高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)課件

1、高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)與引入：一、復(fù)習(xí)與引入： 例如求函數(shù)例如求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),那么我們可以把平方那么我們可以把平方式展開式展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求導(dǎo).然后能否用其然后能否用其它它 的辦法求導(dǎo)呢的辦法求導(dǎo)呢?又如我們知道函數(shù)又如我們知道函數(shù)y=1/x2的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是 =-2/x3,那么函數(shù)那么函數(shù) y=1/(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)又是什么呢的導(dǎo)數(shù)又是什么呢?y 為了解決上面的問題為了解決上面的問題,我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運算我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運算法則法則,這就是這就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).高考數(shù)

2、學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)二、新課二、新課復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.復(fù)合函數(shù)的概念復(fù)合函數(shù)的概念:對于函數(shù)對于函數(shù)y=f (x),令令u= (x),若若y=f(u)是中間變量是中間變量u的函數(shù)的函數(shù), u= (x)是自變量是自變量x的函數(shù)的函數(shù),則稱則稱y=f (x)是自變量是自變量x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù). 2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點x處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) ,函數(shù)函數(shù)y=f(u)在在點點x的對應(yīng)點的對應(yīng)點u處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) ,則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在點在點x處也有導(dǎo)數(shù)處也有導(dǎo)數(shù),且且 或記或記)(xu )(xux )(ufyu )(xfy ;xuxuyy ).()(

3、)(xufxfx 如如:求函數(shù)求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),我們就可以有我們就可以有,令令y=u2,u=3x-2,則則 從而從而 .結(jié)果與我結(jié)果與我們利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求得的結(jié)果完全一致們利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求得的結(jié)果完全一致., 3,2 xuuuy1218 xuyyxux高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí) 在書寫時不要把在書寫時不要把 寫成寫成 ,兩者是不完兩者是不完全一樣的全一樣的,前者表示對自變量前者表示對自變量x的求導(dǎo)的求導(dǎo),而后者是對中間而后者是對中間變量變量 的求導(dǎo)的求導(dǎo).)()(xfxfx )(x 3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則: 復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對

4、自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對中間等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).法則可以推廣到兩個以上的中間變量法則可以推廣到兩個以上的中間變量. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系系,合理選定中間變量合理選定中間變量,明確求導(dǎo)過程中每次是哪個變明確求導(dǎo)過程中每次是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)量對哪個變量求導(dǎo),一般地一般地,如果所設(shè)中間變量可直接如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo)求導(dǎo),就不必再選中間變量就不必再選中間變量. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運算法則要有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運算法則要有機(jī)的結(jié)

5、合和綜合的運用機(jī)的結(jié)合和綜合的運用.要通過求一些初等函數(shù)的導(dǎo)要通過求一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù),逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)三、例題選講：三、例題選講：例例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):5) 12() 1 ( xy解解:設(shè)設(shè)y=u5,u=2x+1,則則:.) 12(102) 12( 525) 12()(4445 xxuxuuyyxuxux4)31 (1) 2 (xy 解解:設(shè)設(shè)y=u-4,u=1-3x,則則:.)31 (1212)3(4)31 ()(5554xuuxuuyyxuxux 42)sin1()3(xy 解解:設(shè)設(shè)y=u-4,u=1

6、+v2,v=sinx,則則:.2sin)sin1 ( 4cossin2)sin1 ( 4cos24)(sin)1 ()(3232324xxxxxxvuxvuvuyyxvuxvux 說明說明:在對法則的運用熟練后在對法則的運用熟練后,就不必再寫中間步驟就不必再寫中間步驟.高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)例例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(2x3-x+1/x)4;解解:. ) 116()12( 4)12()12( 42233333 xxxxxxxxxxxy(3)y=tan3x;解解:.secsin3cos1)cossin( 3cos)sin(sincoscos)cossin( 3)co

7、ssin(tan3)(tan)(tan342222322xxxxxxxxxxxxxxxxxy (2)51xxy 解解:.)1 (51)1 (1)1(51)1()1(51565425454xxxxxxxxxy(4)221) 32 (xxy ;)1)(32(1) 32(212222xxxxy 解解:.161)32(142)1 (21)32()1 (4232222122212xxxxxxxxxxxxxy 高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)(5):y=sin2(2x+/3)法一法一:. )324sin(22)32cos()32sin(2 xxxy法二法二:,)324cos(121 xy. )324sin(2

8、4)324sin(021 xxy練習(xí)練習(xí)1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): bxaxyxxyxxxyxycbxaxycossin)5()7643()4()3(211)2() 1 (232232 答案答案:2223221)21 (2)2()( 3)2() 1 (xxxycbxaxcbxaxbaxy 4227421925)76()43(135)4()925()(21)3( xxxxxxy.)2sin()2(41)2sin()2(41sin21)5(xbabaxbababxb 高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)例例3:如果圓的半徑以如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加的等速度增加,求圓半徑求圓半徑R=

9、10cm時時,圓面積增加的速度圓面積增加的速度.解解:由已知知由已知知:圓半徑圓半徑R=R(t),且且 = 2cm/s.tR 又圓面積又圓面積S=R2,所以所以=40(cm)2/s.2102|2|1010RtRtRRS故圓面積增加的速度為故圓面積增加的速度為40(cm)2/s.例例4:在曲線在曲線 上求一點上求一點,使通過該點的切線平行使通過該點的切線平行于于 x軸軸,并求此切線的方程并求此切線的方程.211xy 解解:設(shè)所求點為設(shè)所求點為P(x0,y0).則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:切線斜率切線斜率. 0, 0)1 (2|)11()(02200200 xxxxxfkxx把把x0

10、=0代入曲線方程得代入曲線方程得:y0=1.所以點所以點P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,1),切線方程為切線方程為y-1=0.高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)例例5:設(shè)設(shè)f(x)可導(dǎo)可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)21x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(1122)1() 2(2222xfxxxxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxx

11、fxxfxxfxfxfy 說明說明:對于抽象函數(shù)的求導(dǎo)對于抽象函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式是把握其結(jié)構(gòu)一方面要從其形式是把握其結(jié)構(gòu)特征特征,另一方面要充分運用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則另一方面要充分運用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則.高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí) 結(jié)論結(jié)論:“可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在我們利用復(fù)合函數(shù)的現(xiàn)在我們利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重新加以導(dǎo)數(shù)重新加以證明證明:證證:當(dāng)當(dāng)f(x)為為可導(dǎo)的偶函數(shù)可導(dǎo)的偶函數(shù)時時,則則f(-x)=f(x).兩邊同時對兩邊同時對x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得: ,故故 為為 奇函數(shù)奇函數(shù).)(

12、)()()(xfxfxfxxf )(xf 同理可證另一個命題同理可證另一個命題. 我們還可以證明類似的一個結(jié)論我們還可以證明類似的一個結(jié)論:可導(dǎo)的周期函數(shù)可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).證證:設(shè)設(shè)f(x)為為可導(dǎo)的周期函數(shù)可導(dǎo)的周期函數(shù),T為其一個為其一個周期周期,則對定義則對定義 域內(nèi)的每一個域內(nèi)的每一個x,都有都有f(x+T)=f(x). 兩邊同時對兩邊同時對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得: 即即 也是以也是以T為為周期的周期函數(shù)周期的周期函數(shù).),()(xfTxTxf )(Txf )().(xfxf 高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)例例6:求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 11311)(2

13、xxxxxf說明說明:這是分段函數(shù)的求導(dǎo)問題這是分段函數(shù)的求導(dǎo)問題,先根據(jù)各段的函數(shù)表達(dá)先根據(jù)各段的函數(shù)表達(dá) 式式,求出在各可導(dǎo)求出在各可導(dǎo)(開開)區(qū)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)區(qū)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后再用然后再用 定義來討論分段點的可導(dǎo)性定義來討論分段點的可導(dǎo)性.解解:當(dāng)當(dāng)x1時時, . 1312)(xxxxf又又 ,故故f(x)在在x=1處連續(xù)處連續(xù).2) 1 ()(lim)(lim11 fxfxfxx而而; 2) 1(lim121lim1) 1 ()(lim1211 xxxxfxfxxx;33lim12)1(3lim1)1()(lim111 xxxxxxfxf,11)(lim1) 1 ()(lim11 xxfxfxfxx從而從而f(x)在在x=1處不可導(dǎo)處不可導(dǎo).1312)( xxxxf高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)四、小結(jié)：四、小結(jié)： 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時,選擇中間變選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵.必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的,分清其間的分清其間的復(fù)合關(guān)系復(fù)合關(guān)系.要善于把一部分量、式子暫時當(dāng)作一個整體要善于把一部分量、式