(完整版)數(shù)值分析復習題及答案

1、數(shù)值分析復習題、選擇題1.3.142 和 3.141 分別作為的近似數(shù)具有（）和（）位有效數(shù)字.A. 4 和 3B . 3 和 2C .3 和 4D . 4 和 42121f x dx1f 1Af()f (2)2.已知求積公式636，則A=()1112A .6B.3C.2D .3x-!2X2x 0二、填空1.設x 2.3149541.,取 5 位有效數(shù)字，則所得的近似值x=A .1oXo= 0,11X-!0B.1。X。= 0,11X1C .1oXo= 1,11為1D .10X0= 111X11f x4.設求方程0的根的牛頓法收斂，則它具有（)斂速。A .超線性B .平方 C.線性D .三次3.

2、通過點乂0，%Xi,yi的拉格朗日插值基函數(shù)10X ,h X滿足(5.用列主元消元法解線性方程組X2X322x12x23x3x 3x222x21.5x33.5作第一次消元后得到的第3 個方程（C.2x2X33DX20.5X31.52設一階差商X1，X2f X2f N 14x2x12 1X2，X3X3X2則二階差商Xl,X2,X33.設X(2,3,1)T,則I|X|2|X II4.2求方程X1-250的近似根，用迭代公式xX1-25，取初始值滄1，那么X15.解初始值問題y f(x,y)yX)yo近似解的梯形公式是Yk 16、， 貝 U A 的譜半徑7、設f(X)3x25, xkkh, k0,1

3、,2,，則f Xn,Xn 1,Xn 29、xn，Xi1,xn 2, Xn 3若線性代數(shù)方程組 AX=b 的系數(shù)矩陣 A 為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都解常微分方程初值問題的歐拉(Euler )方法的局部截斷誤差為y 1010、為了使計算X123(x J? (x的乘除法運算次數(shù)盡量的少，應將表達式改寫11.設X(2,3, 4)T，則IIXI1I|X|212階均差f X),X113.已知n 3時，科茨系數(shù)3C。13C183C238，那么C3314.因為方程2X0在區(qū)間1,2上滿足，所以X0在區(qū)間內有根。15.取步長h 0-1，用歐拉法解初值問題的計算公式16設X 2-40315

4、是真值x 2-40194的近似值,位有效數(shù)字。則二階差商Xl,X2,X317.對f(x)X3X 1,差商f0,1,2,3()。18設X(2, 3,7)T,則|X|120.若 a=2.42315 是 2.42247 的近似值，則 a 有()位有效數(shù)字25、數(shù)值計算中主要研究的誤差有 _ 和_26、設lj(x)(j0,1,2L n)是 n 次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則lj(xi)_(i，jnlj(x)j 027、 設lj(x)( j 0,1,2L n)是區(qū)間a，b上的一組 n 次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為nA，Aj型求積公式中求積系數(shù)j_；且j 0_28、 辛普生求積公式具有

5、次代數(shù)精度，其余項表達式為 _229、f (x) x 1,則f1,2,3_, f123,4_19牛頓一柯特斯求積公式的系數(shù)和nCkn)k 021.Io(x),l1(x),ln(x)是以0,1,nili(x)-n為插值節(jié)點的 Lagrange 插值基函數(shù)，則i。().22.設 f (x)可微，則求方程xf(x)的牛頓迭代格式是().23.迭代公式x(kBX(k)f收斂的充要條件是v(k 1)24.解線性方程組 Ax=b (其中 A 非奇異，b 不為 0)的迭代格式x9x1x28Bx(k)f中的 B 稱為().給定方程0,1,2L n)；30._設 x* = 1.234 是真值 x = 1.234

6、45 的近似值，則 x*有_位有效數(shù)字。31設f(x)X3x 1 ,則差商(均差)f0,1,2,3,f0,1,2,3,432求方程Xf(X)根的牛頓迭代格式是。A33.已知1 23 4則A。34.方程求根的二分法的局限性是 _三、計算題(1)試求f X在4 4上的三次Hermite 插值多項式x使?jié)M足H(Xj)f(Xj), jO,1,2，. H(X1)f*),x以升幕形式給出。(2) 寫出余項R(x)f(x)H(x)的表達式0, 1 收斂?(提示：利用 Simpson 求積公式。)x12x23x3142x15x22x318f(x)1設32x , X0j1,x24.利用矩陣的1012y1 x2的

7、一組數(shù)據(jù)：10.5C.2LU 分解法解方程組3X1X25X3205.已知函數(shù)的近似值.求分段線性插值函數(shù)，并計算f 1.52.已知工二呦的創(chuàng)滿足杖-31,試問如何利用3.推導常微分方程的初值問題y f(x,y)yd。)y yn 1yn 10)構造一個收斂的簡單迭代函數(shù)寫出用改進的 Euler 法（梯形法）、步長 h=0.2 解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解yi，y2,保留兩位小數(shù)。6.已知線性方程組X010X-IXiXiX22X37.210X22X38.3X25X34.2(1)寫出雅可比迭代公式、高斯-塞德爾迭代公式；(2)于初始值0,0,0，應用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式分別計算1

8、X(保留小數(shù)點后五位數(shù)字)7.用牛頓法求方程X3X10在1,2之間的近似根(1 )請指出為什么初值應取 2? ( 2)請用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.8.寫出梯形公式和辛卜生公式,并用來分別計算積分1丄dx01 X9 用二次拉格朗日插值多項式L2(X)計算 sin 0.34的值。插值節(jié)點和相應的函數(shù)值是(0, 0),(0.30, 0.2955),( 0.40, 0.3894)。10.用二分法求方程f (X)X0在1.0,1.5區(qū)間內的一個根，誤差限102。11.用高斯-塞德爾方法解方程組4X12X2X311X14X22X3182X1X25x322V(0)，取X(0,0,0)T,迭代三

9、次(要求按五位有效數(shù)字計算).。12求系數(shù)人，人2和A,使求積公式f (x)dx A1f ( 1)11)A f(牛)對于次數(shù)2 的一切多項式都精確成立13.14.數(shù)精度.3X12X210 x31510X14X2X352X110X24X38試建立一種收斂的Seidel 迭代公式，說明理由11f(x)dxAf ( 0.5) Bf(xJ()的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高,y3X2y對方程組確定求積公式并確定其代.(1) 寫出用 Euler 方法、步長 h=0.1 解上述初值問題數(shù)值解的公式;15.設初值問題y(o)1X 1寫出用改進的 Euler 法（梯形法）、步長 h=0.2 解上述初值問題數(shù)值解

10、的公式，并求解yi，y2,保留兩位小數(shù)。16.取節(jié)點X。，Xi0.5, X21，求函數(shù)ye x在區(qū)間0,1上的二次插值多項式p2（x），并估計誤差。17、已知函數(shù)y f（X）的相關數(shù)據(jù)301230123 n13927中待定參數(shù)A的值（i,2），使求積公式的代數(shù)精度盡量高；并指出此時求積公式的代數(shù)精度2x-i3x24X36,3x-i5x22x35,求它的擬合曲線（直線）。用列主元消去法解線性方程組4為3x230 x332.22.已知0-I245-2457（1）用拉格朗日插法求f（x）的三次插值多項式；（2）求X,使f（x）0由牛頓插值公式求三次插值多項式F3（X），并計算吩）的近似值。y yX1

11、,18、利用尤拉公式求解初值問題，其中步長h-1，y（0）1.X (0,0.6)。19.確定求積公式hhf(x)dxAf( h) Af(0) AJ(h)o20、已知一組試驗數(shù)據(jù)如下兀12345X445688.5確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度f才dw期（-h）+琢気）寫出用改進的 Euler 法（梯形法）、步長 h=0.2 解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解yi，y2,保留兩位小數(shù)。1求形如ya bx擬合函數(shù)。30、用二次拉格朗日插值多項式L2(x)計算sin.34。插值節(jié)點和相應的函數(shù)值如下表。0 00.300.40X =0.00 2955

12、0.389431、利用改進的尤拉方法求解初值問題，其中步長h 0.2211.41.82 22.60.3310,4730.2?70.2240.16S下:計算三次，保留五位小數(shù)。29、已知數(shù)據(jù)如用牛頓(切線)法求、3的近似值。取 xo=1.7.1+4ZaI號=824、用 Gauss 消去法求解下列方程組11 f (x)f(.試求x1x2使求積公式131)2f(xJ 3仏)的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度。.取步長h=0.2,用梯形法解常微分方程初值問題2x 5yy(i) 1y(1 x 2)12x118%3x23x2.用列主元消去法求解方程組兒X2X33x3153x3615并求出系數(shù)矩陣 A 的行列

13、式 detA 的值.32、討論用 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解方程組 Ax=b 的收斂性，如果收斂，比較哪種方法收斂快。其302A 0212 12簡述題：敘述在數(shù)值運算中，誤差分析的方法與原則是什么?y y x,y(0) 1.x (0,0.8)o數(shù)值分析復習題答案二、計算題2 .解：由X (X)，可得X 3Xx(x) 3x1-(x) 3x)(x)21因(x)-(x) 3)，故(X)1(X)-3-1、選擇題 1.A2.D3.D4.C5.Bf N,X2,X3f X2,X3f X1,X2二、填空 1、2.31502、X3X1h yk2 f Xk,ykXk 1,yk 16、(

14、A).67、Xn,Xn1,Xn1014.21.22.26 .1, i0, i4； 31、 110、15.2(X1)(x1)11.1123,f3、6 和yky。yk1.10.120.1k,k 0,1,2L16、3；17、Xn 1XnXnf (Xn)1 f (Xn).23.(B)1； 24、.迭代矩陣,J,1 ；27. 至少是balk(x)dxa，b-a ； 28. 30；32、Xn 1f (Xn)f (Xn)33、144、1.5Xn, Xn 1, Xn 2, Xn 3f X0f X112.8、X0X118、7;19、13.820. 3;kX1kX2i(8i(4x2k)X(k);25.相對誤差絕對

15、誤差b a(b180(T4f(4)(),(a,b)； 29. 1 0 ；30、7, 6 ； 34、收斂速度慢，不能求偶重根。1 .解：(1 )R x(2)丄4!1652(X14322526322331xx450450251294)(x 1)2(x丁),1 9(x) (-,7)4 4222所以分段線性插值函數(shù)為6.解：原方程組同解變形為X0.1X20.2X30.72X20.1X10.2X30.83X30.2X10.2X20.84雅可比迭代公式為m 1X0.1x2m0.2x3m0.72m 1X20.1x1m0.2x3m0.83m 1mmX30.2X10.2X2咼斯塞德爾迭代法公式0.84 (m0,

16、1.)m 1X0.1x2m0.2x3m0.72m 1X20.1x1m 10.2x3m0.83m 1X30.2x1m 10.2x2m10.84(m0,1.)數(shù)值積分方法構造該數(shù)值解公式：對方程f(x)在區(qū)間人1,Xn 1上積分,Xn 1y(Xn 1)得y(Xnl)Xn 1f (X, y(x)dx，記步長為 h,對積分滄1f (X, y(x)dx冷1用 Simpson 求積公式得Xn 1f (x,y(x)dxXn 12h石f(Xn1)4f(Xn) f (Xn i)h3(yn14ynyn 1)所以得數(shù)值解公式:yn 1ynh1-(yn 14ynym)4 解A LU424令 Ly b 得 y(14,1

17、0,72)T,UXy 得X(1,2,3)T.5.解X 0,1%XX 00.51 010.5XX1,2%X0.50.20.3X0.8%X1 0.5X X0,10.8 0.3X X1,2%1.50.8 0.3 1.50.35111 4251用雅可比迭代公式得0.720 00,0.830 00,0.840 00用高斯-塞德爾迭代公式得1X 0.720 00,0.902 00,1.164 407.解：f X3xfX3X212X240，故取X 2作初始值迭代公式為XnXn 1Xn 1Xn3Xn 1Xn 13xn 123Xn 1X12xn 13 Xn 11)n 1,2,X02 3332211.888892

18、1.888893:1.888892X3方程的根1.879450.00944 0.00011.87945311.8794521.87939X3X20.000060.00011.879398.解梯形公式dx應用梯形公式得011dXX1 121 0dX辛卜生公式為應用辛卜生公式得0dX0.751 161 011 136111 425111.解迭代公式X1(k1)(1142x2k)x3k)x2k1)1(184x；k 12x3k)x3k1)扣 22x1k 1x2k 1)5k盤000012,753.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59573.183912.解

19、:1A19A2A313.解：調整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)10 x14X2X352x110 x24X383x12x210 x315故對應的高斯 一塞德爾迭代法收斂.迭代格式為(xN)(XX2)f(x x)(x X2)f0L2(X)(X0N)(X0=0.333336X2)f1(X1X)(X1X2)(X2(X Xo)(X Xi)f2X0)(X2X1)10.用二分法求方程f(x)X3X 10 在 1.0,1.5區(qū)間內的一個根，誤差限10217 oXi1.25X4X21.34375 x51.3751.328125X31.3125X61.32031253!4x3k)8)x3k 1)丄(3才2x

20、2k 1)15)10取x()(0,0,0)T,經7步迭代可得：x*x(7)(0.999 991 459,0.999 950 326, 1.000 010)T14.4.解3.假設公式對 f (x)1,x,x2,x3精確成立則有A B C 20.5ABx10.5C00.25ABx20.25C230.125ABx；0.125C042解此方程組得AC B -33求積公式為11f (x)dx 4 f( 0.5) 2f (0) 4f (0.5),當 f (x)x4時，13左邊2右邊1左邊右邊 代數(shù)精度為 3o5616. 解:4x2k)x3k)5)15.解(1) yn 1yn0.1(3Xn2yn)0.3Xn

21、1.2ynyn 1yn=ynyn 120.1(6x,32yn0.2(3Xn2yn)3(xn0.2)2yn迭達得n3嚴322yn2yn 13403_401.575,y20.6)63400.23402.585P2(x)e0.50.51-(x00)0.5ee0.510.51+2(e1)x2(e12e0.5xMmaxx 0,11,e10.511)x(x0.5)xP2(X)嚴(x0)(x。5)fQx(x0.5)(x 1)P2(x)1|x(x 0.5)( x 1)17、解：差商表3!2%/心也產亦和1，無+?f.心丙士1，坯+2畫+匸.a01113222D6233278d斗73由牛頓插值公式：43P3(x

22、)N3(x)-x32x28-x 1,33p3()24 13()33 2122(2)8 13(2)1 218、解:f(x, y)y x 1,y。1,h0.1,yn 1yn0.1(Xn1yn), (n 0,1,2,3,L )yo1,yk1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;1.056100;1.090490;1.131441.14仃42Ah, A_h19.解：分別將f(X) 1,x,x，代入求積公式，可得33令f(x) x?時求積公式成立，而f(x) x4時公式不成立，從而精度為3。5a 15b 3120、解: 設ya bx則可得15a55b 105.5于是a2.

23、45, b1.25即y2.451.25x。解：234643 30324 3 3032352535253 5 2543 303223462 3 46433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/114330324x13x230 x332,x13,011823811x282 x338,X28,0012即X32.X32.22 解.用反插值得X fi(y)(y4)(y5)(y7)2(y2)(y5)(y7)4(y2)(y4)(y7)(24)(25)(27)(4 2)(45)(47)(5 2)(54)(57)(y 2)( y 4)(y 5)5(72)(

24、74)(75)令y 0得xf1(0)832解令f(x)1,x,x代入公式精確成立，得A B 2hhA Bx102223h2A Bx：-h33；31h, A h22，得求積公式24、解：本題是 Gauss 消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計算即可。1 1 1X1X2X3945611X2X34604513X315415故X3154 153177.69x260(4丄45x3)476.921 1X14(9X3X2)227.0865解：由等式對f(x)hXX精確成立得:解此方程組得1 653 2、615解得x1h, B3f (x)dxh)13f(3h)30對f(x) x；hf (x)

25、dx ( h)33f13(1h)4h故求積公式具有2 次代數(shù)精確度。2捲3x212x：3迂1X1x2又當f(x) x時左邊右邊此公式的代數(shù)精度為 2.解：梯形法為yn 1y0.2(2Xn5yn) (2Xn 15yn 1)迭代得y10.62667, y2y40.64840,y50.55566, ya0.58519,0.72280解：先選列主元18 31-151831150 -15123315 ,7 17310 -1 1 16消兀L6136 J-183-1-15-18 3 -1_15.71731n717310 6 186 IST722弘0 -1 -50 0 L3一;消兀L77 J2 行與 1 行交

26、換得3 行與 2 行交換2i1回代得解X33X22,X11;行列式得det A187_162266解:-3是f（x）X20的正根,f (x) 2x，牛頓迭代公式為Xn 1Xn32Xn取 xo=1.7,n1231732351732051.73205即f(n 0,1,2,.)XnXn 1已知數(shù)據(jù)如11.42.22.60.9310.4730.2970.2240.168列表如下:29、下:1a bX擬合函數(shù)。解:a bx5z 16.971, zixi35.902i ia16.971b35.390212.05353.0265 x30、解：過點（x0,f0）,（x1），區(qū)恙）的二次拉格朗日插值多項式為L2

27、(x)-(x-xj(x x2)f(x1 0 x)(xX2)ff1(XX)(xx1)f(x0兒）（滄x2）(X1X)(X1X2)(X2X0XX2X1)代值并計算得sin 0.34L2(0.34)0.33：336031、解：Yn 1ynh(ynxn),yn 1ynh(ynXn)(yn 1Xn,J,(n 0,1,2,3,L ) y1,yk1.000000;1.240000;1.576800;2.031696;2.630669;3.405416.32、解:1 abx ,令 z1,則 zyy555Xi9,x2i17.8,i 1i 1i 1解此方程組得59917.8擬合曲線為a 2.0535b 3.026

28、5簡述題：解：數(shù)值運算中常用的誤差分析的方法有：概率分析法、向后誤差分析法、區(qū)間分析法等。誤差分析的原則有：1 ）要避免除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值的除法; 大數(shù)吃BG0BJ010,l BJ11121 ;即 Jacob 迭代收斂,642iBG|2（；）0,得11（BG）121GaussSeide 迭代法收斂。11又 Q11膽,Gauss Seidel 迭代法收斂快一些。0 0 01 1 112 1211122）要避免兩近數(shù)相減;3）要防止掉小數(shù)：4）注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。(C)各分類間均值不相等(D)各分類間至少有兩組均值相等選擇題(共 30 分，每小題 3 分)1、下列說法中不屬

29、于數(shù)值方法設計中的可靠性分析的是()。(A)方法收斂性；(B)方法的穩(wěn)定性；(C)方法的計算量；(D)方法的誤差估計。2、已知方程 x3 3- 2x- 5=0在區(qū)間2,3存在唯一正根，若用二分法計算，至少迭代()次可以保證誤差不超過-103。2(A) 5 ；(B) 7 ；(C) 10 ；(D) 12。3、一般用高斯消元法解線性代數(shù)方程組要采用的技術是()(A)調換方程位置；(B)選主元；(C 直接求解；(D)化簡方程組。4、設f(x) 9x83x410，則f 20,21,22,23,24,25,26,27,28和f 30,31,32,33,34,35,36,37,38,39的值分別為7、在區(qū)間

30、0,1上滿足y(0)=1.5,y(1)=2.5的 0 次擬合多項式曲線是(9、方差分析主要用于分析(A)1,1；(B) 9X8!,(C) 9, 0；(D) 9, 1。5、若用復化的辛浦生公式計算積分sinxdx ,問積分區(qū)間要()等分才能保證誤差不超過2 105?(A) 10 ；(B) 15；(C) 20；(D) 25。6、用一般迭代法x(kBx(k)求解方程組Ax=bW解，則當()時,迭代收斂。(A )方程組系數(shù)矩陣 A 對稱正定;(B)方程組系數(shù)矩陣A嚴格對角占優(yōu);(C)迭代矩陣 B 嚴格對角占優(yōu);(D )迭代矩陣 B 的譜半徑p(B)1。(A)y = 2；(B)y = 1.5；8、復相關

31、系數(shù)的取值區(qū)間為：(C)y = 2.5；(D)(A)0 R 1；(B)1 R(C)(D)(A)自變量和因變量都是分類變量(B)自變量和因變量都是順序變量(C)各分類間均值不相等(D)各分類間至少有兩組均值相等(C)自變量和因變量都是數(shù)值變量(D)自變量是分類變量，因變量是數(shù)值變量10、方差分析中在由樣本推斷總體性質時,零假設是(A)各分類間方差相等(B)各分類間均值相等、填空題（共 30 分，每小題 3 分）1、 數(shù)值計算中主要研究的誤差有 _和_。2、 .x*的相對誤差約是 x*的相對誤差的_ 倍。3、方程求根的二分法的局限性是 _ 。4、 求方程根的割線法的收斂階為_ 。5、 求定積分的牛

32、頓-柯特斯公式的代數(shù)精度為 _。6、 若用高斯-賽德爾法解方程組X1ax24，其中a為實數(shù)，則該方法收斂的充要條件是a應滿足2axix237、 線性代數(shù)方程組八乂=財目容的充要條件是 _ _。8、單純形算法的基本思路是 ：_ 。_9、 參數(shù)假設檢驗的含義是 _。10、 假設檢驗的基本思想的根據(jù)是 _三、（7 分）確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。1f（x）dx Aof（xo） A1f （x1）18x1X2X38四、 （8 分）已知方程組2x110 x2x311 或 Ax b分別寫出該方程組的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭x1x25x33代法的分量形式。五

33、、 （9 分）設步長為 h，分別用 Euler 方法、隱式 Euler 方法和梯形方法寫出微分方程y xy1的求解公式。y（0） 1六、 （8 分）設總體 X 在區(qū)間a, b上服從均勻分布，其中 a、b 未知，X1,X2, ,Xn為總體 X 的樣本，求 a、b 的極大似然估計量.七、 （8 分）將如下線性規(guī)劃問題化成標準型：Min ZX12X23X3s.t.X1X2X37(1)X1X2X323X1X22x35X1,X20, X3無限制參加答案一、 選擇題(共 30 分，每小題 3 分)1、下列說法中不屬于數(shù)值方法設計中的可靠性分析的是(C )。(A)方法收斂性；(B)方法的穩(wěn)定性；(C)方法的

34、計算量；(D)方法的誤差估計。2、已知方程 x3 3- 2x- 5=0在區(qū)間2,3存在唯一正根，若用二分法計算，至少迭代( C )次可以保證誤差不超過13103。2(A) 5 ；(B) 7 ；(C) 10 ；(D) 12。3、 一般用高斯消元法解線性代數(shù)方程組要采用的技術是()(A)調換方程位置；(B)選主元；(C 直接求解；(D)化簡方程組。4、設f(x) 9x83x410，則f 20,21,22,23,24,25,26,27,28和f 30,31,32,33,34,35,36,37,38,39的值分別為、填空題(共 30 分，每小題 3 分)(A)1,1；(B) 9X8!,(C) 9, 0

35、；(D) 9, 1。5、若用復化的辛浦生公式計算積分sinxdx ,問積分區(qū)間要(A)等分才能保證誤差不超過 2 105?(A) 10 ；(B) 15；(C) 20；(D) 25。6、用一般迭代法x(kBx(k)求解方程組Ax=bW解，則當(D )時，迭代收斂。(A )方程組系數(shù)矩陣 A 對稱正定;(B)方程組系數(shù)矩陣A嚴格對角占優(yōu);(C)迭代矩陣 B 嚴格對角占優(yōu);(D)迭代矩陣B的譜半徑 p(B)1。7、在區(qū)間0,1上滿足y(0)=1.5,y(1)=2.5的 0 次擬合多項式曲線是(A)y = 2；(B)y = 1.5；8、 復相關系數(shù)的取值區(qū)間為：(A(A)0 R 1；(B)1 R9、方

36、差分析主要用于分析(D(C)(C)y = 2.5；(D)(D)(A)自變量和因變量都是分類變量(B)自變量和因變量都是順序變量(C)自變量和因變量都是數(shù)值變量(D)自變量是分類變量，因變量是數(shù)值變量11、方差分析中在由樣本推斷總體性質時, 零假設是(A)各分類間方差相等(B)各分類間均值相等(C)各分類間均值不相等(D)各分類間至少有兩組均值相等1、 數(shù)值計算中主要研究的誤差有 _ 和_ 。1，亠2、.x*的相對誤差約是x*的相對誤差的 _ -_ 倍。3、方程求根的二分法的局限性是 _ 。收斂速度慢，不能求偶重根。154、 求方程根的割線法的收斂階為。1.618 或25、 求定積分的牛頓-柯特

37、斯公式的代數(shù)精度為 _。56、 若用高斯-賽德爾法解方程組X1ax24，其中a為實數(shù)，則該方法收斂的充要條件是a應滿足_2ax1x23I |血 -。aT7、線性代數(shù)方程組Ax=bffi容的充要條件是_ _。ran k（A）= ran k（A,b）&單純形算法的基本思路是 :根據(jù)問題的標準型，從可行域中某個基本可行解（頂點）開始，轉換到另一個基本可行解（頂點），并使得每次的轉換，目標函數(shù)值均有所改善，最終達到最大值時就得到最優(yōu)解。9、參數(shù)假設檢驗的含義是對總體中某個數(shù)字特征或分布中的參數(shù)提出假設檢驗。_10、 假設檢驗的基本思想的根據(jù)是小概率事件原理：“小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的。

38、”三、 （7 分）確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。1f（x）dx Af（X0）A/（X1）18x1X2X38四、 （8 分）已知方程組2x110 x2x311 或 Ax b分別寫出該方程組的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭X1X25X33代法的分量形式。五、 （9 分）設步長為 h，分別用 Euler 方法、隱式 Euler 方法和梯形方法寫出下列微分方程的求解公式：y x y 1y（0） 1。六、 （8 分）設總體 X 在區(qū)間a, b上服從均勻分布，其中 a、b 未知，X1, X2, ,Xn為總體 X 的樣本，求 a、 b 的極大似然估計量.七、 （8

39、 分）將如下線性規(guī)劃問題化成標準型：Min ZX12X23X3s.t.X1X2X37(1)X1X2X323X1X22x35X1,X20, X3無限制試題 一.填空題（本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分）1設有節(jié)點xo,xi,x2,其對應的函數(shù) y f x 的值分別為yo,yi,y2,則二次拉格朗日插值基函數(shù)Io（x）為_ 。2._ 設 f x X2，則 f x關于節(jié)點Xo0,Xi1,X23的二階向前差分為 _ 。11 023.設A1 1_ 1,x 3，貝 U | A1= , x1。01 134. n 1 個節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精確度為 _。二簡答題（本大題共 3 小題，每小題

40、 8 分，共 24 分）1. 哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計算穩(wěn)定？2.什么是不動點迭代法？ x 滿足什么條件才能保證不動點存在和不動點迭代序列收斂于x 的不動點？3.設 n 階矩陣 A 具有 n 個特征值且滿足123Ln，請簡單說明求解矩陣 A 的主特征值和特征向量的算法及流程。求一個次數(shù)不高于 3 的多項式 P3x，滿足下列插值條件:Xi123yi2412yi3并估計誤差。（10 分）14四. 試用n 1,2,4的牛頓-科特斯求積公式計算定積分I dx。（ 10 分）01 x五. 用 Newton 法求f（x） x cosx 0的近似解。（10 分）六. 試用 Dool

41、ittle 分解法求解方程組:256x141319x2636x320 x-|2x23x3241019（10分）七. 請寫出雅可比迭代法求解線性方程組x,8X2X312的迭代格式，并判斷其是否收斂?2x-|3X215X330（10 分）八. 就初值問題yy考察歐拉顯式格式的收斂性。（10 分）y（0） yo參考答案一. 填空題（每小題 3 分，共 12 分）1.|0X（X X1）（XX；2.7 ； 3. 3 , 8; 4.2n+1。（XoX1）（XoX2）二簡答題（本大題共3 小題，每小題 8 分，共 24 分）1. 解：系數(shù)矩陣為對稱正定的方程組可用平方根法。（4 分）對于對稱正定陣A從aHk

42、1li2可知對任意k i有|hk|、,云。即L的元素不會增大，誤差可控,不需選主元，所以穩(wěn)定。（4 分）2. 解：（1）若XX，則稱X為函數(shù)X的不動點。（2 分）（2）X必須滿足下列三個條件，才能保證不動點存在和不動點迭代序列收斂于X的不動點：1）X是在其定義域內是連續(xù)函數(shù)；（2 分）2）X的值域是定義域的子集；（2 分）3）X在其定義域內滿足李普希茲條件。（2 分）3. 解：參照幕法求解主特征值的流程（8 分）步 1:輸入矩陣 A，初始向量 v0，誤差限，最大迭代次數(shù) N;步 2：置 k:=1,:=0， u0=v0/|v0| g;步 3:計算 vk=Auk-1;步 4：計算Vkrmax Vk

43、i;r1 i ni并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步 5:若|mk-i|，計算，輸出 mk,uk;否則，轉 6;步 6:若 kN,置 k:=k+1,i:=mk，轉 3;否則輸出計算失敗信息，停止三.解：（1）利用插值法加待定系數(shù)法：設p2X滿足p212, p224, p2312,則p2X3X27X6,（3 分）20.75（1 分）11應用辛普森公式得：I I2_ f 0 4ff 1（2 分）620.69444444（1 分）應用科特斯公式得：1113I I47f 032f 12f32f 7f 1（2 分）904240.6931746（2 分）五.解：由零點定理，xCOSX0在（0,

44、）內有根。由牛頓迭代格式XmXnXn COSXn門0,1,（4 分）故取XX40.739085133（1 分）六.解：對系數(shù)矩陣做三角分解：256100 u11U12U1341319I2110U22U23（2 分）6361 31321U331256A2137LU（4 分）3414若Ly b，則y110, y21,y34;（2 分）再設p3Xp2XKX1X2X3（3 分）K2（1 分）P3X2X39X215X6（1 分）142（2）R3Xf4X1X2X3（2 分）4!1 sin Xn取Xc得，4X10.73936133; X 0.739085178X30.739085133 &0.7390851

45、33四.解：應用梯形公式得I h1f 0 f 1（2分）七.解：（1）對于方程組，雅可比方法的迭代矩陣為（3 分）若UXy，則X（3,2,1）T。（2 分）650。6其特征多項式為det( I B)故有B 1.25(2)對于方程組,其特征值為10,00.50.5（2分）0.510,21.25,0.501.25，且特征值為31.25i（2分）故有B0.5八證明題1，因而雅可比迭代法不收斂。Gauss-Seidel迭代法迭代矩陣為0.50.5(本大題共（1分）0.50.5（2分）0.530.5（2分）因而 Gauss-Seidel迭代法收斂。（1分）2 小題，每小題 7 分，共 14 分)1.證：

46、該問題的精確解為y(x)Xyoe（2分）歐拉公式為yi 1yih yi（1h）yi（2分）對任意固定的X xiih,有yiy（1h）Xi/hy （1h）1/ h（2分）則yeXiy（Xi）（1分）2.證：牛頓迭代格式為xn5Xn6a6xJ0,1,2丄（3分）因迭代函數(shù)為x5xa6x2（2分）故此迭代格式是線性收斂的。（2分）試題、填空題(本題 24 分，每小題 3 分)1.若方程f(x) 0，可以表成x(X)，那么(x)滿足_ ；則由迭代公式Xn 1(Xn)產生的序列Xn一定收斂于方程f(X)0的根。4._區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(X)是滿足： _ ；5設總體X N(,),未知，寫出的

47、 95%的置信區(qū)間：;6 .正交表LN(“p m)中各字母代表的含義為；I7取步長h 0.2，解y X 2y,x 0.11的 Euler 法公式為：;y(0) 18 對實際問題進行建模求解時可能出現(xiàn)的誤差有：_;22T7.已知二元非線性函數(shù)f(x) X1+X1X2X2-2X1+4X2, Xo(1,2)，該函數(shù)從 Xo出發(fā)的最速下降方向_22T8 已知二元非線性函數(shù)f(x)x-i+x1x2x2-2x1+4x2,X0(1,2)，該函數(shù)從Xo出發(fā)的 Newt on 方向為：_；o(本題 8 分)某商場決定營業(yè)員每周連續(xù)工作5 天后連續(xù)休息 2 天，輪流休息。根據(jù)統(tǒng)計，商場每天需要的營業(yè)員數(shù)如下表:星

48、期-一-二二三四五六日需要人數(shù)300300350400480600550(1) 為商場人力資源部建立線性優(yōu)化模型安排每天的上班人數(shù)，使商場總的營業(yè)員數(shù)最少。(不要求計算出結果)；(2) 寫出所建立的模型的對偶形式。三、(本題 8 分)已知f (x)的數(shù)據(jù)如表：X0137f(x)00.521.5試求三次插值多項式 P(x)，給出相應的誤差估計式，并求f(2)的估計值。四、(本題 12 分)為了改進錄音效果，今比較三種不同磁粉的錄音帶的放音效果，用這三種不同的磁粉(記為2A.A2.A3)的錄音帶錄音，假設A N(i,),i 1,2,3，得到的數(shù)據(jù)已匯總成方差分析表如下方差來源平方和自由度樣本方差F

49、值組間 SSA667.73組內 SSE12五、(本題 10 分)利用單純形方法求解下面的線性規(guī)劃(要求寫出計算過程)max Z 40 x-i45x2s.t3X1x2502x12.5X270 x-i0, x20總和 SST1114.9314(1)試把上述方差分析表補充完整(2)問這三種磁粉的平均放音效果有無顯著差異？(取0.05，F(xiàn)O.O5(2,12)3.89)六、 (本題10 分) 試確定求積公式hhf (x)dx Aif ( h) Aof (0)Aif (h)中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。家庭序號家庭收入Xi食品支出YXi2XiYYi212074001404923099002708133

50、391089297814401116004401215155225525614419656167268676208648381014443801009359122531581104210176442010011228484176641231996127981合計34699109643056863(2 )檢驗回歸效果是否顯著(.5) ；(3)試解釋回歸方程的經濟意義。(t0.025(i0) 2.228i,t0.05(i0) 1.8125)八、(本題 16 分)設方程組為x18x27Xi9X389xix2X37(i)對方程組進行適當調整， 使得用高斯一塞德爾迭代法求解時收斂;七、(本題 12 分)

51、為研究家庭收入X(元)和食品支出Y(元)關系，隨機抽取了 12 個家庭的樣本，得到數(shù)據(jù)如下表假設Y與X之間符合一元線回歸模型,(1)試用上表數(shù)據(jù)建立線性回歸方程;(2 )寫出對應的高斯一塞德爾迭代格式；(3)取初始向量x(0)(0,0,0)T，求迭代次數(shù) k 使得x(k -)x(k)|10 (1)在每個小區(qū)間是次數(shù)不超過3 次的多項式，(2)在區(qū)間a,b上二階導數(shù)連續(xù)，(3)滿足插值條件S(xi)yi,i 0,1,2,L , n);5 設某個假設檢驗問題的拒絕域為W，且當原假設 H。成立時,介于 35%到 55%之間，不允許有其他成分。鋼鐵公司擬從五種不同級別的礦石中進行冶煉，每種礦物的成分含

52、 量和價格如下答案、填空題(本題 24 分，每小題 3 分)1.若方程f (x)0可表成X (X)，且在a,b內有唯一根x,那么(x)滿足，則由迭代公式Xn 1(Xn)產生的序列Xn定收斂于X。(x)滿足：(x) c1a,b,且x a,b有(x) a,b,(x)2.已知二元非線性函數(shù)f(x)2X1X1X2X22x14X2, X0(2, 2)T，該函數(shù)從Xo出發(fā)的最速下降方向為(最速下降方向為：p4,2T);3 已知二元非線性函數(shù)f(x)2X12x22x14x2, X。(2, 2)T，該函數(shù)從Xo出發(fā)的 Newton 方向為(Newton 方向為：p2,0T)；4已知y f (x)在區(qū)間a,b上

53、通過點(xi, yi),i0,1,2,L ,n，S(x)是滿足則犯第一類錯誤的概率為(0.15);樣本值(XX2,L ,Xn)落入 W 的概率為 0.15 ,6 在實際問題中求某參數(shù)的置信區(qū)間時， 總是希望置信水平愈 短愈好。但當增大置信水平時，則相應的置信區(qū)間長度總是大愈好，而置信區(qū)間的長度愈 變長取步長h 0.2, 解0,1的 Euler法公式為yn 1ynh(Xn2y.) 0.6yn0.2Xn, n0,1,2丄，5);8 差。)對實際問題進行建模求解時可能出現(xiàn)的誤差有:(一模型誤差，觀測誤差,方法誤差，舍入誤二、(本題 8 分)某鋼鐵公司生產一種合金，要求的成分是：錫不少于28%，鋅不多

54、于15%，鉛恰好 10%，鎳表。礦石雜質在冶煉中廢棄，并假設礦石在冶煉過程中金屬含量沒有發(fā)生變化。合金礦石錫（%）鋅（%）鉛（%）鎳（%）雜質（%）費用（元/噸）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151715190（1） 建立線性優(yōu)化模型，安排最優(yōu)礦物冶煉方案，使每噸合金產品成本最低。（不要求計算出結果）（2）寫出所建立的模型的對偶形式。（1）設Xj,（j 1,2丄5）是第 j 種礦石的數(shù)量，目標是使成本最低，得線性規(guī)劃模型如下:min Z 340 xi260 x2180 x323% 190 x5st0.25x10.4x

55、20.2x4O.O8X50.280.1% 0.15x20.2x40.05x50.150.1為0.05x30.15x50.14 分0.25x10.3x20.2x30.4x40.17x50.550.25x10.3%0.2%0.4x40.17x50.350.7% 0.7x20.4X30.8x40.45xs1Xj0,j 1,2,L 5(2)上述線性規(guī)劃模型的對偶形式如下：max f0.28y!0.15 y20.1y30.55y40.35 y5y6s.t0.25y1-0.1 y20.1y30.25 y40.25y50.7y63400.4y10.3y40.3y50.7y62600.15y20.05y30.

56、2y40.2y50.4y61804 分0.2%0.2y20.4y40.4y50.8y62300.08y10.05y20.15y30.17y40.17y50.45y61901 1y10, y20, y40, y50, y?R , R三、(本題 8 分)已知f (x)的數(shù)據(jù)如表：x0137f(x)00.521.5試求三次插值多項式 P（x），求 f的近似值，并給出相應的誤差估計式。解:用 Newt on 插值法求f（x）的插值多項式，由所給數(shù)據(jù)如表可得差商表如下:Xif(Xi)一階差商二階差商三階差商四階差商0010.50.5320.750.25/371.50.1250.875/61.375/42

57、418.25/7-0.37-0.245-0.033-0.000075由差商表得出f（X）的三次插值多項式為:于是有N3(X)0.5X.25X(X 1)31.375X(X1)(X423)3 分0.251.375f(4)N30.544 34 3 13422 分OA2.7518.252 177相應的誤差估計式為：R3(X)f0,1,3,7,xx(x 1)(x 3)(x 7)f0,1,3,7,4 4 3 1 ( 3)0.000075 ( 36)2分0.0027四、（本題 12 分）為了考察硝酸鈉 NaNO3的可容性溫度之間的關系，對一系列不同的溫度（100 的水中溶解的 NaNO3的重量（g），得觀察結果如下:0C），觀察它在溫度X20303340151326383543重量 y 798115481010（1）求 Y 對 X 的線性回歸方程。（結果保留小數(shù)點后兩