換元法在中學數(shù)學解題中的應用及推廣

1、-作者xxxx-日期xxxx換元法在中學數(shù)學解題中的應用及推廣【精品文檔】目 錄1. 引言2一、換元法研究的背景2二、換元法研究的意義2三、換元法研究的方法32. 換元法的發(fā)展脈絡(luò)33. 換元法的概念44. 換元法在中學解題中的應用5一、換元法在方程中的應用5二、換元法在方程組中的應用7三、換元法在不等式中的應用7四、換元法在數(shù)列中的應用8五、換元法在復數(shù)中的應用9六、換元法在函數(shù)和三角函數(shù)中的應用105. 換元法在中學解題中的常見錯誤13一、“元”與“新元”選擇不合理；13二、將復合函數(shù)與原函數(shù)混淆；14三、換元后沒有確定新元的取值范圍或者錯誤的確定新元的范圍；156. 結(jié)論15參考文獻17

2、致謝18換元法在中學數(shù)學解題中的應用及推廣王秀芳（閩江學院 數(shù)學系；福建 福州 350108）1. 引言近年來，隨著數(shù)學思想越來越受到重視，關(guān)于換元法研究也取得了新的進展. 本文研究換元法在中學解題中的應用及其推廣.首先給出了換元法的概念整理了換元法的發(fā)展脈絡(luò)，然后著重講換元法在中學解題中的具體應用以及在應用的過程中常見的錯誤分析，最后闡述換元法在生活中的推廣.一、換元法研究的背景 數(shù)學課程標準中談及數(shù)學的學習要使學生能夠熟練把握當代生活所必要的數(shù)學的常識與技能，思想與活動的經(jīng)歷.對數(shù)學問題的理解認識與思考，學會須要的數(shù)學思維方式是數(shù)學解題必不可少的.對生活也是有需要的.中學中常用的數(shù)學解決問

3、題的方法有很多，例如:待定系數(shù)法，數(shù)學的不完全歸納法，類比的方法，配方法，換元法等，每一種方法都是必不可少的，其中換元法更是起著舉足輕重的地位，采用換元法能夠化繁為簡使得看似不能解決的問題變得可以操作.二、換元法研究的意義 學會換元法的使用是素質(zhì)教育的一項內(nèi)容.我們都知道素質(zhì)教學是針對全體的學生，并且是促進學生全方面成長的一種教育，而不是傳統(tǒng)教育下的死記硬背、復制、模仿，不是為了應試教育而學習數(shù)學，數(shù)學不是只存在數(shù)學課堂.推行和實施素質(zhì)教育是要在愉快教育的教學環(huán)境下突破過于強調(diào)分數(shù)，應試教育的圍墻學習數(shù)學，做到學懂會用、學以致用，更重要的是將數(shù)學課堂學習到的數(shù)學方法遷移到其他學科，社會生活和解

4、決實際問題當中去. 換元法是培養(yǎng)學生能力的需求.換元法不僅是一種方法更滲透的是一種數(shù)學思想.在心理學知識的理論內(nèi)，思想活動是存在于元認知領(lǐng)域.它對整個認知活動起著計劃、監(jiān)督控制、適當?shù)恼{(diào)整的作用.讓人們能夠意識到在學習活動中我們?nèi)狈κ裁慈缓缶腿ヌ岣呤裁矗瑢W生能力的培養(yǎng)起著指導引領(lǐng)的作用.三、換元法研究的方法文獻研究法：查找國內(nèi)外有文獻，通過對不同專家學者文獻的分析比較不同國家、不同領(lǐng)域?qū)Q元法的不同觀點，作為本文的理論基礎(chǔ). 2. 換元法的發(fā)展脈絡(luò)1944年美國國籍，匈牙利的偉大教育家喬治波利亞怎樣解題.被翻譯成16中文字，銷售量爆表.著名的瓦爾登是一位偉大的數(shù)學家，他曾經(jīng)在瑞士的蘇黎世大學

5、主辦的會議中說到：“每個大學生，每個學者，特別是每個老師都應該讀一讀這本引人入勝的數(shù).”讀后發(fā)現(xiàn)波利亞關(guān)于怎樣解題深入的研究想法非常棒，特別是書中提及的解題思想對于廣大的中學生都是非常有實用價值的.1969年，日本著名數(shù)學家米山國藏的數(shù)學的精神、思想與方法.以啟發(fā)性的實例為主要依據(jù)，系統(tǒng)地闡述了換元法在解題，探究“元”的數(shù)學思考.1975年，希拉里普特南( Putnam，1926)，美國邏輯學家、科學哲學家發(fā)表的數(shù)學、物質(zhì)與方法美國教育部、美國數(shù)學會和全美數(shù)學教師聯(lián)合會等組織舉辦的美國數(shù)學邀請賽，美國中學生數(shù)學競賽.加拿大、瑞士、前蘇聯(lián)各國舉辦的數(shù)學奧林匹克競賽.奧林匹克數(shù)學競賽，把中學生的數(shù)

6、學競賽命名為數(shù)學奧林匹克的是前蘇聯(lián)，采用這一名稱的原因是數(shù)學競賽與體育競技有著許多相似之處，兩者都崇尚奧林匹克運動精神.競賽的成果使人們意外地發(fā)現(xiàn)，數(shù)學競賽的強國往往也是體育競技的強國，這給了人們一定的啟示.1994年，廈門海滄實驗中學校長、黨總支書記肖學平.從事數(shù)學教學與研究工作，榮獲“蘇步青數(shù)學教育獎”，從事教育科學研究，出版了中學數(shù)學的基本思想和方法等四部專著，發(fā)表了30余篇論文.被評為福建省優(yōu)秀校長，使學校實現(xiàn)了跨越式發(fā)展，快速成為省一級達標學校.聯(lián)系我國中學數(shù)學教育給出許多優(yōu)秀的例子.汪祖亨在1996年編寫的數(shù)學常用解題方法與技巧不僅總結(jié)出一系列的換元方法，并探討了結(jié)合中學數(shù)學教學如

7、何進行應用.解恩澤、徐本順主編的數(shù)學思想方法，歐陽維誠、肖果能及張矗 合寫的初等數(shù)學思想方法選講中，則對換元法這一思想方法進行了較為系 統(tǒng)的歸納闡述，為中學數(shù)學教學校本教研提供了很好的課例研究.李明振在2000年發(fā)表的數(shù)學方法與解題研究，也是把換元法與數(shù)學教育緊密結(jié)合在 一起的論著.有關(guān)換元法解題的專題文章(如用換元法證明不等式，求函數(shù)的值 域，因式分解等等)也相繼發(fā)表在“中學生數(shù)學”、“數(shù)學通報”、“高中數(shù) 學教與學”等各種數(shù)學雜志、報紙、期刊上.隨著全國仞、高中數(shù)學競賽的開展，換元思想方法的應用越來越多，一些競賽試題也被納入了中學生課外輔導的材料. 3. 換元法的概念表示未知數(shù)、變數(shù)的字母

8、統(tǒng)稱為“元”.廣義地說，表示研究對象(如常數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)、命題、集合、向量等)的文字符號都可以稱為“元”.解數(shù)學問題，碰到直接解原問題很困難不易下手的，或者由原問題的條件難以直接得出結(jié)論的時候，往往需要引入一個或幾個“新元”代換問題中原來的“元”，使得以“新元”為基礎(chǔ)的問題的求解比原來的問題容易，解決“新元”問題以后將結(jié)果倒回去恢復原來的“元”，便可得原有問題的結(jié)果.這種解決問題的方法稱為換元法，又稱輔助元素法、變量代換法.換元法的基本思想是通過變量代換，化繁為簡，化難為易，使問題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而更為簡單快速的解決原來的問題.故換元的實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化與化歸. 在中學數(shù)學教學活動過程中，教師要

9、有意識的培養(yǎng)學生解決問題的時候靈活的使用換元法.要針對不同的題型，不同的問題來確定原題中的“元”，然后適當?shù)倪x擇最有效的“新元”，兩者之間建立聯(lián)系.由于“元”的存在形式有很多，故在“新元”的選擇上是靈活多變和相對復雜的.但是在轉(zhuǎn)換的這個過程中，有三個特點是很明顯與確定的.第一，“新元”的存在使得新問題會比原要解決的疑問來的容易，是我們經(jīng)常在用的并且能夠借助舊的知識解決新的實際問題的.第二，“新元”得到的新問題是在舊問題的基礎(chǔ)上一般化或者是特殊化得來的，而不是憑空產(chǎn)生于原有問題沒有關(guān)聯(lián)的.第三，為了找到這樣的“新元”，我們要對原有的問題進行轉(zhuǎn)換，當然也可以對條件換元或者是對結(jié)論換元（這主要是應用

10、在邏輯命題的相關(guān)知識上）. 4. 換元法在中學解答問題中的應用一、換元法在方程中的應用例題1.（第一屆國際數(shù)學競賽題第2題）x取何值時滿足以下方程：（1）x+2x-1+x-2x-1=2；（2）x+2x-1+x-2x-1=1；（3）x+2x-1+x-2x-1=2；解： （1）將2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x-1=y則原方程轉(zhuǎn)化為： y+1+y-1=2需要引起重視的是換元后的得到新方程的變化范圍是：-1y1，又 y=2x-10， 02x-11，解得這個不等式的解為：12x1故，當12x1時，方程x+2x-1+x-2x-1=2成立（2）將2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x

11、-1=y則原方程轉(zhuǎn)化為： y+1+y-1=2，得到的關(guān)于“新元”的方程是無解的，故原來方程也是無解.（3）將2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x-1=y則原方程轉(zhuǎn)化為：y+1+y-1=22當y-1時，新元方程可以化為y=-4，即y=-4；當y1時，新元方程可以化為y=4，即y=4；當-1y1時，新元方程化為y+1-y+1=22，明顯無解 綜上所述，轉(zhuǎn)換后的新元方程的解為y=-4或y=4.又 y=2x-10， y=4，即原方程的解為：x=8.5這是代數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)的例題，下面給的例題2是將三角形式的方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的方程.例題2.（第四屆的國際數(shù)學競賽題第4題）解下列方程：cos2x+

12、cos22x+cos23x=1分析：這是一個二次三角形式的方程，直接解決是無法解決的，但是通過“換元法”就可以將無從下手的三角方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程.解： 將cos2x看成“元”，用“新元”y代替，則cos2x=y則有：cos2x+cos23x=121+cos2x+1-cos6x =1+12cos2x+4cos32x-3cos2x =1+y2y2-1 =2y3-y+1故，原有的方程轉(zhuǎn)化為：y2+1+y2y2-1=1，即y2y2+y-1=0 y1=0，y2=-1，y3=12所以，將新元方程得到的結(jié)果帶回原方程；（1）cos2x1=y1=0，2x1=2+k，即有x1=4+k2 k=0，1，2，；（2）

13、cos2x2=y2=-1，2x2=+2k，即有x2=2+ k k=0，1，2，；（3）cos2x3=y3=12，2x3=3+2k，即有x3=6+ k k=0，1，2，；綜上所述，以上三種數(shù)都是原方程的解.二、換元法在解方程組當中的應用換元法在方程組中的作用主要是用來簡便計算量的.因為有些方程組如果用常規(guī)方法做也是可以行得通的，但是計算量就有點太大了，特別是在復雜一點的分式方程組或者是高次方程組中利用換元法就是特別明智的選擇.換元的目的就是將復雜的分式方程組化成簡單的整式方程組，也是能夠把高次的方程組化成為低次的.： 解： 設(shè)a=13x-2y，b=12x-5y；則原來方程組可以轉(zhuǎn)化為：即有，代回

14、求解x和y的值，即有：解得，即為原方程的解.三、換元法在解不等式中的用法例題5. （第二屆國際數(shù)學競賽第2題）存在哪些值使得下面的不等式成立？4x21-1+2x22x+9解： 將1+2x看做“元”，用“新元”y替換，則1+2x=y；既有x=y2-12； 故，原不等式可以轉(zhuǎn)化為：y2-121-y20；故y2-121-y2y2+8；解得：y72故，01+2x72；即原不等式解得：-12x0，求fx=2asinx+cosx-sinxcosx-2a2的值的最大與最小分別是多少？解： 設(shè)sinx+cosx=t（t-2，2），故sinxcosx=t2-12；fx=gt=2at-t2-12-2a2=-12t

15、-2a2+12a0，t-2，2；（1）當t=2a2時，有t=sinx+cosx=2sinx+4=2，x=2kx+4，kZ；fxmax=g2=-2a2+22a-12此時t=2a=-2時，有t=sinx+cosx=2sinx+4=-2,x=2kx-34，kZ；fxmin=g-2=-2a2-22a-12（2）當t=2a-2時，有t=sinx+cosx=2sinx+4=-2，x=2kx-34，kZ；fxmax=g-2=-2a2-22a-12此時t=2a=2時，有t=sinx+cosx=2sinx+4=2,x=2kx+4，kZ；fxmin=g2=-2a2+22a-12（3）當-2t2時， fxmax=g

16、2a=12綜上所述（再描述回答一遍即可，這里省略）分析：本例題將三角函數(shù)求值域問題.運用換元的方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值域，這一題不僅要顧及到換元后的取值變化的問題.還結(jié)合了之前學習的二次函數(shù)的性質(zhì)，運用分類的討論方法能夠進一步處理問題. 換元的方法有多種多樣但不是獨立的，它們之間互相聯(lián)系，在解題過程中學生應該有選擇性使用.遇到問題比較復雜的，這時要求學生要認真的分析，能夠根據(jù)特點進行合理的變換和換元，使原有的復雜、困難的問題化為容易解決的問題.學生要知道換元法是一種解決問題策略，需要在充分觀察題設(shè)與結(jié)論的聯(lián)系后才可以有目的的選用，明確選擇哪一類換元不是隨意的.因 此，在運用換元策略去解

17、題時千萬不能生搬硬套.要在仔細觀察、具體分析之后尋找突破口,靈活合理地選擇換元“元”與“新元”. 5. 換元法在中學解題中的常見錯誤 雖然換元法能夠簡化計算，化高次方程為低次方程，但是如果早使用的時候如注意等價轉(zhuǎn)化與換元，那么就容易出現(xiàn)一些不容易發(fā)覺的錯誤，常常表現(xiàn)在如下方面.一、“元”與“新元”選擇不合理；例題1 設(shè)x1-y2+y1-x2=1，求x+y的最值.錯解： 1-y20，1-x20 ； y1，x1； 設(shè)x=cos，y=sin，0，2； coscos+sinsin=1；等式兩邊同時平方可得：sin2=0， =k2，kZ； x+y=cos+sin=2sin+4=2sink2+4，kZ；

18、x+y的最大值為1，最小值為-1；錯誤分析：換元之后定義域范圍擴大，混淆兩個變換式子的自變量，錯誤的增加關(guān)系條件x2+y2=1.正解： 1-y20，1-x20 ； y1，x1；又 x1-y2+y1-x2=1 ； 0y1，00，則有y=t+1t 2， ymin=2；當 t=1t ，即t2=1，t0時，t=1； 將t=1代入t=x+4x=1時，此方程無解.故等號不成立即y沒有最小值.分析：本例題換“新元”時錯誤的確定了“新元”t的取值范圍.正解：令t=x+4x， xR*， x+4x4， t4； y=t+1tt4， t2-ty+1=0t4；故解得：t=y-4+y22，y-4+y224；解得：y174

19、 ymin=174 因此，在使用換元法這種數(shù)學思想思考解決問題的時候不是生搬硬套，要注意概念的理解，細節(jié)的處理，從本質(zhì)上把握換元法的每個步驟.做到靈活快捷的選用最優(yōu)的換元對象和新元，最大程度上簡化計算量，化繁為簡，體現(xiàn)數(shù)學思維的高度.換元法的富有創(chuàng)造性的運用不僅實用而且更直觀.換元不僅僅存在數(shù)學學科知識間的運用，也貫穿在數(shù)學與其他學科的知識、數(shù)學與生活之間.下面簡要闡述數(shù)學在其他學科還有生活中的推廣. 6. 結(jié)論數(shù)學方法是數(shù)學思想的外在表現(xiàn)，數(shù)學思想是數(shù)學方法的本質(zhì)內(nèi)容.本文通過對換元法在中學數(shù)學中的應用與相關(guān)推廣的研究.我認識到：數(shù)學思維的形成與發(fā)展是一個復雜、漫長的的思維認知及內(nèi)化的過程.

20、在形成過程中，參與的思維的成分并不是只有換元思想一種而應該是多樣的.也可以認為：數(shù)學思維的形成實質(zhì)上是綜合素質(zhì)在培養(yǎng)與運用的過程中螺旋上升的過程.往往解決問題鑰匙是來自各方面思維經(jīng)驗的正向遷移.通過對換元法的階段研究.針對換元的多變技巧和多樣的方法進行梳理、對比、歸納以及分類.抓住換元法的基本解題類型與容易產(chǎn)生錯誤的知識點、面.從而幫助學生養(yǎng)成良好的數(shù)學思維以及意識，有效的掌握使用換元法解決問題的知識與技能，培養(yǎng)學生良好的分析與應變解題能力.同時，在收集資料的過程中我發(fā)現(xiàn)：目前教師都比較重視講授表面層次上的換元技巧，注意是強調(diào)技巧，而不重視甚至忽略了滲透數(shù)學思想才是素質(zhì)教育的根本.這種本末倒置

21、的傳統(tǒng)教學還沒有完全轉(zhuǎn)換.只停留在技巧方面的教學不利于學生從本質(zhì)上把握換元法，會導致知識的建構(gòu)體系不完善，很難作為知識的“生長點”.當然，也不能夠單純的強調(diào)數(shù)學思維，否則容易忽略表層的內(nèi)容，從而導致?lián)Q元法的解題過程流于形式，不能夠很好的服務(wù)于生活.因此在未來的教學中應該在教授知識技能的同時要善于引導學生主動思考、學會思考，將數(shù)學學科學習的思想方法應用在其他學科與生活中去，體現(xiàn)數(shù)學是門基礎(chǔ)的、是服務(wù)人類學習與人類生活密切相關(guān)的科學.限于我還是一名大學本科學生，對課題的理論知識構(gòu)建相對薄弱，缺乏實際豐富的教學引導經(jīng)驗.導致對本次研究內(nèi)容較為片.還有有許多的問題需要繼續(xù)深入的研究與探討.總的來說，從

22、本次課題研究可以知道，換元法應用涉及的知識與技能、思想與活動經(jīng)驗的面很廣，相對的處理技巧也是多樣的，我明白進一步去研究換元法的任務(wù)是很有難度的.我對本次課題的部分研究還只是提出了一些常見的解題技巧與思考，缺少對解題理論的深 入探索、發(fā)現(xiàn)與探討.故在今后的學習教學中，會更加注重要在換元的思想理論的層面上，力求找到一、二個突破口，使這得本次研究顯得更加全面.目前，本人對換元法的應用理論研究還處于嘗試發(fā)現(xiàn)的階段，真心期待未來會有更多的數(shù)學教育教學的工作者可以一起深入研究與實踐.靈活、有效地選用換元法創(chuàng)造性的解決實際問題，為全面提高數(shù)學課程的教育教學質(zhì)量提供一份力量.確保學生們能夠在數(shù)學思維的熏陶、陶

23、冶中學習數(shù)學知識與技能、研究數(shù)學的思想、體驗數(shù)學活動、收獲數(shù)學經(jīng)驗.不斷引導學生，提高學生對數(shù)學思維的認知，能夠自主自覺的進行調(diào)節(jié)與監(jiān)控.如此一來，數(shù)學的教育教學就有希望從理論的層面上讓每個學生都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.參考文獻1盧春松. 淺析換元法在初中數(shù)學解題中的應用J. 數(shù)理化學習(初版),2014,10:72+74.2陳正學. 換元法在初中數(shù)學解題中的運用J. 雅安教育學院學報,2001,02:92-93.3馬文杰. 高一函數(shù)教學中學生數(shù)學解題錯誤的實證研究D.華東師范大學,2014.4孫靜. 新課標下初高中數(shù)學教學的銜接研究D.山東師范大學,2011.5劉道明. 換元法在初中數(shù)學解題中的探究J. 數(shù)理化解題研究(初中版),2013,12:17.6陶能文. 初中方程教學研究D.東北師范大學,2010.7王成營. 數(shù)學符號意義及其獲得能力培養(yǎng)的研究D.華中師范大學,2012.8郝娟. 新課程背景下初高中數(shù)學教學銜接問題的研究與實踐D.陜西師范大學,2010.9于萍. 新課標下初高中數(shù)學銜接問題研究D.曲阜師范大學,2013.10賴寧. 關(guān)于數(shù)學課程標準中一元二次方程的內(nèi)容研究D.西南大