概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章習(xí)題課

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章習(xí)題課大數(shù)定律大數(shù)定律一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容中心極限定理中心極限定理切比雪夫定理特殊情況切比雪夫定理特殊情況伯努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理辛欽大數(shù)定理辛欽大數(shù)定理依概率收斂依概率收斂林德伯格林德伯格- -勒維定理勒維定理棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理二、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)重點(diǎn)中心極限定理及其運(yùn)用中心極限定理及其運(yùn)用.2.難點(diǎn)難點(diǎn)證明隨機(jī)變量服從大數(shù)定律證明隨機(jī)變量服從大數(shù)定律.中心極限定理的應(yīng)用中心極限定理的應(yīng)用.切比雪夫定理的特殊情況切比雪夫定理的特殊情況有有數(shù)數(shù)則對(duì)于任意正則對(duì)于任意正的算術(shù)平均的算術(shù)平均個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量作

2、前作前和方差：和方差：且具有相同的數(shù)學(xué)期望且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX. 11lim|lim1 nkknnXnPXP定理一的另一種形式定理一的另一種形式(依概率收斂依概率收斂). , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收斂于依概率收斂于則序列則序列和方差：和方差：且具有相同的數(shù)學(xué)期望且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量伯努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理有有則對(duì)于任意正數(shù)則對(duì)于任意正數(shù)率率在每次試驗(yàn)中發(fā)生

3、的概在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概是事件是事件的次數(shù)的次數(shù)發(fā)生發(fā)生次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件是是設(shè)設(shè) , 0 , , ApAnnA. 0lim1lim pnnPpnnPAnAn或或辛欽大數(shù)定理辛欽大數(shù)定理), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且具有數(shù)學(xué)期望且具有數(shù)學(xué)期望服從同一分布服從同一分布相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量有有則對(duì)于任意正數(shù)則對(duì)于任意正數(shù), . 11lim1 nkknXnP獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理則隨機(jī)變量之和的則隨機(jī)變量之和的和方差：和方差：且具有數(shù)學(xué)期望且具有數(shù)學(xué)期望同一分布同一分布服從服從相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)

4、變量設(shè)隨機(jī)變量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn .111 nkknkknkknXDXEXY標(biāo)準(zhǔn)化變量標(biāo)準(zhǔn)化變量滿足滿足對(duì)于任意對(duì)于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)( xtxt).(de2122 xnnXPxFnkknnn 1lim)(lim棣莫弗拉普拉斯中心極限定理棣莫弗拉普拉斯中心極限定理恒有恒有對(duì)于任意對(duì)于任意則則的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量,)10(,), 2 , 1(xppnnn xtnntxpnpnpP.de21)1(lim22 設(shè)某單位有200臺(tái)電話機(jī)，每臺(tái)電話機(jī)大約有5的時(shí)間要使用外線通話，若每臺(tái)電話機(jī)是否使用外線通

5、話是相互獨(dú)立的，問(wèn)該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線，才能以90以上的概率保證每臺(tái)電話機(jī)需要使用外線時(shí)不被占用。 設(shè)X表示200200臺(tái)電話機(jī)中同時(shí)需要使用外線通話的電話機(jī)數(shù)，則X Xb(200,0.05)b(200,0.05)，并設(shè)安裝了k k條外線，依題意為求 PXk0.9PXk0.9 成立的最小正整數(shù)。根據(jù)中心極限定理有三、典型例題三、典型例題 解解: :9 . 0)5 . 910(5 . 9105 . 910kkXPkXP查表得 14,30.15 .910kk故該單位至少需要安裝14條外線才能以90以上的概率保證每一臺(tái)電話機(jī)需要使用外線時(shí)不被占用。 現(xiàn)有一批種子現(xiàn)有一批種子,其中良種占其

6、中良種占1/6.今任取今任取6000粒粒,問(wèn)能以問(wèn)能以0.99的概率保證在這的概率保證在這6000粒種子中粒種子中良種所占的比例與良種所占的比例與1/6的差不超過(guò)多少的差不超過(guò)多少?相應(yīng)的良相應(yīng)的良種粒數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)種粒數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)?解解: :.99. 061-6000P X，則則應(yīng)應(yīng)有有：設(shè)設(shè)不不超超過(guò)過(guò)的的界界限限為為由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: 61-6000P X 6/56/1600060006/56/160006/16000P X故近似地有故近似地有:,99. 016/56/1600060002 16/56/1600060002 . 6/1,6000 pn)(lim

7、xxnpqnpPnn ,995. 06/56/160006000 即即,58. 26/56/160006000 查查表表得得.0124. 0 解解得得良種粒數(shù)良種粒數(shù)X的范圍為的范圍為:,6000)0124. 06/1(6000)0124. 06/1( X61-6000X.1075925 X即即第四章第四章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理nXXX,21設(shè)設(shè)獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布,則則且且, 0 iEX._)(lim1 nXPniin由辛欽大數(shù)定律由辛欽大數(shù)定律(取取 =1)有有:, 1)11(lim)101(lim11 niinniinXnPXnP又顯然有又顯然有:故故),()11

8、(11nXXnniinii . 1)11(lim)(lim11 niinniinXnPnXP. 1, 1)(lim1即應(yīng)填即應(yīng)填從而有從而有 nXPniin 對(duì)足夠多的選民進(jìn)行民意調(diào)查，以確定某一候選人的支持率。假定選民中有未知的百分?jǐn)?shù)P支持他，并且他們彼此是獨(dú)立行動(dòng)的。問(wèn)：為了有95的信度預(yù)測(cè)P的值在4.5的誤差幅度內(nèi)，應(yīng)至少調(diào)查多少人？|(1)(1)(1)(1)(1)nnnnpnPpPnppnppnpnnPppppnpp nn 假假設(shè)設(shè) 應(yīng)應(yīng)該該調(diào)調(diào)查查 個(gè)個(gè)人人，其其中中有有個(gè)個(gè)人人支支持持他他，誤誤差差為為 ，則則根根據(jù)據(jù)中中心心極極限限定定理理有有解解: :2 ()10.95,(1)

9、()0.975,(1)1.96(1)nppnppnpp 查查表表得得214.5%,0(1)411.96()474.34 4.5%475,475ppnn 又又故故取取即即最最少少調(diào)調(diào)查查個(gè)個(gè)人人。 炮火轟擊敵方防御工事 100 次, 每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布, 其數(shù)學(xué)期望為 2 , 均方差為1.5. 若各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨(dú)立的, 求100 次轟擊(1) 至少命中180發(fā)炮彈的概率;(2) 命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率.解解: : 設(shè)設(shè) X k 表示第表示第 k 次轟擊命中的炮彈數(shù)次轟擊命中的炮彈數(shù)2()2,()1.5 ,1,2,100kkE XD Xk12100,XXX相互獨(dú)立

10、，相互獨(dú)立，設(shè)設(shè) X 表示表示100次轟擊命中的炮彈數(shù)次轟擊命中的炮彈數(shù), 則則1001,()200,()225,kkXXE XD X ( 2 0 0 , 2 2 5 )XN近似由獨(dú)立同分布中心極限定理由獨(dú)立同分布中心極限定理, 有有(1) 180200(180)115P X (2)200 2000 200(0200)1515PX 1( 1.3)(1.3)0.91 (0)( 13.33)0.5 售報(bào)員在報(bào)攤上賣報(bào), 已知每個(gè)過(guò)路人在報(bào)攤上買(mǎi)報(bào)的概率為1/31/3. 令X X 是出售了100100份報(bào)時(shí)過(guò)路人的數(shù)目，求 P P (280 (280 X X 320 320).). 令令Xi 為售出

11、了第為售出了第 i 1 份報(bào)紙后到售出份報(bào)紙后到售出第第i 份報(bào)紙時(shí)的過(guò)路人數(shù)份報(bào)紙時(shí)的過(guò)路人數(shù), i = 1,2,100 11/3()1,1,2,kipP Xkppk (幾何分布幾何分布)21/31/311()3,()6iipppE XD Xpp 解解: :1001kkXX 12100,XXX相互獨(dú)立相互獨(dú)立,()300,()600E XD X (300,600) ()XN近近 似似320 300280 300(280320)600600PX 2021600 20.81651 0.5878 由獨(dú)立同分布中心極限定理由獨(dú)立同分布中心極限定理, 有有 檢驗(yàn)員逐個(gè)檢查某產(chǎn)品,每查一個(gè)需用10秒鐘. 但有的產(chǎn)品需重復(fù)檢查一次，再用去10秒鐘. 若產(chǎn)品需重復(fù)檢查的概率為 0.5, 求檢驗(yàn)員在 8 小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)的概率. 若在若在 8 小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)個(gè),即檢查即檢查1900個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間小于個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間小于 8 小時(shí)小時(shí).設(shè)設(shè) X 為檢查為檢查1900 個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(秒秒)設(shè)設(shè) Xk 為檢查第為檢查第 k 個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(單單位：秒位：秒), k = 1,2,1900解解: : XkP 10 200.5