高數(shù)空間曲面

1、柱面柱面球面球面錐面錐面旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面二次曲面二次曲面小結(jié)小結(jié) 在空間直角坐標系中，三元方程在空間直角坐標系中，三元方程 F(x, y, z)=0表示空間曲面，而表示空間曲面，而0,0,zyxGzyxF則表示空間曲線則表示空間曲線.本節(jié)主要討論一些常見的曲面本節(jié)主要討論一些常見的曲面. 研究空間曲面方研究空間曲面方程的特點，并利用程的特點，并利用“截痕法截痕法”研究空間曲面的形狀研究空間曲面的形狀.所謂所謂“截痕法截痕法”是指用坐標面和平行于坐標面的平是指用坐標面和平行于坐標面的平面去截空間曲面，考察其交線（即截痕）的形狀，面去截空間曲面，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解空間曲

2、面的全貌然后加以綜合，從而了解空間曲面的全貌. 與定點的距離為常數(shù)的點的軌跡稱為球面與定點的距離為常數(shù)的點的軌跡稱為球面.下面下面 建立球心在點建立球心在點 P0(x0 , y0 , z0 ) , 半徑半徑R為的球面方程為的球面方程 .空間中任一點空間中任一點 P(x, y, z) 在球面上在球面上,當且僅當當且僅當| P0 P | = R , 所以該球面方程為所以該球面方程為:2202020)()()(Rzzyyxx若球心在坐標原點若球心在坐標原點,則球面方程為則球面方程為:x2 + y2 + z2 = R2將上述方程展開得將上述方程展開得2202020000222222Rzyxzzyyxx

3、zyx即即0222222dczbyaxzyx其中其中2202020000,Rzyxdzcybxa這個方程的特點為這個方程的特點為:(1) 它是三元二次方程它是三元二次方程;(2)平方項的系數(shù)都相等且不為零平方項的系數(shù)都相等且不為零(可設(shè)為可設(shè)為1);(3)不含有交叉項不含有交叉項 xy, yz , zx. 一般地一般地 , 滿足上述三個條件的方程滿足上述三個條件的方程 , 其圖形總其圖形總 是一個球面是一個球面 .事實上事實上 , 通過配方法通過配方法,每一個這樣的方每一個這樣的方 程都可以化為程都可以化為:kzzyyxx202020)()()( 當當 k 0 時時,表示球心在表示球心在P0(

4、x0 , y0 , z0 ),半徑為半徑為 k的球面方程的球面方程;當當 k = 0 時時,球面縮為一點球面縮為一點;當當 k 0 時時,無圖形無圖形(通常稱為虛球面通常稱為虛球面).例如，方程例如，方程0222222yxzyx配方后得配方后得:4) 1() 1(222zyx是以是以(1, 1, 0)為球心為球心, 半徑為半徑為2的球面的球面.二、柱面二、柱面 由一族平行直線形成的曲面叫做由一族平行直線形成的曲面叫做柱面，柱面，這些這些 平行的直線稱為柱面的平行的直線稱為柱面的母線，母線，在柱面上與各母線在柱面上與各母線 垂直相交的一條曲線稱為柱面的垂直相交的一條曲線稱為柱面的準線，準線，通常

5、用垂通常用垂 直于母線的平面去截柱面就得到直于母線的平面去截柱面就得到一條一條準線準線L，準準 線不是唯一的線不是唯一的.柱面也可以看成由一條動直線柱面也可以看成由一條動直線L沿沿定曲線定曲線C平行移動所得到的曲面，平行移動所得到的曲面，L稱為稱為母線母線，C稱為稱為準線準線.（圖（圖6.1）xyzoLC下面下面建立柱面方程建立柱面方程. 設(shè)有一柱面設(shè)有一柱面, 選取選取坐標系，使該柱面的母坐標系，使該柱面的母線平行于線平行于z軸軸, 點點P(x, y, z)為柱面上任一點為柱面上任一點, 當該點當該點平行于平行于z軸上下移動時軸上下移動時,它它仍保持在柱面上仍保持在柱面上,也就是說也就是說,

6、不論不論z為何值為何值, P(x, y, z)的坐的坐圖6.1標都滿足柱面方程標都滿足柱面方程.因此該柱面方程中不含有因此該柱面方程中不含有z , 可設(shè)柱面方程為可設(shè)柱面方程為: F (x , y) = 0它與它與 xoy 面的交線面的交線 00),(zyxF就是它的一條準線就是它的一條準線.一般地一般地,在空間直角坐標系中在空間直角坐標系中,方程方程 F (x , y) = 0(不含不含z), 表示母線平行于表示母線平行于z軸的柱面軸的柱面,它的一條準線它的一條準線 00),(zyxF 方程方程 G (x , z) = 0(不含不含y), 表示母線平行于表示母線平行于y軸軸 00),(yyx

7、G 方程方程 H( y, z) = 0(不含不含x), 表示母線平行于表示母線平行于y軸軸 的柱面的柱面,它的一條準線為它的一條準線為為為的柱面的柱面,它的一條準線為它的一條準線為 00),(xzyH例例10 說明下列方程在空間直角坐標系中各說明下列方程在空間直角坐標系中各表示什么曲面表示什么曲面? ;112222czby ;1222 yx ;142222czax ;032 yx 05 yx解解(1)橢圓柱面橢圓柱面:母線平行于母線平行于x軸軸, 準線是準線是 yoz面上的橢圓面上的橢圓(圖圖6.2) ;(2)圓柱面圓柱面:母線平行于母線平行于z軸軸, 準線是準線是xoy面上的單面上的單 位圓

8、位圓 (圖圖6.3) ;(3)拋物柱面拋物柱面:母線平行于母線平行于z軸軸, 準線是準線是 xoy面上的面上的 拋物線拋物線(圖圖6.4) ;(4)雙曲柱面雙曲柱面:母線平行于母線平行于y軸軸, 準線是準線是xoz面上的面上的 橢圓橢圓(圖圖6.5) ;(5)過過z軸的平面軸的平面:母線平行于母線平行于z軸軸, 準線是準線是xoy面上面上 的直線的直線(圖圖6.6) ;圖圖6.2圖圖6.3yzxxyzyoxzzxyo圖6.4圖6.5xyzo圖6.6過一個定點的直線族形成的曲面叫做過一個定點的直線族形成的曲面叫做錐面錐面.這些直線叫做它的這些直線叫做它的母線，母線，定點叫做它的定點叫做它的頂點頂

9、點.在在錐面上與各條母線都相交的曲線叫做它的一條錐面上與各條母線都相交的曲線叫做它的一條準線，準線，準線不是唯一的，通?？扇≡谝粋€平面準線不是唯一的，通?？扇≡谝粋€平面上的截線作為其準線（圖上的截線作為其準線（圖6.7）.如果準線是一個圓，如果準線是一個圓，頂點在通過圓心且垂直頂點在通過圓心且垂直于此圓所在平面的直線于此圓所在平面的直線上，這樣的錐面叫上，這樣的錐面叫圓錐圓錐面面.oxyz圖6.7下面建立錐面的方程下面建立錐面的方程.已知錐面的頂點為已知錐面的頂點為A(x0, y0, z0) , 準線為準線為L:,0),(0),(21zyxFzyxF設(shè)設(shè) P(x, y, z) 為錐面上任一點為

10、錐面上任一點,母線母線AP交準線于點交準線于點P1(x1, y1, z1) , 則由直線的兩則由直線的兩點式方程知母線點式方程知母線AP的方程為的方程為:010010010zzzzyyyyxxxx同時點同時點P1(x1, y1, z1) 滿足滿足:F1(x1, y1, z1) = 0, F2(x1, y1, z1) = 0 三元方程三元方程:F (x, y, z) = 0 這就是以這就是以A為頂點為頂點L為準線的錐面方程為準線的錐面方程.由上面四個等式消去參數(shù)由上面四個等式消去參數(shù) x1, y1, z1可得一個可得一個一般地一般地, 方程方程0, 00222222cbaczbyax表示一個頂點

11、在原點的錐面表示一個頂點在原點的錐面,用平面用平面 z = c 去截它去截它,就得到一條準線就得到一條準線czbyax12222這是一個橢圓這是一個橢圓, |c|由由0逐漸增大逐漸增大,橢圓的半軸也橢圓的半軸也由由0逐漸增大逐漸增大.用用x = x0 去截去截,當當 | x0 | = 0 時時,截線是一截線是一對相交直線對相交直線,當當| x0 | 從從0增大到增大到+時時,截線是半軸單截線是半軸單調(diào)增大的一組雙曲線調(diào)增大的一組雙曲線. 用用y = y0 去截有與去截有與x = x0 類類似的結(jié)果似的結(jié)果, 如圖如圖 6.8所示所示.xyzo圖 6.8錐面的錐面的特點是特點是:過頂過頂 點和錐

12、面上任一點的直點和錐面上任一點的直線在錐面上線在錐面上.如果頂點在如果頂點在原點原點O(0,0,0), 那么那么,頂點頂點O(0,0,0)與錐面上任一點與錐面上任一點P(x, y, z)的連線上的點的的連線上的點的坐標就是坐標就是(tx, ty, tz)(t為參為參數(shù)數(shù)),若若(x, y, z)滿足方程滿足方程F (x, y, z) = 0, 則則(tx, ty, tz)也滿足錐面方程也滿足錐面方程, 即即F (tx, ty, tz) = 0 ,因此因此,頂點在原點的錐面方程頂點在原點的錐面方程 F (x, y, z) = 0 是齊次方程是齊次方程. 另外另外,還可證明還可證明,任何一任何一個

13、關(guān)于個關(guān)于x, y, z 的齊次方程的齊次方程,都表示頂點在坐標原點都表示頂點在坐標原點的錐面的錐面.類似地類似地,關(guān)于關(guān)于 x-x0 , y-y0 , z-z0 的齊次方程表示的齊次方程表示頂點在頂點在(x0 , y0 , z0)的錐面的錐面. 如頂點在原點的圓錐面方程如頂點在原點的圓錐面方程 z2 = c2(x2 + y2)是關(guān)于是關(guān)于 x, y, z 的齊次方程的齊次方程, 又如二次齊次方程又如二次齊次方程xy + yz + xz = 0 一定表示一個頂點在原點的錐面一定表示一個頂點在原點的錐面.事實上事實上,設(shè)設(shè)f (x, y, z) = xy + yz + xz , 令令 11111

14、zzyxyyxx將其代入上式得將其代入上式得212121121212111211121211122,zyzxzyzzxxzxyxzyxgzyxf再令再令1111zzyyzxx代入上式得代入上式得0,222zyxzyxf因而它是一個圓錐面方程因而它是一個圓錐面方程. 圓柱面可以看作由一條直線繞與它平行的另圓柱面可以看作由一條直線繞與它平行的另一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面.一般地，由一條一般地，由一條曲曲線線L繞一條繞一條定直線定直線 l 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周所成的曲面叫做所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面曲面.定直線定直線 l 稱為旋轉(zhuǎn)曲面的稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸，即，即旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸,

15、曲線曲線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線母線. 下面考慮母線為平面曲線的情形下面考慮母線為平面曲線的情形,把曲線所的把曲線所的平面取作坐標面平面取作坐標面,把旋轉(zhuǎn)軸取作坐標軸把旋轉(zhuǎn)軸取作坐標軸.設(shè)設(shè) yoz 面上的一條曲線面上的一條曲線L ,其方程為其方程為F (y, z) = 0 x = 0L繞軸繞軸z旋轉(zhuǎn)一周就得到一個旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)一周就得到一個旋轉(zhuǎn)面(如圖如圖6.9).求該旋轉(zhuǎn)面的方程求該旋轉(zhuǎn)面的方程.P1(0,y1,z1)P(x, y, z)yxzo圖6.9 設(shè)點設(shè)點P(x, y, z)為旋轉(zhuǎn)為旋轉(zhuǎn)面上任一點面上任一點,將該點旋轉(zhuǎn)將該點旋轉(zhuǎn)至至yoz面得點面得點P1(0,y1,z1),則

16、有則有 zzyxy1221(1)又因又因P1(0, y1, z1)在曲線上在曲線上L上上,故有故有F ( y1, z1) = 0由由(1)得得zzyxy 1221,代入代入(2) 得得0),(22 zyxF這就是所求的旋轉(zhuǎn)面的方程這就是所求的旋轉(zhuǎn)面的方程. 同理同理,如果曲線如果曲線L繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),所得旋轉(zhuǎn)面的方所得旋轉(zhuǎn)面的方 程為程為0),(22 zxyF 類似的類似的,可推出可推出xoz面上和面上和xoy面上的曲線分別面上的曲線分別繞繞x、z軸和軸和x、y軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.例例12 求求 yoz 面上的直線面上的直線 z = ycot繞繞z軸旋

17、轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐面的方程（圖一周所得圓錐面的方程（圖6.10）.解解 cot22 yxz把直線方程中的把直線方程中的z不變，不變，y變?yōu)樽優(yōu)?2yx 就得到所求圓錐面的方程為：就得到所求圓錐面的方程為：即即 )(2222yxaz （其中（其中a = cot）oxyz圖6.10直線直線L繞另一條與之相交繞另一條與之相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)曲面曲面叫做圓錐面，叫做圓錐面，兩條直線的兩條直線的（02）夾角夾角稱為圓錐面的半頂角稱為圓錐面的半頂角.例例13 求面求面yoz上的雙曲線上的雙曲線 012222xczby分別繞分別繞z軸、軸、y軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程

18、軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解解 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的方程為：軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的方程為：122222 czbyx該曲面稱為該曲面稱為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.如圖如圖6.11xyzo圖圖6.11繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的方程為：軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的方程為：122222 czxby該曲面稱為雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面該曲面稱為雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面. 如圖如圖6.12.oyxz圖6.12 三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.如球面、圓錐面等如球面、圓錐面等.下面利用下面利用“截痕法截痕法”再研究幾再研究幾種特殊的二次曲面種特殊的二次曲面.1、橢球面、橢球面方程方程122222

19、2 czbyax所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為橢球面橢球面.oyxz圖6.13由方程可以看出：由方程可以看出：|x| ，|y|b ，|z|c 橢球面關(guān)于每個坐標面都是對稱的，從而關(guān)橢球面關(guān)于每個坐標面都是對稱的，從而關(guān)于每個坐標軸及坐標原點也是對稱的于每個坐標軸及坐標原點也是對稱的.特別地，當特別地，當a = b = c 時，方程變?yōu)闀r，方程變?yōu)?222azyx 這是一個以原點為圓心，半徑為這是一個以原點為圓心，半徑為的球面的球面.如果用三個坐標面去截橢球面，截痕分別為如果用三個坐標面去截橢球面，截痕分別為這些截痕都是橢圓這些截痕都是橢圓. 012222yczax, 012222xczby,

20、 012222zbyax如果用平行于如果用平行于xoy面的平面面的平面z = z1, ( |z1|c )去截橢球面去截橢球面,截痕截痕(交線交線)為為: 12122222122221zzzccbyzccax這是平面這是平面 z = z1上的橢圓上的橢圓,它的半軸分別為它的半軸分別為212212,zccbzcca 當當z1變動時，這族橢圓的中心都在軸上變動時，這族橢圓的中心都在軸上,當當成一點成一點(0, 0 , +c) ,如果用平面如果用平面 y = y1( |y1|b)或或x=x1( |x1|)去截橢球面去截橢球面,也有上面類似的結(jié)果也有上面類似的結(jié)果.如果如果= b c , 則橢球面是則橢

21、球面是yoz面上的橢圓面上的橢圓 012222xczby繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)橢球面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)橢球面.2、雙曲面、雙曲面(1) 單葉雙曲面| z1|由由0逐漸增大到逐漸增大到c, 橢圓截面由大到小橢圓截面由大到小,最后縮最后縮(1) 單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax方程方程所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為單葉雙曲面單葉雙曲面.它關(guān)于三個坐標面對稱，關(guān)于它關(guān)于三個坐標面對稱，關(guān)于三個坐標軸和坐標原點都對稱三個坐標軸和坐標原點都對稱.當當 a = b 時，方程為時，方程為1 22222czayx xyoz這就是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面（可以看成這就是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面（可以看成yoz面上的

22、面上的雙曲線雙曲線12222 czby繞繞 z 軸旋而成）軸旋而成）. 如果用一族平行于如果用一族平行于xoy 面的平面面的平面z = z1 （z1 為參數(shù)）去截單葉雙曲面，為參數(shù)）去截單葉雙曲面， 截痕為一族橢截痕為一族橢 圓圓 ，其方程為：，其方程為： 1212222212222zzzccbyzccax1)()(如果用一族平行于如果用一族平行于xoz面面 的平面的平面y = y1去截單去截單葉雙曲面，截痕為一族雙曲線，其方程為：葉雙曲面，截痕為一族雙曲線，其方程為： 12122222122221)()(yyybbczybbax當當| y1|b時，它的實軸與時，它的實軸與x 軸平行；當軸平行

23、；當| y1|b時，它的實軸與時，它的實軸與z軸平行；當軸平行；當| y1|=b時，時，截線為兩條相交直線：截線為兩條相交直線： byczaxczax0)(（2）雙葉雙曲面）雙葉雙曲面 方程方程1222222 czbyax所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為雙葉雙曲面雙葉雙曲面.zoyx圖圖6.15xyo 雙葉雙曲面雙葉雙曲面 關(guān)于三個坐標面、三個坐標軸、關(guān)于三個坐標面、三個坐標軸、及坐標原點都對稱及坐標原點都對稱.且且2222,1byby 即即也就是說，圖形被分成也就是說，圖形被分成 y -b ，yb 兩葉，兩葉，當當a = c 時，方程變?yōu)闀r，方程變?yōu)?22222 byazx就是前面所講的雙葉

24、旋轉(zhuǎn)雙曲面（可以看成是就是前面所講的雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面（可以看成是xoy面上的雙曲線面上的雙曲線12222 byax繞繞y軸旋轉(zhuǎn)得到）軸旋轉(zhuǎn)得到）. 橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面都有唯一橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面都有唯一的對稱中心，因此又稱它們?yōu)榈膶ΨQ中心，因此又稱它們?yōu)橹行亩吻嬷行亩吻?3、拋物面、拋物面拋物面分為拋物面分為橢圓拋物面橢圓拋物面和和雙曲拋物面雙曲拋物面.（1）橢圓拋物面）橢圓拋物面方程方程2222byaxz 所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為橢圓拋物面橢圓拋物面（圖（圖6.16）yxzo圖圖 6.16 橢圓拋物面關(guān)于橢圓拋物面關(guān)于xoz面和面和yoz面對稱，從而關(guān)面對稱，從而關(guān)于于z 軸對稱；軸對稱；z 0時，圖形在時，圖形在xoy面的上方面的上方.（注：（注：2222byaxz 也是橢圓拋物面，圖形在也是橢圓拋物面，圖形在xoy面的下方）面的下方）. 特別地，若特別地，若a=b ，方程變?yōu)?，方程變?yōu)?222byxz 它是旋轉(zhuǎn)拋物面（可看成它是旋轉(zhuǎn)拋物面（可看成yoz面上的面