2021屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考第二輪專題復(fù)習(xí)第3講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案理含解析

1、第3講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高考年份全國(guó)卷全國(guó)卷全國(guó)卷2020利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程t62019利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程t13導(dǎo)數(shù)的幾何意義t62018利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程t5利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程t13利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)值t141.2020全國(guó)卷函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為()a.y=-2x-1b.y=-2x+1c.y=2x-3d.y=2x+12.2019全國(guó)卷已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則()a.a=e,b=-1b.a=e,b=1c.a=e-1,b=1d.a=e-1,b=-13.2018全國(guó)卷

2、曲線y=(ax+1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,則a=.導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用1(1)函數(shù)f(x)=3sinx+4cosx的圖像在點(diǎn)t(0,f(0)處的切線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()a.43b.53c.73d.83 (2)已知點(diǎn)p(x1,y1)是函數(shù)f(x)=2x圖像上的一點(diǎn),點(diǎn)q(x2,y2)是函數(shù)g(x)=2lnx圖像上的一點(diǎn),若存在x1,x2使得|pq|255成立,則x1的值為()a.15b.25c.12d.1【規(guī)律提煉】用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線是高考的一個(gè)熱點(diǎn),內(nèi)容主要涉及求切線的斜率與方程、切線的條數(shù)、公切線問題、根據(jù)切線滿足的條件求參數(shù)或參數(shù)范圍等.測(cè)題1.函數(shù)f(x

3、)=exlnx的圖像在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程是()a.y=e(x-1)b.y=ex-1c.y=2e(x-1)d.y=x-e2.設(shè)曲線y=e1-x2與直線x=-1的交點(diǎn)為p,則曲線y=e1-x2在p點(diǎn)處的切線方程為.3.若存在a0,使得函數(shù)f(x)=6a2lnx與g(x)=x2-4ax-b的圖像在這兩函數(shù)圖像的公共點(diǎn)處的切線相同,則b的最大值為.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性角度1導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2若函數(shù)f(x)=sin2x-4x-msinx在0,2上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()a.(-2,2)b.-2,2c.(-1,1)d.-1,1【規(guī)律提煉】1.求解函數(shù)單調(diào)性問題的思路:(1)已知函數(shù)

4、在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,轉(zhuǎn)化為f(x)0或f(x)0恒成立;(2)已知區(qū)間上不單調(diào),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn),通常利用分離變量法求解參數(shù)的范圍;(3)已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或單調(diào)遞減區(qū)間,轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.2.原函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上正負(fù)問題的處理方法:(1)參變分離;(2)導(dǎo)函數(shù)的根與區(qū)間端點(diǎn)直接比較.測(cè)題1.若函數(shù)f(x)=12ax2-2ax+lnx在(1,3)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()a.-,-13b.(1,+)c.-,-13(1,+)d.-,-12(2,+)2.若函數(shù)f(x)=alnx+12x2+2bx在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增

5、,則a+4b的最小值是.角度2導(dǎo)數(shù)與不等式3若定義在(0,+)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且f(x)f(x)x,則對(duì)任意的x1,x2(0,+),下列不等式中一定正確的有()f(x1+x2)f(x1)+f(x2);f(x1)+f(x2)x2x1f(x1)+x1x2f(x2);f(2x1)2x1f(1);f(x1x2)f(x1)f(x2).a.b.c.d.測(cè)題1.定義在r上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),若f(x)f(x),則不等式exf(x+1)e4f(2x-3)的解集是()a.(-,2)b.(2,+)c.(4,+)d.(-,4)2.已知函數(shù)f(x)=ex-ax2的定義域?yàn)?1,2),

6、且對(duì)x1,x2(1,2),x1x2,f(x1)-f(x2)x1-x2x1+x2恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()a.e24-1,+b.e24,+c.e42,+d.e42-1,+利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值4(1)已知函數(shù)f(x)=2sinx+13tanx0x0且a0,所以x0=3a.因?yàn)閒(x0)=g(x0),所以x02-4ax0-b=6a2lnx0,則b=-3a2-6a2ln3a(a0).設(shè)h(a)=-3a2-6a2ln3a,所以h(a)=-12a(1+ln3a),令h(a)=0,得a=13e,所以當(dāng)0a0;當(dāng)a13e時(shí),h(a)0.即h(a)在0,13e上單調(diào)遞增,在13e,+上單調(diào)遞減,所

7、以b的最大值為h13e=13e2.小題2例2b解析因?yàn)閒(x)=sin2x-4x-msinx,所以f(x)=2(2cos2x-1)-4-mcosx=4cos2x-mcosx-6.由題意知,當(dāng)x0,2時(shí),f(x)0恒成立.設(shè)t=cosx-1,1,g(t)=4t2-mt-6,則g(t)0在-1,1上恒成立,結(jié)合函數(shù)g(t)的圖像(圖略)得g(-1)0,g(1)0,即4+m-60,4-m-60,解得-2m2.故選b.【自測(cè)題】1.c解析由f(x)=12ax2-2ax+lnx,得f(x)=ax-2a+1x=ax2-2ax+1x,記(x)=ax2-2ax+1.f(x)在(1,3)上不單調(diào),當(dāng)a=0時(shí),不

8、滿足題意;當(dāng)a0時(shí),(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=1,只需(1)(3)0,即(1-a)(3a+1)0,解得a1.故選c.2.-4解析函數(shù)f(x)=alnx+12x2+2bx在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增,f(x)=x+2b+ax=x2+2bx+ax0在區(qū)間1,2上恒成立,即x2+2bx+a0在區(qū)間1,2上恒成立.令h(x)=x2+2bx+a,則h(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=-b.當(dāng)-b1,即b-1時(shí),x2+2bx+a0在區(qū)間1,2上恒成立等價(jià)于b-1,h(1)=a+2b+10,由線性規(guī)劃可得(a+4b)min=1+4(-1)=-3.當(dāng)-b2,即b-2時(shí),x2+2bx+a0在區(qū)間1,2上恒成立等價(jià)于b

9、-2,h(2)=a+4b+40,由線性規(guī)劃可得(a+4b)min=4+4(-2)=-4.當(dāng)1-b2,即-2b-1時(shí),x2+2bx+a0在區(qū)間1,2上恒成立等價(jià)于-2b-1,h(-b)=a-b20,則a+4bb2+4b,又當(dāng)-2b-1時(shí),b2+4b(-4,-3),所以-4a+4b.綜上所述,a+4b的最小值是-4.例3a解析依題知f(x)的定義域?yàn)?0,+),且f(x)f(x)x,即xf(x)f(x),即xf(x)-f(x)0),則g(x)=xf(x)-f(x)x20,g(x)單調(diào)遞減,故(x1-x2)g(x1)-g(x2)0,即(x1-x2)f(x1)x1-f(x2)x20,整理得f(x1)+

10、f(x2)1,故g(2x1)g(1),即f(2x1)2x1f(1)1,f(2x1)x1,故g(x1+x2)g(x1),x1x1+x2f(x1+x2)f(x1),同理x2x1+x2f(x1+x2)f(x2),相加得f(x1+x2)f(x1)+f(x2),故一定正確;取f(x)=1,x(0,+),滿足題意,則f(x1x2)=f(x1)f(x2)=1,故不正確.故選a.【自測(cè)題】1.d解析不等式exf(x+1)e4f(2x-3)等價(jià)于f(x+1)ex+1f(2x-3)e2x-3.構(gòu)造函數(shù)r(x)=f(x)ex,則r(x)=f(x)-f(x)ex,又f(x)f(x),r(x)0,即r(x)在r上是減函

11、數(shù).由f(x+1)ex+12x-3,解得x4,即不等式exf(x+1)x2,對(duì)x1,x2(1,2),f(x1)-f(x2)x1-x2x1+x2恒成立,等價(jià)于f(x1)-f(x2)x12-x22,即f(x1)-x12f(x2)-x22.令f(x)=f(x)-x2=ex-ax2-x2,則f(x1)0,所以函數(shù)h(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,所以h(x)h(2)=e22,所以e222(a+1),即ae24-1.故選a.小題3例4(1)c(2)d解析(1)f(x)=2sinx+13tanx,f(x)=2sinx+13sinxcosx=-2cosxsin2x+13cos2x=-6cos3x-cos2x+

12、13sin2xcos2x.令t=cosx(0,1),則g(t)=-6t3-t2+1為減函數(shù),且g12=0,當(dāng)0x3時(shí),12t1,g(t)0,f(x)0,當(dāng)3x2時(shí),0t0,f(x)0,故f(x)min=f3=533.故選c.(2)由題意得f(x)=ex(x-1)x2-2t1x+1-2x2=(x-1)ex-2t(x+2)x2.f(x)=exx-2tlnx+x+2x,x(0,+)恰有一個(gè)極值點(diǎn)1,ex-2t(x+2)=0在(0,+)上無解,即t=ex2(x+2)在(0,+)上無解.令g(x)=ex2(x+2)(x0),則g(x)=ex(x+2)-ex2(x+2)2=ex(x+1)2(x+2)20,函數(shù)g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,當(dāng)x(0,+)時(shí),g(x)g(0)=14,t14.故選d.【自測(cè)題】1.b解析f(x)=lnx-1(lnx)2-a,設(shè)g(x)=lnx-1(lnx)2=1lnx-1(lnx)2,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+)上有極值,f(x)=g(x)-a在(1,+)上有變號(hào)零點(diǎn).令1lnx=t,由x1可得lnx0,即t0,可得y=t-t2=-t-122+1414,ag(0)=0,f(x)=xg(x)0,故f(x)在-2,0上單調(diào)遞增;當(dāng)x0,2時(shí),g(