微積分-多元函數(shù)微分學(xué)

1、calculus第五章第五章 多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的微分學(xué)5.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念5.2 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)5.3 多元函數(shù)的全微分多元函數(shù)的全微分5.4 多元復(fù)合函數(shù)及隱藏函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)及隱藏函數(shù)求導(dǎo)法則5.5 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限5.6 多元函數(shù)微分法在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用多元函數(shù)微分法在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用calculus5.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集例例1:例例2:yxo2yx定義定義PyxyxE滿(mǎn)足條件),(),(yxyxRXOY,),(2平面上所有點(diǎn)的集合x(chóng)yyxE21),(calculusx-rrr 例

2、例3:y-roryxyxE222),(calculus二、鄰域二、鄰域220000000( ,) ()(),0(,)(,)x yxxyyPxyUpp2點(diǎn)集稱(chēng)為點(diǎn)的鄰域。記為。稱(chēng)為鄰域的中心，為鄰域的半徑0P 0P 2200000 ( ,) | 0()()0(,)x yxxyyPxy點(diǎn)集，稱(chēng)為點(diǎn)的空心鄰域calculusEEAAEAE設(shè) 有 點(diǎn) 集和 屬 于的 一 點(diǎn) ， 如 果 存 在 點(diǎn) 的 一 個(gè)鄰 域 ， 此 鄰 域 內(nèi) 的 點(diǎn) 都 屬 于， 則 稱(chēng)為 點(diǎn) 集的內(nèi) 點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn):EEBBEBE設(shè)有點(diǎn)集和不屬于的一點(diǎn)，如果存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，此鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于，則稱(chēng)為點(diǎn)集的外點(diǎn)外點(diǎn)外點(diǎn):EC

3、CEECEECEEE設(shè)有點(diǎn)集和一點(diǎn)，可以屬于也可以不屬于如果點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)又有不屬于的點(diǎn)，則稱(chēng)為點(diǎn)集的界點(diǎn)。點(diǎn)集的界點(diǎn)的全體稱(chēng)為點(diǎn)集的邊界界點(diǎn)界點(diǎn):calculusE 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) 外點(diǎn)外點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn) ABCcalculusE.1P2PEE如 果 點(diǎn) 集的 每 一 點(diǎn) 都 是 內(nèi) 點(diǎn) ， 則 稱(chēng) 點(diǎn) 集為 開(kāi) 集開(kāi)集開(kāi)集:12,EPPEE若 對(duì) 于 開(kāi) 集中 的 任 意 兩 點(diǎn)都 有中 的 折 線 連 接 起 來(lái) ， 則 稱(chēng)為 開(kāi) 區(qū) 域開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域:calculus注意：開(kāi)集不一定是開(kāi)區(qū)域注意：開(kāi)集不一定是開(kāi)區(qū)域3 (,)0 Exyy x例如：1P2P3E 是開(kāi)集，但不是開(kāi)w區(qū)

4、域。（ hy?）yxoooocalculus45226(,)0(,) 01, 02(,) 14ExyxyExyxyExyxy例 如 ：是 開(kāi) 區(qū) 域是 區(qū) 域是 閉 區(qū) 域開(kāi) 區(qū) 域 連 同 它 的 邊 界 的 集 合 稱(chēng) 為 閉 區(qū) 域閉區(qū)域閉區(qū)域:開(kāi) 區(qū) 域 ， 閉 區(qū) 域 或 開(kāi) 區(qū) 域 連 同 它 的 部 分邊 界 的 集 合 稱(chēng) 為 區(qū) 域區(qū)域區(qū)域:calculus若區(qū)域E可以包含在以原點(diǎn)為中心的一個(gè)圓內(nèi)，則稱(chēng)它是一個(gè)有界區(qū)域,否則，就稱(chēng)為無(wú)界區(qū)域。45226( ,)0( ,) 01, 02( ,) 14Ex yxyEx yxyEx yxy例 如 ：是 無(wú) 界 區(qū) 域 ，是 有 界

5、區(qū) 域 ,是 有 界 區(qū) 域 .有界區(qū)域與無(wú)界區(qū)域有界區(qū)域與無(wú)界區(qū)域calculus二、空間解析幾何簡(jiǎn)介二、空間解析幾何簡(jiǎn)介1. 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系O-XYZ(右手法則右手法則)Pooxyz坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸:oxoyoz坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn):坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面:xoyyozzox卦限卦限:八個(gè)卦限八個(gè)卦限0Pzyx空間內(nèi)的點(diǎn)空間內(nèi)的點(diǎn)P)z ,y,x(),x(00), y,(00)z ,(00),(000),y,x(0)z , y,(0)z ,x(0calculus2( , , )P x y z、空間任一點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題：空間任一點(diǎn)的坐標(biāo)如何確定呢？123PP、空間任意兩點(diǎn)的距離111122221

6、21222221212222212121(),()()()()PxyzPxyzP PP PP PP AA BB Pxxyyzz設(shè) 有 空 間 兩 點(diǎn),過(guò) 點(diǎn)各 作 三 個(gè) 平 面 分 別 垂 直 于 三 個(gè) 坐 標(biāo) 軸 ， 三 個(gè) 平面 圍 成 一 個(gè) 長(zhǎng) 方 體 。是 它 的 一 條 對(duì) 角 線 。如 圖 :22212212121()()()P PxxyyzzcalculusO2xxxz1xABC1P2P1y2ycalculus4、空間曲面與曲面方程、空間曲面與曲面方程(1)0,0A xB yC zDA B CDA B C平 面 方 程 的 一 般 形 式其 中均 為 常 數(shù)不 全 為1(,

7、 0, 0), (0, 0), (0, 0,)xyzabcabcxyz（ 2） 平 面 方 程 的 截 距 式且為 此 平 面 分 別 與軸軸 ，軸 的 交 點(diǎn)calculus(3)特殊平面的方程特殊平面的方程0 xoyz 平面：；xoyzc平行于平面的平面0yozx 平面：；0 xozy 平面：；yozxa平行于平面的平面xozyb平行于平面的平面calculus(4) 球面方程球面方程0000(),P xyzR求球心為點(diǎn), ,半徑為 的球面方程oxyz(),P x y z解：設(shè), , 為球面上任意一點(diǎn) 則0P PR222000()()()xxyyzzR即2222000()()()xxyyz

8、zR球面方程為calculus000222200,0 xyzxyzR當(dāng)球心為原點(diǎn)，即,球面方程為222zRxy且為 上 半 球 面222zRxy 且為下半球面問(wèn)題：如何認(rèn)識(shí)空間任一張曲面的圖形呢？（有興趣的同學(xué)可閱讀相關(guān)資料）calculus(5) 柱面方程柱面方程MCLLCMLLC如圖：設(shè)有動(dòng)直線 沿一給定的曲線移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)始終與給定的直線平行，這樣由直線 的軌跡所行成的曲面稱(chēng)為柱面。動(dòng)直線 稱(chēng)為柱面的母線，定曲線稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線。( , )0zF x y 母線平行于 軸的柱面方程為：calculus222xyR圓 柱 面 ：22221yxba雙 曲 柱 面 ：calculus( , )0(

9、, )0 xoyF x yoxyzF x y注意：在平面上表示一條曲線,在空間坐標(biāo)系中表示一個(gè)母線平行于z軸的柱面。( ,)0( ,)0Fy zF x z同 理 ： 母 線 平 行 于 x軸 的 柱 面 方 程 ：母 線 平 行 于 y軸 的 柱 面 方 程 ：220(0)xpyp拋物柱面：calculus2222xyaz圓錐面方程calculus2222221xyzabcoxyz橢球面方程calculus2222xyzab橢圓拋物面方程calculus2222yxzba-505-10010-4-2024-505-10010雙曲拋物面方程calculus三、多元函數(shù)的極限與連續(xù)三、多元函數(shù)的極

10、限與連續(xù)1、多元函數(shù)的定義、多元函數(shù)的定義,( )x yzfx yD f其中稱(chēng)為自變量， 也稱(chēng)因變量， 稱(chēng)為對(duì)應(yīng)法則，的取值區(qū)域稱(chēng)為函數(shù)的定義域，記為三要素：定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域同理可定義三元函數(shù)及n元函數(shù),( , )( , )x yx yzxyzf x y當(dāng)變量任意取定一對(duì)有序數(shù)組時(shí)，第三個(gè)變量z依某一確定的法則有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)變量 為變量 與 的二元函數(shù)。記為定義定義1calculus( , )( , )( , )zf x yf x yx y如果不考慮實(shí)際應(yīng)用，二元函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的點(diǎn)組成的平面區(qū)域定義域的求法2201yxxxy22ln()1xzyxxy求函數(shù)的定

11、義域例例1:220010yxxxy由解解:22()( ,)10Dfx yxyyxx定 義 域 為 ：且且calculusyyyyyxooooo ooyx221xy000oO o0oocalculus對(duì)應(yīng)關(guān)系的求法32( , )23f u vuuvv12,uvxy令則321 21122( ,)( )2( ) ( )3( )fx yxxyy321412xxyy3212( ,)23,(,)fx yxxyyfxy設(shè)求例例2:32( , )23f x yxxyy解解:calculus二元函數(shù)的幾何意義( )yf xxoy一元函數(shù)表示上的一條曲線( ,)()zfx yoxyzDfxoy二 元 函 數(shù)對(duì) 應(yīng)

12、 空 間 坐 標(biāo) 系中 的一 張 曲 面 ， 其 定 義 域恰 好 是 該 曲 面 在平 面 上 的 投 影22zRxyR例如：表示以原點(diǎn)為球心， 為半徑的上半球面calculus22zxy例如:表示旋轉(zhuǎn)拋物面calculus2.二元函數(shù)的極限00000000,02( ,)(,)( ,)( ,)( ,),( ,)( ,)(zf x yP xyPP x yPPPf x yAAzf x yxxyyf x yAf x yAxx yy00 xxyy定義 ：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，(在點(diǎn) 是否有定義不予考慮)，是該鄰域內(nèi)異于的任一點(diǎn)，如果 以任何方式趨近于時(shí)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)值都趨近于同一個(gè)確定的常數(shù)，

13、則稱(chēng) 是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限（又稱(chēng)二重極限），記作lim或)calculus例例1.22000 xyxyxyf xyxy， 不同時(shí)為（ ， ）222222000 0000 00 011PxxyPxyPxx mxmxmxmxmxm當(dāng)點(diǎn) 沿 軸（此時(shí)，）趨近于原點(diǎn)（ ， ）時(shí)，f（x，y） 0，故有f（x，y）=f（x，0）0 （x0，y=0）當(dāng)點(diǎn) 沿y軸（此時(shí)，）趨近于原點(diǎn)（ ， ）時(shí)，f（x，y） 0，故也有f（x，y）=f（0，y）0 （x=0，y0）然而當(dāng)點(diǎn) 沿直線y=m 趨近于原點(diǎn)（ ， ）時(shí)，有f（x，y）= （x（） （）0limxoyf xy0，y=mx0）此時(shí)f（x，y）趨近于一個(gè)與m

14、有關(guān)的常數(shù)，它隨m不同而不同，故（ ， ）不存在。calculus二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性)y,x(f)y,x(flim)y ,x()y ,x(0000 若若則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處處連續(xù)連續(xù)若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)),(yxf在內(nèi)在內(nèi)連續(xù)，連續(xù)，或稱(chēng)或稱(chēng)),(yxf是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處不連續(xù)，處不連續(xù)，則稱(chēng)點(diǎn)則稱(chēng)點(diǎn)),(00yx為為),(yxf的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)例如，例如，,11sin22yxz間斷點(diǎn)為：間斷點(diǎn)為：1| ),(22 yxyx

15、定義定義3calculus在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)具有性質(zhì)：在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)具有性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得最大值和最小值在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得最大值和最小值性質(zhì)性質(zhì)（介值定理）（介值定理）在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得介于最大值和最在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得介于最大值和最小值之間的任何數(shù)值小值之間的任何數(shù)值二元初等函數(shù)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)結(jié)論結(jié)論二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函

16、數(shù)二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)calculus.232121xyyxlim).(),()y ,x( 211例例4xyxylim).(),()y ,x(42200 )xy(xyxylim),()y ,x(4200 42100 xylim),()y ,x(.41 calculus5.2 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx某鄰域內(nèi)有定義，某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定當(dāng)固定,0yy 而而x在在0 x處有增量處有增量x時(shí)，函數(shù)的增量時(shí)，函數(shù)的增量x)y,x(f)y,xx(flimx 00000 存在，存在，則稱(chēng)此極限值為函

17、數(shù)則稱(chēng)此極限值為函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對(duì)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).記作記作:,xzyyxx00 ,xfyyxx00 ,zyyxxx00 或或).y,x(fx00 若極限若極限xzlimxx 00000(,)(,)xzf xx yf xy定義定義1calculus即即)y,x(fx00 x)y,x(f)y,xx(flimx 00000 )y,x(fx00 0000),(),(lim0 xxyxfyxfxxcalculus),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對(duì)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)定義為的偏導(dǎo)數(shù)定義為:類(lèi)似類(lèi)似,函數(shù)函數(shù)y)y,x(fy00 y)y,x(f)yy,x(flimy 00000

18、也記作也記作,00yyxxyz,yfyyxx00 ,zyyxxy00 ).y,x(fy00 )y,x(fy00 00000yy)y,x(f)y,x(flimyy )y,x(fy00 )y,x(f0是一元函數(shù)是一元函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)0y處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù),)y,x(fx00 ),(0yxf是一元函數(shù)是一元函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù),結(jié)論結(jié)論calculus)y,x(fx x)y,x(f)y,xx(flimx 0)y,x(fy y)y,x(f)yy,x(flimy 0視視 y 為常量，為常量，對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo).視視 x 為常為常量，量，對(duì)對(duì) y 求導(dǎo)求導(dǎo).若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)

19、每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)),(yx處對(duì)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在的偏導(dǎo)數(shù)都存在,偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)數(shù)就是yx,的函數(shù)的函數(shù), 稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)),(yxf對(duì)對(duì)x的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)(函函)數(shù)數(shù).記作記作,xz,xf,zx )y,x(fx 類(lèi)似定義函數(shù)類(lèi)似定義函數(shù)),(yxf對(duì)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).y記作記作:,yz,yf,zy )y,x(fy calculus說(shuō)明說(shuō)明對(duì)二元函數(shù)求關(guān)于某一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)對(duì)二元函數(shù)求關(guān)于某一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只需視其它變量為常量只需視其它變量為常量,求導(dǎo)即可求導(dǎo)即可.根據(jù)一元函數(shù)的求導(dǎo)根據(jù)一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則公式和求導(dǎo)法則,同理可定義多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)同理可定義多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)ca

20、lculus0 xxyzSo0y二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:)y,x(fx00 ),(0yxf是一元函數(shù)是一元函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù),由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知)y,x(fx00 在幾何上表示空間曲線在幾何上表示空間曲線 0yy)y,x(fz在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000zyxM處的切線對(duì)處的切線對(duì)x軸的斜率軸的斜率.類(lèi)似類(lèi)似,)y,x(fy00 在幾何上表示空間曲線在幾何上表示空間曲線 0 xx)y,x(fz在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000zyxM處的切線對(duì)處的切線對(duì)軸的斜率軸的斜率.ycalculus二、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例例1.求求yxz2sin2的偏

21、導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解xz , ysinx22 yz ycosx222 例例2.求求223yxyxz處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù).在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1 (解解xz ,yx32 yz . yx23 21 yxyz. 7 21 yxxz,8 calculus例例3.求求)x,x(xzy10 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解xz ,yxy 1 yz .xlnxy 例例4.求求222zyxr 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解xr 22222zyxx ,rx yr ,ry zr .rz22222zyxy 22222zyxzcalculus例例5. 已知已知yxyxyxfarcsin) 1(),(求求:) 1 , 2(xf 解解:xxf

22、yxfy) 1 ,(),(1得代入把1)1 , 2()1 ,(21)1 ,(xfxfxxfxx得代入把所以有calculus例例6.求函數(shù)求函數(shù) ),()y, x(,),()y, x(,yxxy)y, x(f0000022在原點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù).解解),(fx00 00000 x),(f),x(flimxxxxlimx00020 , 0),(fy00 00000 y),(f)y,(flimyyyylimy00020 , 0二元函數(shù)在某一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在二元函數(shù)在某一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在,但未必連續(xù)但未必連續(xù).不存在不存在2200yxxylim),()y ,x( 點(diǎn)點(diǎn)不不連連續(xù)續(xù)。在在),()

23、y,x(f00 )y,x(flim),()y ,x(00calculus二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),( yxfz在區(qū)域在區(qū)域D 內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)),y, x(fxzx ).y,x(fyzy 若這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，若這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，稱(chēng)其為函數(shù)稱(chēng)其為函數(shù)),( yxfz的的二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù) xzx22xz ),y,x(fxx yzy22yz ),y,x(fyy 22xf xxz calculus xzyyxz 2),y,x(fxy yzxxyz 2),y,x(fyx 混合偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)類(lèi)似可定義三階、四階及更高階的偏導(dǎo)數(shù)，類(lèi)似可定義三階、四階及更高階的偏導(dǎo)數(shù)，

24、二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù).calculus, yyyx 32233xz yz xzx22xz xzyyxz 2 yzy22yz 解解,xy26 ,xxyyx 2392例例1.設(shè)設(shè)求它的二階偏導(dǎo)數(shù)求它的二階偏導(dǎo)數(shù).,xyxyyxz13323 ,yyx19622 ,xyx1823 yzxxyz 2,yyx19622 33xz 22xzx,y26 33yz 22yzy,x18 再求再求yxz 23 22xzy,xy12 calculus22xz 例例2.驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)22yxlnz 滿(mǎn)足方程滿(mǎn)足方程.yz022 證證),yxln(z2221 xz y

25、z 22xz 22yz ,yxx22 ,yxy22 222222)yx(xx)yx( ,)yx(xy22222 222222)yx(yy)yx( .)yx(yx22222 22xz 22yz 22222)yx(xy 22222)yx(yx . 0 calculus證證xu 21 32222)zyx(x ,rx3 22xu 31r 22243zyxxrx 31r 523rx由自變量的對(duì)稱(chēng)性知由自變量的對(duì)稱(chēng)性知22yu 31r 523rz31r 523ry22zu 22xu 22yu 22zu 33r 52223r)zyx( . 0 例例3.證明函數(shù)證明函數(shù)ru1 滿(mǎn)足方程滿(mǎn)足方程22xu 22y

26、u .zu022 )zyxr(222 (拉普拉斯方程拉普拉斯方程)calculus000000( ,)( ,)( ,),(,)(,)(,)xyyxxyyxzfx yfx yfx yxyDfxyfxy設(shè) 函 數(shù)在 區(qū) 域 D內(nèi) 連 續(xù) ， 并 且 存 在一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 及 二 階 混 合 偏 導(dǎo) 數(shù)和如 果 在 某 點(diǎn)這 兩 個(gè) 二 階混 合 偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) ， 則 必 有定理定理1calculus.tan222xzyzxzyxz求設(shè)解解答答calculus5.3 多元函數(shù)的全微分多元函數(shù)的全微分一、一、 全微分的定義與計(jì)算全微分的定義與計(jì)算設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx

27、某鄰域內(nèi)有定義，某鄰域內(nèi)有定義，分別給分別給yx,一增量一增量, yx 函數(shù)相應(yīng)的全增量函數(shù)相應(yīng)的全增量),(),(yxfyyxxfz若全增量可表示為若全增量可表示為:),(oyBxAz其中其中BA,僅與僅與yx,有關(guān)，與有關(guān)，與yx ,無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，,)()(22yx則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處可微處可微.定義定義1calculusyBxA稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處的全微分處的全微分.即即yBxAdz記作記作dz)y,x(df,若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微內(nèi)各點(diǎn)處都可微,則稱(chēng)函數(shù)在則稱(chēng)函數(shù)在D內(nèi)可微內(nèi)可微.calcu

28、lus定理定理1若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處可微分處可微分.則該函數(shù)則該函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)yzxz,必定存在必定存在,且且yyzxxzdz證證 由由),(oyBxAz特別特別, 0y|,x| ),(),(yxfyxxf|),(|xoxAxyxfyxxfx),(),(lim0A xz同理可證同理可證Byz類(lèi)似于一元函數(shù)類(lèi)似于一元函數(shù),記記,dxx ,dyy或或yfxfdzyx calculus注意注意 若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxfz 存在存在),(yx處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)在該點(diǎn)不一定可微函數(shù)在該點(diǎn)不一定可微.例例證明函數(shù)證明函數(shù) 000),(22

29、yxyxxyyxf不同時(shí)為在原點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在在原點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微但不可微.解解函數(shù)函數(shù) ),(yxf在原點(diǎn)的全增量在原點(diǎn)的全增量)0 , 0()0 ,0(fyxfz22yxyxcalculus),(fx00 00000 x),(f),x(flimxxxxx000lim20, 0)0 , 0(yf yyyy000lim20, 000000 y),(f)y,(flimy函數(shù)函數(shù) ),(yxf在原點(diǎn)的全微分在原點(diǎn)的全微分0)0 , 0()0 , 0(dyfdxfdzyx而而22yxyxdzz且且2200limlimyxyxdzz不存在不存在所以由定義知函數(shù)在原點(diǎn)不可微所以由定義知函數(shù)

30、在原點(diǎn)不可微.calculus定理定理2 (充分條件充分條件)若函數(shù)若函數(shù))y,x(fz 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù))y,x(yz,xz ,則函數(shù)在該點(diǎn)可微則函數(shù)在該點(diǎn)可微. 且且dyyzdxxzdz 若函數(shù)若函數(shù)dzzudyyudxxudu )z , y,x(fu 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微可微)z , y,x(則則dzudyudxuduzyxcalculus解解yyzxxzdz xyexy yxexy 2021022.e.e 250 e. 例例1.求函數(shù)求函數(shù)xyez 在點(diǎn)在點(diǎn) (2,1) 處當(dāng)處當(dāng)2 . 0, 1 . 0yx時(shí)的全微分和全增量時(shí)的全微分和全增量.) 1

31、 , 2()2 . 01 , 1 . 02(ffz) 1(52. 02eecalculus例例2.求下列函數(shù)的全微分求下列函數(shù)的全微分:) 1, 0().3( ,2sin).2( ,).1 (22xxxueyxuyyxzyzyz解解(1).dyyzdxxzdzxydx2dyyx)2(2dzzudyyudxxudu).2(dxdyzeyyz)2cos21(dzyeyzdzzudyyudxxudu).3(dxyzxyz 1xdyzxyzlnxdzyxyzlncalculus5.4 5.4 復(fù)合函數(shù)及隱藏函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)及隱藏函數(shù)求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(1)

32、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(),(yxvyxu在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處處 有偏導(dǎo)數(shù)有偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處有偏導(dǎo)數(shù)處有偏導(dǎo)數(shù),且且xz yz定理定理1而函數(shù)而函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu處可微處可微則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)),(),(yxyxfzvuzxy連鎖法則連鎖法則xvvzxuuzyvvzyuuzxz yzxuf xvf yuf yvf calculus例例1.設(shè)設(shè),yxv ,xyu,vsinezu 求求.yz,xz 解解xz vsineu yveucos 1 )cos()sin(yxyxyexy yvvzyuuz vsineu x vcoseu 1 )cos()sin(yxyxx

33、exy yz vuzxyxvvzxuuzcalculus2sin,2,xzzzey xst ytsst求例例2. 設(shè)設(shè)解解:zzxzysxsyssin .2cos .2xxey teys2222sincosstettsstszzxzytxtytsin .2cos .1xxey sey22222 sincossteststsyxzstcalculus例例yzxzxyyxfz,),(22求xyvyxu,22設(shè)),(vufz 則xzyzxuuvuf),(xvvvuf),(yuuf yvvf yfxfvu 2xfyfvu 2calculus),(),(mtsvmtsusztz),(vufz 則復(fù)合函數(shù)

34、則復(fù)合函數(shù)),(),(mtsmtsfzvuzst連鎖法則連鎖法則svvzsuuztvvztuuzmmzmuuzmuuzcalculus若函數(shù)若函數(shù))x(v),x(u 都在點(diǎn)都在點(diǎn) x 處可導(dǎo)處可導(dǎo),函數(shù)函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu處可微處可微,則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))x(),x(fz 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)處可導(dǎo),且且dxdvvzdxduuzdxdz 全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)推論推論1.zvuxdxdz uf vfcalculus函數(shù)函數(shù))y , x( fz )x(y 而而則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))x(,x(fz 在點(diǎn)在點(diǎn) x 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)dxdyyzxzdxdz 全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)推論推論2.zyx

35、x以上公式都可推廣到中間變量或自變量多于兩個(gè)的情形以上公式都可推廣到中間變量或自變量多于兩個(gè)的情形.說(shuō)明說(shuō)明dxdzxf yfcalculus例例5.cos,sintveutuvzt求求dtdz解解dtdztzdtdvvzdtduuz tev )tsin(u tcos tcos)tsint(coset zvut例例4.,ty, tsinx,ezyx32 求求dtdz解解dtdzdtdyyzdtdxxz tcoseyx 2 2232t)(eyx ).tt(cosettsin2263 zyxtcalculus解解:設(shè)設(shè) ,0uf tvg tug tv則z=f t=u因此因此dzz duz dvdt

36、u dtv dt 1lnvvvuftuug t 1lng tg tg tf tftf tf t gt例例6. ,0,g tdftftftg tdt求其 中均 可 導(dǎo)calculus且存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求且存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求例例7設(shè)設(shè),ufx xy xyzf,uuuxyz解：解：xmnufyfyzfxmnuxfxzfynuxyfzxuxymnz,mxy nxyz設(shè)設(shè)xfxnnuxmmuxucalculus例例8.22222,uzzzuxy vxyvxx y 設(shè)求解解:zzuzvxuxvx212uyxvv2222zyxuxxvv 22yxuxvxv2112ydvyyyxxvxvdvvxv 而

37、而22322223224xuxxuuyxxvvvvxxyx uvvv calculus于是于是22333222232224622zxyuxyx uxyx yxvvvvxy 也可以在求出一階偏導(dǎo)數(shù)后也可以在求出一階偏導(dǎo)數(shù)后,把代入再求二階偏導(dǎo)數(shù)把代入再求二階偏導(dǎo)數(shù),u v3222222()zyxuyx yxvvxy233322262zxyx yxxy則23222443222226()()zyxyxyyxxyyxyxy 則calculus例例9設(shè)設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求求解解令, zyxu則則wxyzvu1f 2f xyzfxyzzyxfw),(.,2zxwxwxw,xyzv x

38、vvfxuuf2fyz 1f zxw221fyzfzzf12f y zfyz2),(11xyzzyxff),(22xyzzyxff,1uff,2vffcalculus,111uff ,112vff ,221uff ,222vff zf1zvvfzuuf1111f 12fxy zf2zvvfzuuf2222fxy 21f zxw211f 12fxy 2f y 21( fyz )22fxy 1211)(fzxyf 222f zxy 2f y calculus一階全微分形式不變性一階全微分形式不變性則則dyyzdxxzdz ),(yxfz ),(),(tsvytsux則仍有則仍有dyyzdxxzdz

39、 dttzdsszdz),(yxfz calculusdztsystxyezx求已知sin例例dyyzdxxzdzyeyzyexzxxcossinydyedxyexxcossin解解calculussdttdsdttxdssxdxdsdtdttydssydy)(cos)(sincossindsdtyetdssdtyeydyedxyedzxxxxdttstssedstststeydyedxyedzststxx)cos()sin()cos()sin(cossin所以所以calculus二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則0000000002() :( ,)(,),(,)0(,)0 xyzzF x

40、y zxyzFFFF xyzFxyz定 理隱 函 數(shù) 存 在 定 理設(shè) 函 數(shù)滿(mǎn) 足 下 列條 件（ 1） 在 點(diǎn)的 某 一 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) ， 且 具 有 連 續(xù)的 偏 導(dǎo) 數(shù)（ 2），00000( ,)0(,)( ,),(,)F x y zxyzfx yzfxy則 方 程唯 一 地 確 定 一 個(gè) 定 義 在的 某 一 鄰 域 內(nèi) 的 單 值 連 續(xù) 且 具 有 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 二元 函 數(shù)它 滿(mǎn) 足 條 件， 并 有zyzxFFyzFFxz ,calculus),(0),(yxfzzyxF方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)x0 xzxzFFzxxFFzzyyFFz同理同理cal

41、culus例例1. 設(shè)設(shè)04222zzyx,求求解解 法法1 法法2 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo) 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于y求導(dǎo)求導(dǎo)yzxz,42 zFz, 2 ,yFyxzxFx2zxFFzzyxzyxF4),(222zx2yz ,zyFF.2zy0422xxzz zx0422yyzz zycalculus 方法三方法三:方程兩邊求微分方程兩邊求微分dyzydxzxdz220)4(222zzyxd04222dzzdzydyxdxcalculus例例2. 設(shè)設(shè),求求及及解：解：法法1法法2 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo)122 yx1),(22yxyxF22dxyd0),(yxF0 xyxyFFdxdyy

42、xFFyx22yx, 022yyxyxy22dxyddxdydxdyxdxd2yyxy2yyxxy322yxy 31ydxdycalculus例例3.設(shè)設(shè), 求求解解0 xyzezyxz2xyzez),(zyxFxyeyzzxyeyzzzxFFxzxyexzzzyFFyz3222)()(xyeyxxyzeezzzz)(xyeyzyz2)()()(xyexyzeyzxyeyzyzzzz)(xzy yxz2calculus例例4設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，( , , )uf x y z( ),( )yy x zz x分別由方程分別由方程00 xydueyxzdxz和e所確定,求解解duff d

43、yfdzdxxy dxz dx又由兩邊對(duì)求導(dǎo)得又由兩邊對(duì)求導(dǎo)得0 xyeyx2()0()11xyxyxyxydydyeyxdxdxdyyeyeydxxexycalculus0()zzzdzdzezxdxdxdzzzexzdxexxzx所以所以21d ufyfzfd xxxyyxzxz又由兩邊對(duì)求導(dǎo)得又由兩邊對(duì)求導(dǎo)得0zexzxcalculus5.5 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值一一. . 極值的概念極值的概念對(duì)于該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)于該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)),(yx, 若恒有不等式若恒有不等式),(),( ).100yxfyxf則稱(chēng)該函數(shù)在點(diǎn)則稱(chēng)該函數(shù)在點(diǎn) P 處有處有極大值極大值),(00yxf),()

44、,( ).200yxfyxf則稱(chēng)該函數(shù)在點(diǎn)則稱(chēng)該函數(shù)在點(diǎn)P 處有處有極小值極小值),(00yxf),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP某鄰域內(nèi)有定義某鄰域內(nèi)有定義,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義1calculus極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).定理定理2(必要條件必要條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在處偏導(dǎo)數(shù)存在,并取得極值并取得極值, 則則證明證明:不妨設(shè)不妨設(shè)在點(diǎn)在點(diǎn)處取得極大值處取得極大值.),(yxfz 0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(yxfz ),(00yx),(00yx則則, 特別地特別地,

45、取取有有),(),(00yxfyxf,0yy ),(),(000yxfyxfcalculus在在 x=x0 點(diǎn)取得極大值，由一元函數(shù)極值必要條件知點(diǎn)取得極大值，由一元函數(shù)極值必要條件知,同理同理,使使 同時(shí)成立的點(diǎn)同時(shí)成立的點(diǎn),的的駐點(diǎn)駐點(diǎn).稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù) 考慮一元函數(shù)考慮一元函數(shù)),(0yxf0),(00yxfx0),(00yxfy0),(yxfy0),(yxfx),(yxfz calculus定理定理2 (充分條件充分條件),令令(1).若若, 有極值有極值,(2).若若無(wú)極值無(wú)極值.(3).若若情況不定情況不定.時(shí)有極大值時(shí)有極大值時(shí)有極小值時(shí)有極小值且且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)某鄰域內(nèi)有

46、一階及二階連續(xù)某鄰域內(nèi)有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),且且(1)中的中的A換為換為C結(jié)論不變結(jié)論不變),(yxfz ),(00yx0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(00yxfAxx ),(00yxfBxy ),(00yxfCyy 02 ACB00AA, 02 ACB, 02 ACB),(00yxf),(00yxfcalculus例例1. 求函數(shù)求函數(shù)的極值的極值.解解:得駐點(diǎn)得駐點(diǎn):在點(diǎn)在點(diǎn)處處, 有極小值有極小值在點(diǎn)在點(diǎn)處處, 無(wú)極值無(wú)極值., 無(wú)極值無(wú)極值., 有極大值有極大值在點(diǎn)在點(diǎn)處處在點(diǎn)在點(diǎn)處處,xyxyxyxf933),(22339632xxxf 0yy632yf 0

47、)2 , 3(),0 , 3(),2 , 1 (),0 , 1 (66 xxxf 0 xyf66 yfyy)0 , 1 (6, 0,12CBAACB 2, 072 0A5)0 , 1 (f)2 , 1 (072 ACB 2)0 , 3(ACB 2072 )2 , 3(6, 0,12CBAACB 2, 072 0A31)2 , 3(fcalculus 最大值、最小值最大值、最小值區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)若恒有不等式若恒有不等式則稱(chēng)則稱(chēng) 為函數(shù)在為函數(shù)在 D內(nèi)的最大值內(nèi)的最大值在平面區(qū)域在平面區(qū)域內(nèi)有定義內(nèi)有定義,對(duì)于該對(duì)于該設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng) 為函數(shù)在為函數(shù)在 D內(nèi)的最小值內(nèi)的最小值),(yx

48、fz D),(yx),(),( ).100yxfyxfDyxp),(00),(00yxfDyxp),(00),(00yxf),(),( ).200yxfyxf定義定義使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱(chēng)為最值點(diǎn)使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱(chēng)為最值點(diǎn).最大值與最小值統(tǒng)稱(chēng)為最值最大值與最小值統(tǒng)稱(chēng)為最值.calculus函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處取得最小值處取得最小值0在點(diǎn)在點(diǎn)處取得最大值處取得最大值2.2243yxz)0 , 0()0 , 0()(222yxz如如函數(shù)函數(shù)calculus最大值、最小值的求法最大值、最小值的求法最值點(diǎn)只可能是以下三種類(lèi)型的點(diǎn)：最值點(diǎn)只可能是以下三種類(lèi)型的點(diǎn)：（1）邊界點(diǎn)）邊界點(diǎn)求出該函數(shù)在這些點(diǎn)上的

49、函數(shù)值，比較大小即可求得最值求出該函數(shù)在這些點(diǎn)上的函數(shù)值，比較大小即可求得最值在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 上連續(xù)，則一定有最值。上連續(xù)，則一定有最值。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)（2）駐點(diǎn)）駐點(diǎn)（3）偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題知函數(shù)的最值只在內(nèi)部點(diǎn)上取到，且只有唯一根據(jù)實(shí)際問(wèn)題知函數(shù)的最值只在內(nèi)部點(diǎn)上取到，且只有唯一駐點(diǎn)駐點(diǎn)(極值點(diǎn)極值點(diǎn))，沒(méi)有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，則此時(shí)可斷定函數(shù)在此駐點(diǎn)上取到?jīng)]有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，則此時(shí)可斷定函數(shù)在此駐點(diǎn)上取到最值最值),(yxfz Dcalculus例例2. 在十字路口要建造一間長(zhǎng)方體房屋，兩面臨街，臨街墻面在十字路口要建造一間長(zhǎng)方體房屋，兩面臨街，臨街墻

50、面，不臨街的墻面造價(jià)，不臨街的墻面造價(jià)2/米元b，屋頂造價(jià)，屋頂造價(jià)2/米元c設(shè)房屋容積為設(shè)房屋容積為3米v，問(wèn)：長(zhǎng)、寬、高各多少，問(wèn)：長(zhǎng)、寬、高各多少 時(shí)造價(jià)最低時(shí)造價(jià)最低.aabbcxyz解解:設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為則則造價(jià)造價(jià)造價(jià)造價(jià)2/米元a,zyx,xyzv ,xyvz )0, 0(,)11()(yxcxyyxvbacxyxyvyxba)(cxy)(yxbz)(yxazwcalculus解得解得答：當(dāng)長(zhǎng)、寬均為答：當(dāng)長(zhǎng)、寬均為，高為，高為時(shí)，時(shí)，造價(jià)最低。造價(jià)最低。)0, 0(,)11()(yxcxyyxvbaw3)(cbavyxxyvz 0)(2cyxbavxw0)(

51、2cxybavyw322)(bavc3)(cbav322)(bavccalculus二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)求函數(shù)在條件在條件下的極值。下的極值。拉格郎日乘數(shù)法：拉格郎日乘數(shù)法：(1). 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):(2). 聯(lián)立聯(lián)立解得解得則點(diǎn)則點(diǎn)可能為極值點(diǎn)可能為極值點(diǎn).(3). 再討論再討論. (根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義可以判斷根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義可以判斷.),(yxfz 0),(yxg),( ),(),(yxgyxfyxL ( 為常數(shù)為常數(shù))0),(00yxgLgfLgfLyyyxxx, yx),(yxcalculus求函數(shù)求函數(shù)在條件在條件下

52、的極值。下的極值。),(yxfz 0),(yxgyyxxyxyxyxgfgfggffyff0)(dxdz0),(00yxggfgfyyxxcalculus求函數(shù)求函數(shù)在條件在條件下的極值。下的極值。(1). 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):( 為常數(shù)為常數(shù))(2). 聯(lián)立聯(lián)立解得解得),(zyxfw 0),(zyxg),( ),(),(zyxgzyxfzyxL0),(000zyxgLgfLgfLgfLzzzyyyxxx,zyxcalculusaabbcxyz，屋頂造價(jià)，屋頂造價(jià)造價(jià)造價(jià)，不臨街的墻面造價(jià)，不臨街的墻面造價(jià)2/米元b2/米元c在十字路口要建造一間長(zhǎng)方體房屋，兩面臨街，臨街墻面在十字路口要建造一間長(zhǎng)方體房屋，兩面臨街，臨街墻面2/米元a設(shè)房屋容積為設(shè)房屋容積為3米v例例2. ，問(wèn)：長(zhǎng)、寬、高各多少，問(wèn)：長(zhǎng)、寬、高各多少 時(shí)造價(jià)最低時(shí)造價(jià)最低.再解例再解例2.求函數(shù)求函數(shù)在條件在條件下的極值下的極值.令令,cxyzyxbazyxfw)(),(0 xyzv)( )(),(xyzvcxyzyxbazyxL聯(lián)立聯(lián)立,00 )(0 )(0 )(xyzvLxyyxbaLxzcxzbaLyzcyzbaLzyx解得解得,)(3cbav