概率論與數(shù)理統(tǒng)計1.3-1.4

1、n例例1 一袋中裝一袋中裝10個球，個球，3黑黑7白，先后從袋中兩次白，先后從袋中兩次各取一球（不放回），求各取一球（不放回），求1）已知第一次是黑球，第二次仍為黑球的概率？）已知第一次是黑球，第二次仍為黑球的概率？2）已知第二次是黑球，第一次也為黑球的概率？）已知第二次是黑球，第一次也為黑球的概率？第三節(jié)第三節(jié) 條件概率、全概率公式條件概率、全概率公式1、條件概率的定義、條件概率的定義:5定定義義 ,( )0,()( )(|)() ()( )A BP BP ABBAP BP A BP ABP A BP B設為兩個事件，且則稱為事件 已發(fā)生條件下事件 發(fā)生的條件概率，記為上一頁上一頁下一頁下一

2、頁返返 回回.),()(3 1)(2 0)(1 )(2111000為為兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件，其其中中；，即即：符符合合概概率率定定義義的的三三公公理理niiiiAAABAPBAPBPBAPBAP 上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回(2)在原樣本空間中計算在原樣本空間中計算,由于由于19320/41920/34)()()(192034)(,204)( APABPABPABPAP故故(1)在縮減的樣本空間中計算在縮減的樣本空間中計算.因第一次已經(jīng)取得了次品因第一次已經(jīng)取得了次品,剩下的產(chǎn)品共剩下的產(chǎn)品共19件其中件其中3件次品件次品,從而從而 P(BA)=3/19例例2 某批產(chǎn)品共某批

3、產(chǎn)品共20件件,其中其中4件為次品件為次品,其余為正品其余為正品,不放不放回地從中任取兩次回地從中任取兩次,一次取一件一次取一件.若第一次取到的是次品若第一次取到的是次品,問第二次再取到次品的概率是多少問第二次再取到次品的概率是多少?解解 ：令：令A=第一次取到次品第一次取到次品,B=第二次取到次品第二次取到次品, 需求需求P(BA).上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回設設P(A)0,則有則有 P(AB)=P(A)P(BA)同樣同樣,當當P(B)0時時,有：有： P(AB)=P(B)P(AB) )()()()()(, 0)(12121312121121 nnnnAAAAPAAAPAAPAPAA

4、APAAAP則有則有設設2、乘法定理、乘法定理乘法定理可推廣至任意有限個事件的情形乘法定理可推廣至任意有限個事件的情形:上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回例例3 3 設袋中有設袋中有1010個紅球，個紅球，2020個白球，每次取一個球，看后放回，個白球，每次取一個球，看后放回，再放入再放入1 1個與所取顏色相同的球。如果連續(xù)取三次，求第一次、個與所取顏色相同的球。如果連續(xù)取三次，求第一次、第二次取紅球，第三次取白球的概率第二次取紅球，第三次取白球的概率123=BA A A,1,2,3iiAiiAi設第 次取到紅球，則第 次取到白球上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回123121312(=)()

5、() ()1111022122P BP A A AP A P A A P A A A于是所求的概率為）（3、全概率公式與貝葉斯公式、全概率公式與貝葉斯公式12001 ,1, ,1,2,2nijniiAAAA Aij i jnA 設為樣本空間， ，為的一組事件 若滿足的的一一個個劃劃分分。為為則則稱稱 nAAA,216定義上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回.)()()(., 2 , 1, 0)(,121，稱稱為為全全概概率率公公式式則則有有且且的的一一個個劃劃分分為為中中任任一一事事件件，為為樣樣本本空空間間設設 niiiinABPAPBPniAPAAAB 全概率公式全概率公式上一頁上一頁下一頁

6、下一頁返返 回回., 2 , 1)()()()()( ., 2 , 1, 0)(0)(,121逆逆概概率率公公式式稱稱為為貝貝葉葉斯斯公公式式，也也稱稱則則，且且的的一一個個劃劃分分為為中中的的任任一一事事件件，為為，設設樣樣本本空空間間為為niAPABPAPABPBAPniAPBPAAABnjjjiiiin 貝葉斯公式貝葉斯公式上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回n全概率公式全概率公式：很多實際問題中事件：很多實際問題中事件B的概率不易的概率不易輕易求得，如果能找到空間的一個劃分，且劃分輕易求得，如果能找到空間的一個劃分，且劃分的概率易求，則可以由全概率公式求出的概率易求，則可以由全概率公式求

7、出B的概率。的概率。n貝葉斯公式貝葉斯公式：已知事件：已知事件B發(fā)生，考察引發(fā)該事件發(fā)生，考察引發(fā)該事件發(fā)生的各種原因的可能性大小。發(fā)生的各種原因的可能性大小。例例4 某工廠由甲某工廠由甲,乙乙,丙三臺機器生產(chǎn)同一型號的產(chǎn)品丙三臺機器生產(chǎn)同一型號的產(chǎn)品,它它們的產(chǎn)量各占們的產(chǎn)量各占30%,35%,35%,廢品率分別為廢品率分別為5%,4%,3%.產(chǎn)品混在一起產(chǎn)品混在一起.(1)從該廠的產(chǎn)品任取一件從該廠的產(chǎn)品任取一件,求它是廢品的求它是廢品的概率概率.(2)若取出產(chǎn)品是廢品若取出產(chǎn)品是廢品,求它是由甲求它是由甲,乙乙,丙三臺機器丙三臺機器生產(chǎn)的概率各是多少生產(chǎn)的概率各是多少?%,3)(%,4)

8、(%,5)(%,35)(%,35)(%,30)(.,:321321321ABPABPABPAPAPAPBAAA則取出的產(chǎn)品為廢品表示事件丙機器生產(chǎn)的乙取出的產(chǎn)品分別由甲事件分別表示設解上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回%95. 3%3%35%4%35%5%30)()()()()()()(,332211 ABPAPABPAPABPAPBP得得由全概率公式由全概率公式%58.26%95.3%3%35)(%44.35%95.3%4%35)(%98.377930%95.3%5%30)(,321 BAPBAPBAP得得由由貝貝葉葉斯斯公公式式上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回例例5 有三個罐子裝球，有三

9、個罐子裝球，1號罐子有號罐子有2紅紅1黑，黑，2號罐子有號罐子有3紅紅1黑，黑，3號罐子有號罐子有2紅紅2黑，隨機取一個球，問這個球是紅球黑，隨機取一個球，問這個球是紅球的概率？若已知摸到的球是紅球，問這個球是從的概率？若已知摸到的球是紅球，問這個球是從3號罐子號罐子取出來的概率有多大？取出來的概率有多大？上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回第四節(jié)第四節(jié) 獨立性獨立性).()()(, 1)(0BPABPABPAPBA 則則相相互互獨獨立立，且且，若若事事件件1、事件的獨立性、事件的獨立性定理定理.,)()()(,21212121是相互獨立的則稱事件滿足若事件AAAPAPAAPAA定義定義7:上一

10、頁上一頁下一頁下一頁返返 回回推論推論AB若若事事件件 ， 相相互互獨獨立立，則則A A與與B B、A A與與B B、A A與與B B都都相相互互獨獨立立。定義定義8:上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回 ,()( ) ( )()( ) ( ) ()( ) ( )()( ) ( ) ( ),.A B CP ABP A P BP ACP A P CP BCP B P CP ABCP A P B P CA B C設是三個事件 如果滿足則稱為相互獨立的事件n注：注：n1,獨立表示兩個事件的發(fā)生互無影響，無法用維獨立表示兩個事件的發(fā)生互無影響，無法用維恩圖展示相互關系；恩圖展示相互關系；n2,當當P(A

11、)0,P(B)0時，時，A、B相互獨立與相互獨立與A、B互互不相容不能同時成立；不相容不能同時成立；n3,如如A、B既相互獨立，又互斥，則既相互獨立，又互斥，則A、B至少有至少有一個為零概率事件。一個為零概率事件。n例例1 從52張撲克中任取一張，記A=抽到K，B=抽到黑色牌，問A、B是否獨立？1:4262 525252()( ) ( ) P AP BP ABP ABP A P B方法定義判斷（ ）（ ）（）獨立2:42 | 5226( )( | ) P AP A BP AP AB方法條件概率公式判斷（ ）（）獨立例例2 假設我們擲兩次骰子假設我們擲兩次骰子,并定義事件并定義事件A=第一次擲得

12、偶第一次擲得偶數(shù)數(shù),B=第二次擲得奇數(shù)第二次擲得奇數(shù),C=兩次都擲得奇數(shù)或偶數(shù)兩次都擲得奇數(shù)或偶數(shù),證明證明A,B,C兩兩獨立兩兩獨立,但但A,B,C不相互獨立不相互獨立.0)(,41)(41)(,41)(,21)()()( ABCPACPBCPABPCPBPAP證明證明： 容易算容易算出出)()()( )()()(),()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP 從而有等式從而有等式.,)()()()(.,不不是是相相互互獨獨立立的的因因此此但但是是兩兩兩兩獨獨立立所所以以CBACPBPAPABCPCBA 上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回例例3 甲、乙兩射手射擊同一目標，射擊結(jié)果互

13、不影響。甲、乙兩射手射擊同一目標，射擊結(jié)果互不影響。他們擊中目標的概率分別為他們擊中目標的概率分別為0.9與與0.8，求在一次射擊中，求在一次射擊中(每人各射一次每人各射一次)目標被擊中的概率目標被擊中的概率, ,:目目標標被被擊擊中中乙乙射射中中目目標標甲甲射射中中目目標標設設解解 CBA98.0)8 .01()9 .01(1)()(1)(1)(1)( BPAPBAPCPCP或或98.08 .09 .08 .09 .0)()()()()()()()()(, BPAPBPAPABPBPAPBAPCPBAC由由獨獨立立性性有有則則上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回2、 貝努里試驗模型貝努里試驗模

14、型 ,(01).,.EEnAppnn設 為一貝努里試驗 將 在相同條件下重復進行 次 每次試驗中結(jié)果 出現(xiàn)的概率保持不變 均為把這 次獨立重復試驗總起來看成一個試驗 稱為 重貝努立地里試驗獨定義定義10: (1).(2).(3).(4).nAAApn重貝努里試驗有下面四個約定：每次試驗只有兩個可能結(jié)果： 及結(jié)果 在每次試驗中出現(xiàn)的概率均為各次試驗相互獨立共進行 次上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回pqnkqpCkPknAnknkknn 1, 1 , 0)( , 次次的的概概率率為為出出現(xiàn)現(xiàn)次次試試驗驗中中在在事事件件重重貝貝努努里里試試驗驗對對于于定理定理1上一頁上一頁下一頁下一頁返返 回回推論推論k-1k-1事事件件A A在在第第k k次次試試驗驗才才首首次次發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為p(1-p)p(1-p)例例4 隨機扔一個骰子，連續(xù)隨機扔一個骰子，連續(xù)6次，問次，問1）恰有一次出）恰有一次出