/=1任何向帚正交?！咀⒔狻糠匠探M的向鍛形式齊次線性方程組可以表示為斗e +x2a2 +- + xan =0：非齊線性方程組可以表示為州 +x2a2 + x”q“ = b,/ / 12/ 其屮e =,。2 =，,0” =、b =O m2 /（初）3、線性相關(guān)與線性無關(guān)對齊次線性方程組xtat + x2a2 + xnan = O, I） xyax +x2a2 + + xnan = O當(dāng)且僅當(dāng)= x2 = = =（）時成立,即齊次線性方 程組只有零解，稱向量組,也，,%線性無關(guān):（2）若有不全為

20、零的常數(shù)他，焉，& ,使得kai+k2a2+- + kllalt=O成立，即齊次 線性方程組有非零解,稱，$，,色線性相關(guān)。4、向錄:的線性表示對非齊線性方程組州a】 +x2a2 + + xnan =b,（1）存在一組常數(shù)心北2,使得熱少+忍如+忍勺二方成立，即非齊線性方 程組有解,稱0可由0 , a?,，線性表示;（2）若州0+兀2偽+ + /=不能成立,即非齊線性方程組無解,稱0不可由,，,線性表示。5、向錄細(xì)的秩與矩陣的秩的概念（1）向帚組的極大線性無關(guān)紐與向昴紐的秩一設(shè),為一個向彊組，若屮存在廠個線性無關(guān)的了向杲組，但任意廣+ 1個了向量組（如果有）線性相 關(guān)，稱廣個線性無關(guān)的了向昴組

21、為向量組少，勺,的 個極人線性無關(guān)組，廣稱為向帚 組&|,02，乙的秩。注解（I）若一個向承紐屮含有零向址，則該向址紐一定線性相關(guān)。（2）兩個向昴線性相關(guān)的充分必要條件是網(wǎng)個向杲成比例。（3）向昴組的極人線性無關(guān)組不一定唯一。6、向量組的等價(jià)一設(shè)A：02,與B:0|,02，0”為兩個向量組，若e #/+心202+ S0”冬二緒屈+ J02 + J0” am - 50 + 匕202 + + 匕”0”則稱向量組A:匕,，,可由向量組B :幾,02，禹線性表示，若兩個向量組可以相 互線性農(nóng)示，稱兩個向城組等價(jià)。二、向杲的性質(zhì)（一）向曲組的相關(guān)性與線性表示的性質(zhì)1、若沖勺,a”線性相關(guān)，則其屮至少有一

22、個向杲可由其余向最線性表出。2、設(shè)apa2,- -,an線性無關(guān)，而ag,a”,0線性相關(guān),則0可由apa2,線性表出, 且表示方法唯一。3、若一個向赧組線性無關(guān)，則其中任意一個部分向笊組也必然線性無關(guān)；4、若一個向量組的一個部分向量組線性相關(guān),則此向量組一定線性相關(guān);5、設(shè)心,為刃個n維向帚，則apa2,線性無關(guān)0|0,的,化1工0。6、若一個向雖紐的個數(shù)多于維數(shù)。則此向雖紐一定線性村關(guān)。7、若aa2 a為-個兩兩正交的非零向帚組，則,，,“線性無關(guān)。8、設(shè)少,冬,a”為兩兩正交的非零向帚:組，則少,線性無關(guān)，反之不對。【例題1】設(shè)a,a2,a?線性無關(guān)，a2,a3,a4線性相關(guān)，證明:巾可

23、由0,禺,偽線性表示?！纠}2設(shè)ara2,a3線性無關(guān),令0=at +巾，02 =2 +$，03 =$ + e，討論隊(duì)、兒隊(duì) 的相關(guān)性?！纠}4】設(shè)apa2,a3,a4線性無關(guān),令0i =o（ +$,角=4+,03 =a3+a4,）S4 =a4+ar 討論隊(duì)、隊(duì)屆、隊(duì)的相關(guān)性。（二）向最組的秩的性質(zhì)1、設(shè)A0,如,3：0|,02,，”為兩個向量組,若A組可由B線性表出,則A組的秩不超過組的秩。2、導(dǎo)價(jià)的向昴組由相等的秩。3、矩陣的秩、矩陣的行向帚:組的秩、矩陣的列向帚:組的秩三者相等。【注解1（1）設(shè)0,勺，線性無關(guān)，0,勺,a”,b線性無關(guān)的充分必要條件是方不可由向 帛勿0,2,a”線性表樂

24、，鴿價(jià)于?（，為，?！鄙希?0,偽，,） + 1。(2) 設(shè)4:3： 0i，02,，0若向吊勺I人町由向量細(xì)線性表示，而向杲紐不 可由向量組A線性表示，則廠(A) r(B) o第四講方程組方秤組(/),稱(/)為刃元齊次線性方程組。()稱()為/!元非齊線性方程組,方程組一、線性方程組的基本概念 絢內(nèi)+山2勺+山”兀=0, Cl2X + (l22X2 a2nXn = ，4內(nèi)+知2吃+ 5“兀=0.5 + %大2+ + %兀=P方程泊+ a22x2 + + a2nxn = b2,+爲(wèi)2吃+心川兀二(I) 又稱為方程組()對應(yīng)的齊次線性方程組或者導(dǎo)出方程組。 二、線性方程組解的結(jié)構(gòu) 1、設(shè) XPX

25、2,-.,XS 為齊次線性方 iAX= O 的解，則 klXlk2X2+- + kxXs 為AX= O的解，其中何伙2,&為任意常數(shù)。特殊情形,X, +X2及kX (R為任意常數(shù)) 祁是XX = O的解。2、設(shè)X。為齊次線性方程組AX= O的解，為非齊線性方tAX=b的解，則X+為 方fAX=b的解。3、設(shè)7,“2為非齊線性方程組AX=b的解，則7-“2為AX= O的解。4、設(shè)久,2,，幾為AX二方的一組解，則+心2 + + &為AX的解的充分 必要條件是他+煜+ +=1三、線性方程組解的基木定理定理1 ( 1)齊次線性方用纟11 AX=O只有零解的充分必要條件是r(4) = n ；(2) 齊

26、次線性方程組AX=Oj：| ?解(或者無窮多個解)的充分必要條件是r(A) n o 定理2 (1)非齊線性方榨紐AX = b無解的充分必要條件是r(A)工r(A)。(2) AX = b H解的充分必要條件是r(A) = r(A)更進(jìn)一步地，當(dāng)r(A) = r(A) = n時， 方程組AX = b有唯-解；當(dāng)r(A) = r(A) = r n時,方程組AX = b有無窮多個解。四、線性方程組的通解（一）齊次線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系與通解X）+ jv2 + x3 - x4 + 8x5 = 0O y 丫 4. 7 丫 【例題1】求方程組 I T 5的通解。x2 + x3 + 5x5 = 0X -

27、x3+x4-x5 = 0x + x2 - 2x3 - x4 + xs = 0 【例題2】求方程組”州+2勺+2小一4心=0。%! + x2 + x3 + 2x4 2x5 = 0【注解】齊次線性方程組基礎(chǔ)解的的三大條件一個向疑組為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的充分必要條件址（I）該向杲組為方程組的解。（2）該向杲組線性無關(guān)。（3）該向就組的向昴個數(shù)與方程 組白由變量個數(shù)相等。（二）非齊線性方程AX=b的通解1、/ X|Ta + 2=3_2OQ 2【例題I】設(shè)方程組2 3無解，求。x +x2+x3 + x4 =0x2 + 2x. + 2x4 = I【例題2】a取何值時，方程組2 J r ，有解，并求出

28、其解。-x2 + （a - 3）x3 - 2x4 = b3X + 2x2 + 屯 + ax4 = 一 I【例題3】（1）設(shè)A為n階陣，且A的各行元素Z和為（） /?（A） = n-l,貝IJAX=O,求AX =0的通解:（2）設(shè)A為n階陣，且141=0,4/*0,求AX= 0的通解。（3）設(shè)AX=h為四元非齊方程組.R（A） = Xaa2Ja3為其3個解向感 且少=（1,9,9,8幾 a2+a5 = （h9,9,9）r, AX=b 的通解。（4）arpa2,a3設(shè)為4維列向址纟II, a】,勺線性無關(guān),a3 = 3at+2a2,KA = （aI,a2,a3）,求AX = 0的一個基礎(chǔ)解系。（5

29、）沒 A = （aa2.aaaa3yaA線性無關(guān)，且ax =3a2 + ap = ax +2a2+a4,求ax = 0的通解。【例題3】設(shè)匕=/ 、5ai2（i = i,2,m）為刀維向景俎,且，舛線性無關(guān),0=b23”丿ax. + + a”x“ =0為21 *$的非咨解，問“,0線性相關(guān)性。A內(nèi)+兀= 方程組補(bǔ)充(一)理論拓展定理I若AB = O,則B的列向量組為方程紐AX =O的解?！纠}1】設(shè)AB = O證明：r(A) + r(B)/?eI 2 3、【例題2】設(shè)4為三階非零矩陣，A的第一行元素a,b,c不全為零，= 2 4 6 ,且 、3 6 AB = O,求方程織AX= O的通解。定理

30、2若AX = O與BX=O同解，則r(A) = r(B)?！纠}I】證明：r(A) = r(ATA).【例題2】設(shè)人為nxs矩陣，Bmxn矩陣，且r(B) = n ,證明：rB) = r(BA).(二)方軒IH的公共解a、 定理AX =0與BX =O的公共解即為X =0的解?！纠}I】設(shè)A,祁是n階矩陣,且心)+ r(B) n ,證明：AX = O與BX =0有公共 的非零解。x, - x2 + x3 = 0x2 - x3 + X4 = 0x. += 0【例題2】設(shè)線性方軒纟II (I)12 與方用紐(2廠x2 -x4=0(I) 求兩個方程組的基礎(chǔ)解系。(2)求兩個方榨組的公共解。第五講特征值

31、與特征向量一、基木概念I(lǐng)、矩陣的特征值、特征向帚:一設(shè)A為n階燉陣，若存在久和非零向杲X，使得AX=AX , 稱久為矩陣A的特征值，稱X為矩陣A的屈于特征值久的特征向昴?！締栴}I】設(shè)人為階矩陣，如何求A的特征值？【問題2】設(shè)A為”階矩陣，九為A的特征值，如何求矩陣A的屬于入的特征向竝？(a an %、2特征多項(xiàng)式特征方程一令力=22 a2n ,稱 AE-A=A-為矩陣a的特征多項(xiàng)式,1征一人1=0稱為nn矩陣人的特征方科C【注解】(1)設(shè)A為實(shí)矩陣，則A的特征值不一定是實(shí)數(shù)。(2) 入 + & + + 2“ = “11 + “22 + + % = (A) 0(3) &込& =1 A I。(4)

32、 r(A) = n的充分必要條件是& 0(l/)o1 2【例題I】設(shè)A= 21(2 20 1【例題2】設(shè)A= 0 0J)問題1】設(shè)廠(A) 1AE-AHAE-81,反之不對。(5) A 3 =廠(人)二廠(B),反之不對3(6) BAT BrAl - B1 (其中 4,B可逆)。(7) 若 A B ,貝 0/r(A) = /r(B), IAMBI.4、矩陣的對角化一若一個矩陣和對角矩陣相似，則稱矩陣可以對角化，設(shè)A是階矩陣，所謂A可對角化，即存在可逆矩陣P,使得PlAP = A,其屮A為對角矩陣。二、特征值與特征向量的性質(zhì)（一）一般矩陣特征值與特征向帚的性質(zhì)1、（重要性質(zhì)）不同特征值對應(yīng)的特征

33、向址線性無關(guān)。2、設(shè)A為n階矩陣，人是矩陣A的特征值，X。是矩陣人的對應(yīng)于人的待征向?qū)?，則（1）若人可逆，則石是矩陣/T的特征值，X。是矩陣”的對丿“于石的特征向鼠141I4I（2）若A可逆，則一為矩陣的特征值，X。是矩陣A的對皿于一的特征向量。A）（3）設(shè) /（x） = anxn + an-iXn + + ax + aQ 為一元n 次多項(xiàng)式,稱f（A） = anAn+ a/ + qE為關(guān)于矩陣A的矩陣多項(xiàng)式，則有/（入）為矩陣/（A）的特征值，X。是矩陣/（小的對臧于/（入）的特征向秋3、矩陣A可對角化的充分必耍條件是A個線性無關(guān)的特征向最。（一）實(shí)對稱矩陣特征值特征向地的性質(zhì)1、設(shè)A為實(shí)

34、對稱陣，則A的特征根祁是實(shí)數(shù)。2、設(shè)A為實(shí)對稱陣,則人的不同特征根對應(yīng)的特征向量正交。3、A可對角化OA右5個線性無關(guān)的特征向昴。4、設(shè)A為實(shí)對稱陣,入，人，人為其特征根,則存在正交陣Q，使得仏 、Q1 AQ =*. o三、矩陣的對角化（一）非實(shí)對稱矩陣（二）實(shí)對稱矩陣典型問題（一）特征值、特征向最的性質(zhì)【例題I】設(shè)A為四階矩陣，AB,且A的特征值為貝iJlAEI二2 3 4 5【例題2】設(shè)A為可逆矩陣，心為A的一個特征值，則（Ar）2+2E的一個特征值為【例題3】設(shè)入，易為A的兩個不同的特性根,XX,分別為人，希所對應(yīng)的特征向最,則X,+X2 是特征向杲。（二）特征值、特征向杲的求法思路分析

35、】特征值的求法常見仃二種方法：（I）公式法，即通過I2E-AM0求A的特征值。（2）定義法（3）關(guān)聯(lián)矩陣法【例題I】設(shè)矩陣4 B的每行元索之和分別為a,b,其中A可逆。（I）求獷的每行元素之和：（2）求AB的每行元索之.和。【例題2】設(shè)A為n階矩陣，且A2+2A = O.求A的特征值。宓【例題3】設(shè)G二宀丿且（Z0） = 3,令人儼求A的特征值及巫數(shù)?！纠}4】A是工階矩陣，”鳥線性無關(guān),Aat =a2 +a3,Aa2 =a3 +a,Aa =a +a2,求矩陣 A 的特征值 （三）矩陣對角化問題（思路分析】判斷矩陣對角化常見思路仃：（1）矩陣的特征值是否為單值。（2）犯陣是否存在個線性無關(guān)的特征向暈。（3）矩陣是否為實(shí)對稱矩陣，【例題I】設(shè)A = T 且ad-bc 0,證明A可對角化。 c d-3 I【例題2】設(shè)人=-7 5、一6 6一1、-1 ,證明A不可以對角化。一21 2 21【例題3】4= 2 I 2求A的特征根、特征向嵐 以及是否可以對角化?(2 2 I 丿【例題4】設(shè)A為非零矩陣,口存在正榕數(shù)使得證明A不可以對角化。P 0【例題5】設(shè)人=x 1A（）.V令二個線性無關(guān)的特征向就，求兒y滿足