用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

1、【例1】（2012全國大綱卷理22）函數(shù)，定義數(shù)列如下：，是過兩點、的直線與軸交點的橫坐標(biāo).（1） 證明:；（2）求數(shù)列的通項公式.【證】（1）證：直線的方程為，即，令，解得.下用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時，所以. 假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即，則當(dāng)時， 由，得，即，故.由知，對一切都有.從而，故.綜上，.（2）解：由（1）知，則 ， ， ，得，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. 因此，解得：.【例2】已知函數(shù)在開區(qū)間(0，1)內(nèi)是增函數(shù)() 求實數(shù)a的取值范圍；() 若數(shù)列滿，證明：() 解：，由于f (x)在(0，1)內(nèi)是增函數(shù)， ，即 在x(0，1)時恒成立 恒成立，而 2x21， ，即 ， 即為所

2、求() 證明： 當(dāng)n=1時，由題設(shè)知a1(0，1) 假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即ak(0，1)，則當(dāng)n=k+1時，由()知，f(x)=ln(2x)+x在(0，1)上是增函數(shù)，即ak+1(0，1)，故n=k+1時命題成立.根據(jù) 知0an1，nn*又 ， 【例3】已知函數(shù),數(shù)列滿足：，證明：() ；() .證明：() 先用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n=1時，由已知，結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即，因為時，所以在(0，1)上是增函數(shù)，又在0，1上連續(xù)，從而，即，故當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立.由可知，對一切正整數(shù)都成立.又因為時，所以，綜上所述.() 設(shè)函數(shù)，由()可知，當(dāng)時，.從而,所以在（0，1）

3、上是增函數(shù).又，所以當(dāng)時，0成立.于是，即，故【例4】已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（）（）若則當(dāng)n2時,.( )解: ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時,因為0x1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知 ()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因為,所以,即0,從而 () 因為 ,所以, , 所以 由()知:, 所以= ,因為, n2,

4、 所以 = . 由 兩式可知: .【例5】 設(shè)函數(shù)與數(shù)列滿足以下關(guān)系： ，其中是方程的實根； ； 的導(dǎo)數(shù).() 求證：；() 判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.() 證： 當(dāng)時，不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即，則時，則遞增.，即時不等式也成立.由、知，對一切都成立. () 解：， 設(shè)，則， 遞減，而， ， 即，亦即，. 【例6】（2005江西）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項公式an.解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n=1時，命題正確.2假設(shè)n=k時有 則 而又時命題正確.由1、2知，對一切nn時有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n=1時，； 2假設(shè)n=k時有成立， 令，在0，

5、2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時 成立，所以由1、2知，對一切 （2）下面來求數(shù)列的通項：所以,又bn=1，所以【拓展題】【例】、數(shù)列滿足，且.（1）當(dāng)時，求數(shù)列的通項公式； （2）若不等式對一切恒成立，求的取值范圍； （3）當(dāng)時，證明：.解：（1）當(dāng)時，.（2），要使對一切恒成立，至少需使成立.下面先用數(shù)歸法證明：當(dāng)時，(略)，再由知恒成立.所以為所求.（3）當(dāng)時，由(2)知，則由，從而，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.（2009安徽理21）首項為正數(shù)的數(shù)列滿足 （1）證明：若為奇數(shù)，則對一切都是奇數(shù)；（2）若對一切都有，求的取值范圍.略解：（1）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù).（因為是偶數(shù)）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何，都是奇數(shù).（2）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或.另一方面，若則；若，則根