全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷解析版分類匯編 圖形的相似與位似

1、圖形的相似與位似一、選擇題1. （2014山東濰坊，第8題3分）如圖，已知矩形abcd的長(zhǎng)ab為5，寬bc為4e是bc邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ae上ef,ef交cd于點(diǎn)f設(shè)be=x,fc=y，則點(diǎn) e從點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)c時(shí)，能表示y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（ ）考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象分析：易證abeecf，根據(jù)相似比得出函數(shù)表達(dá)式，在判斷圖像.解答：因?yàn)閍beecf，則be：cf=ab：ec，即x：y=5：（4x）y，整理，得y=（x2）2+，很明顯函數(shù)圖象是開(kāi)口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，）的拋物線對(duì)應(yīng)a選項(xiàng)故選：a點(diǎn)評(píng)：此題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，關(guān)鍵列出動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系，再判斷選項(xiàng)2. (2014年

2、山東東營(yíng),第7題3分)下列關(guān)于位似圖形的表述：相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；位似圖形一定有位似中心；如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形；位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比其中正確命題的序號(hào)是（）abcd考點(diǎn)：位似變換；命題與定理分析：利用位似圖形的定義與性質(zhì)分別判斷得出即可解答：解：相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；位似圖形一定有位似中心，此選項(xiàng)正確；如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形，此選項(xiàng)正確；位似圖形上任意兩

3、點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比，此選項(xiàng)錯(cuò)誤正確的選項(xiàng)為故選：a點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)與定義，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵3.（2014四川涼山州，第7題，4分）如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，則它們的相似比為（ ）a1：25b1：5c1：2.5d1： 考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)分析：根據(jù)相似多邊形的面積的比等于相似比的平方解答解答：解：兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，它們的相似比為1：故選d點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 4（2014四川瀘州，第11題，3分）如圖，在直角梯形abcd中，dcab，dab=90，acbc，ac=bc，abc的平分線分別交

4、ad、ac于點(diǎn)e，f，則的值是（）abcd解答：解：作fgab于點(diǎn)g，dab=90，aefg，=，acbc，acb=90，又be是abc的平分線，fg=fc，在rtbgf和rtbcf中，rtbgfrtbcf（hl），cb=gb，ac=bc，cba=45，ab=bc，=+1故選：c點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線分線段成比例，全等三角形及角平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是找出線段之間的關(guān)系，cb=gb，ab=bc再利用比例式求解.5（2014四川內(nèi)江，第10題，3分）如圖，rtabc中，acb=90，ac=4，bc=6，以斜邊ab上的一點(diǎn)o為圓心所作的半圓分別與ac、bc相切于點(diǎn)d、e，則ad為（）a2.5

5、b1.6c1.5d1考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：連接od、oe，先設(shè)ad=x，再證明四邊形odce是矩形，可得出od=ce，oe=cd，從而得出cd=ce=4x，be=6（4x），可證明aodobe，再由比例式得出ad的長(zhǎng)即可解答：解：連接od、oe，設(shè)ad=x，半圓分別與ac、bc相切，cdo=ceo=90，c=90，四邊形odce是矩形，od=ce，oe=cd，cd=ce=4x，be=6（4x）=x+2，aod+a=90，aod+boe=90，a=boe，aodobe，=，=，解得x=1.6，故選b點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)與判定，運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算

6、或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形，證明三角形相似解決有關(guān)問(wèn)題6.（2014甘肅白銀、臨夏,第10題3分）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形abcd中，點(diǎn)e在cb延長(zhǎng)線上，連接ed交ab于點(diǎn)f，af=x（0.2x0.8），ec=y則在下面函數(shù)圖象中，大致能反映y與x之聞函數(shù)關(guān)系的是（）abcd考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象分析：通過(guò)相似三角形efbedc的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式=，從而得到y(tǒng)與x之間函數(shù)關(guān)系式，從而推知該函數(shù)圖象解答：解：根據(jù)題意知，bf=1x，be=y1，且efbedc，則=，即=，所以y=（0.2x0.8），該函數(shù)圖象是位于第一象限的雙曲線的一部分a、d的圖象都是直

7、線的一部分，b的圖象是拋物線的一部分，c的圖象是雙曲線的一部分故選c點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象解題時(shí)，注意自變量x的取值范圍4.5.6.7.8.二、填空題1.（2014湖南懷化，第11題，3分）如圖，d、e分別是abc的邊ab、ac上的中點(diǎn)，則sade：sabc=1：4考點(diǎn)：三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得debc且de=bc，再求出ade和abc相似，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答解答：解：d、e是邊ab、ac上的中點(diǎn)，de是abc的中位線，debc且de=bc，adeabc，sade：sabc=（1：2

8、）2=1：4故答案為：1：4點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2.（2014湖南張家界，第10題，3分）如圖，abc中，d、e分別為ab、ac的中點(diǎn)，則ade與abc的面積比為1：4考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理分析：根據(jù)三角形的中位線得出de=bc，debc，推出adeabc，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可解答：解：d、e分別為ab、ac的中點(diǎn)，de=bc，debc，adeabc，=（）2=，故答案為：1：4點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比

9、的平方3.（2014遵義17（4分）“今有邑，東西七里，南北九里，各開(kāi)中門，出東門一十五里有木，問(wèn)：出南門幾何步而見(jiàn)木？”這段話摘自九章算術(shù)，意思是說(shuō)：如圖，矩形abcd，東邊城墻ab長(zhǎng)9里，南邊城墻ad長(zhǎng)7里，東門點(diǎn)e、南門點(diǎn)f分別是ab，ad的中點(diǎn)，egab，fead，eg=15里，hg經(jīng)過(guò)a點(diǎn)，則fh=1.05里考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用分析：首先根據(jù)題意得到geaafh，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式求得答案即可解答：解：egab，fead，hg經(jīng)過(guò)a點(diǎn)，faeg，eafh，hfa=aeg=90，fha=eag，geaafh，ab=9里，da=7里，eg=15里，fa=3.5

10、里，ea=4.5里，解得：fh=1.05里故答案為：1.05點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出相似三角形，難度不大4.（2014婁底17（3分）如圖，小明用長(zhǎng)為3m的竹竿cd做測(cè)量工具，測(cè)量學(xué)校旗桿ab的高度，移動(dòng)竹竿，使竹竿與旗桿的距離db=12m，則旗桿ab的高為9m考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用分析：根據(jù)ocd和oab相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可解答：解：由題意得，cdab，ocdoab，=，即=，解得ab=9故答案為：9點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，熟記相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵5. (2014年湖北咸寧16（3分）)如圖，在

11、abc中，ab=ac=10，點(diǎn)d是邊bc上一動(dòng)點(diǎn)（不與b，c重合），ade=b=，de交ac于點(diǎn)e，且cos=下列結(jié)論：adeacd；當(dāng)bd=6時(shí)，abd與dce全等；dce為直角三角形時(shí)，bd為8或；0ce6.4其中正確的結(jié)論是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明由bd=6，則dc=10，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且?jiàn)A邊也相等的三角形全等，即可證得分兩種情況討論，通過(guò)三角形相似即可求得依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得解答：解：ab=ac，b=c，又ade=bade=c，adeacd；故結(jié)論正確，ab

12、=ac=10，ade=b=，cos=，bc=16，bd=6，dc=10，ab=dc，在abd與dce中，abddce（asa）故正確，當(dāng)aed=90時(shí)，由可知：adeacd，adc=aed，aed=90，adc=90，即adbc，ab=ac，bd=cd，ade=b=且cos=ab=10，bd=8當(dāng)cde=90時(shí)，易cdebad，cde=90，badf=90，b=且cos=ab=10，cosb=，bd=故正確易證得cdebad，由可知bc=16，設(shè)bd=y，ce=x，=，=，整理得：y216y+64=6410x，即（y8）2=6410x，0y8，0x6.4故正確點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和

13、性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及利用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)等6（2014四川遂寧，第15題，4分）已知：如圖，在abc中，點(diǎn)a1，b1，c1分別是bc、ac、ab的中點(diǎn)，a2，b2，c2分別是b1c1，a1c1，a1b1的中點(diǎn)，依此類推若abc的周長(zhǎng)為1，則anbncn的周長(zhǎng)為考點(diǎn)：三角形中位線定理專題：規(guī)律型分析：由于a1、b1、c1分別是abc的邊bc、ca、ab的中點(diǎn)，就可以得出a1b1c1abc，且相似比為，a2b2c2abc的相似比為，依此類推anbncnabc的相似比為，解答：解：a1、b1、c1分別是abc的邊bc、ca、ab的中點(diǎn)，a1b1、a1c1、b1c1是abc的中位線，a1b1

14、c1abc，且相似比為，a2、b2、c2分別是a1b1c1的邊b1c1、c1a1、a1b1的中點(diǎn)，a2b2c2a1b1c1且相似比為，a2b2c2abc的相似比為依此類推anbncnabc的相似比為，abc的周長(zhǎng)為1，anbncn的周長(zhǎng)為故答案為點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線定理的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是有相似三角形的性質(zhì)：2.3.4.5.6.7.8.三、解答題1. （2014上海，第23題12分）已知：如圖，梯形abcd中，adbc，ab=dc，對(duì)角線ac、bd相交于點(diǎn)f，點(diǎn)e是邊bc延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且cde=abd（1）求證：四邊形aced是平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié)ae，

15、交bd于點(diǎn)g，求證：=考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定分析：（1）證badcda，推出abd=acd=cde，推出acde即可；（2）根據(jù)平行得出比例式，再根據(jù)比例式的性質(zhì)進(jìn)行變形，即可得出答案解答：證明：（1）梯形abcd，adbc，ab=cd，bad=cda，在bad和cda中badcda（sas），abd=acd，cde=abd，acd=cde，acde，adce，四邊形aced是平行四邊形；（2）adbc，=，=，=，平行四邊形aced，ad=ce，=，=，=，=點(diǎn)評(píng)：本題考查了比例的性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理

16、進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中2. （2014四川巴中，第24題7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，abc三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為a（2，4），b（2，1），c（5，2）（1）請(qǐng)畫出abc關(guān)于x軸對(duì)稱的a1b1c1（2）將a1b1c1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以2，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)a2，b2，c2，請(qǐng)畫出a2b2c2（3）求a1b1c1與a2b2c2的面積比，即：=1：4（不寫解答過(guò)程，直接寫出結(jié)果）考點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系，相似三角形的面積比分析：（1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)將a1b1c1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以2，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案

17、；（3）利用位似圖形的性質(zhì)得出位似比，進(jìn)而得出答案解答：（1）如圖所示：a1b1c1即為所求；（2）如圖所示：a2b2c2即為所求；（3）將a1b1c1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以2，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)a2，b2，c2，a1b1c1與a2b2c2的相似比為：1：2，：=1：4故答案為：1：4點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了位似變換以及軸對(duì)對(duì)稱變換，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵3. （2014四川巴中，第29題10分）如圖，已知在abc中，ad是bc邊上的中線，以ab為直徑的o交bc于點(diǎn)d，過(guò)d作mnac于點(diǎn)m，交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)n，過(guò)點(diǎn)b作bgmn于g（1）求證：bgddma；（2）求證：直線mn是o的切線考

18、點(diǎn)：相似三角形的判定，切線的性質(zhì)分析：（1）根據(jù)垂直定義得出bgd=dma=90，由圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、對(duì)頂角性質(zhì)及等角的余角相等得出dbg=adm，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似即可證明bgddma；（2）連結(jié)od由三角形中位線的性質(zhì)得出odac，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行得出acbg，由平行公理推論得到odbg，再由bgmn，可得odmn，然后根據(jù)切線的判定定理即可證明直線mn是o的切線解答：證明：（1）mnac于點(diǎn)m，bgmn于g，bgd=dma=90以ab為直徑的o交bc于點(diǎn)d，adbc，adc=90，adm+cdm=90，dbg+bdg=90，cdm=bdg，dbg=

19、adm在bgd與dma中，bgddma；（2）連結(jié)odbo=oa，bd=dc，od是abc的中位線，odacmnac，bgmn，acbg，odbg，bgmn，odmn，直線mn是o的切線點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可4. （2014山東濰坊，第22題12分）如圖1，在正方形abcd中，e、f分別為bc、cd的中點(diǎn)，連接ae、bf，交點(diǎn)為g(1)求證：aebf；(2)將bcf沿bf對(duì)折，得到bpf（如圖2），延長(zhǎng)fp交ba的延長(zhǎng)線于點(diǎn)q，求sinbqp的值；(3)將abe繞點(diǎn)a逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使邊a

20、b正好落在ae上，得到ahm（如圖3），若am和bf相交于點(diǎn)n，當(dāng)正方形abcd的面積為4時(shí)，求四邊形ghmn的面積 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形分析：（1）由四邊形abcd是正方形，可得abe=bcf=90，ab=bc，又由be=cf，即可證得abebcf,可得bae=cbf，由abf+cbf=900可得abf+bae=900，即aebf；（2）由bcfbpf, 可得cf=pf,bc=bp,bfe=bfp，由cdab得bfc=abf,從而qb=qf，設(shè)pf為x,則bp為2x,在rtqbf中可求 qb為x，即可求得答案；（3）由可求出agn的

21、面積，進(jìn)一步可求出四邊形ghmn的面積解答：(1)證明：e、f分別是正方形abcd邊bc、cd的中點(diǎn)，cf=be，rtabertbcf bae=cbf 又bae+bea=900，cbf+bea=900，bge=900， aebf (2)根據(jù)題意得：fp=fc，pfb=bfc，fpb=900， cdab, cfb=abf，abf=pfbqf=qb 令pf=k（ko），則pb=2k，在rtbpq中，設(shè)qb=x， x2=(xk)2+4k2, x=k，sinbqp=(3)由題意得：bae=eam,又aebf, an=ab=2, ahm=900, gn/hm, 四邊形ghmn=sahm sagn=1一=

22、 答：四邊形ghmn的面積是.點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5. （2014山東煙臺(tái)，第24題8分）如圖，ab是o的直徑，延長(zhǎng)ab至p，使bp=ob，bd垂直于弦bc，垂足為點(diǎn)b，點(diǎn)d在pc上設(shè)pcb=，poc=求證：tantan=考點(diǎn)：圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定，銳角三角函數(shù).分析：連接ac先求出pbdpac，再求出=，最后得到tantan=解答：證明：連接ac，則a=poc=，ab是o的直徑，acb=90，tan=，bdac，bpd=a，p=p

23、，pbdpac，=，pb=0b=oa，=，tanatan=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及圓周角的知識(shí)，本題解題的關(guān)鍵是求出pbdpac，再求出tantan=6.（( 2014年河南) 20.9分）如圖，在直角梯形oabc中，bc/ao，aoc=900，點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為(5,0)、(2,6)，點(diǎn)d為ab上一點(diǎn)，且bd=2ad.雙曲線y=（x0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)d,交bc于點(diǎn)e.（1）求雙曲線的解析式；（2）求四邊形odbe的面積。解：（1）過(guò)點(diǎn)b、d作x軸的的垂線，垂足分別為點(diǎn)m、n. a (5.0)、b（2，6），om=bc=2,bm=oc=6,am=3 dnbm,andabm. dn

24、 =2,an=1, on=4 點(diǎn)d的坐標(biāo)為(4,2)3分 又 雙曲線y=(x0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)d， k=24=8雙曲線的解析式為y=5分 （2）點(diǎn)e在bc上，點(diǎn)e的縱坐標(biāo)為6. 又點(diǎn)e在雙曲線y=上，點(diǎn)e的坐標(biāo)為(,6),ce=7分s四邊形odbe=s梯形oabcsocesaod =(bc+oa)ococceoadn =(2+5)6652 =12四邊形odbe的面積為12. 9分7. （2014江蘇鹽城,第25題10分）菱形abcd中，對(duì)角線ac、bd相交于點(diǎn)o，過(guò)點(diǎn)o作一條直線分別交da、bc的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e、f，連接be、df（1）求證：四邊形bfde是平行四邊形；（2）若efab，垂足為m，tan

25、mbo=，求em：mf的值考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；平行四邊形的判定分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得aeo=cfo，然后利用“角角邊”證明aeo和cfo全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得oe=of，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）設(shè)om=x，根據(jù)mbo的正切值表示出bm，再根據(jù)aom和obm相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出am，然后根據(jù)aem和bfm相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可解答：（1）證明：在菱形abcd中，adbc，oa=oc，ob=od，aeo=cfo，在aeo和cfo中，aeocfo（aas），oe=of，又ob=od，四邊形bfde是平行四

26、邊形；（2）解：設(shè)om=x，efab，tanmbo=，bm=2x，又acbd，aomobm，=，am=x，adbc，aembfm，em：mf=am：bm=x：2x=1：4點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)在于（2）兩次求出三角形相似8. (2014年山東東營(yíng),第24題11分)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，abc是等邊三角形，aef=60，ef交等邊三角形外角平分線cf所在的直線于點(diǎn)f，當(dāng)點(diǎn)e是bc的中點(diǎn)時(shí)，有ae=ef成立；【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究ae、ef的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)驗(yàn)證得出如下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)e是直

27、線bc上（b，c除外）任意一點(diǎn)時(shí)（其它條件不變），結(jié)論ae=ef仍然成立假如你是該興趣小組中的一員，請(qǐng)你從“點(diǎn)e是線段bc上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)e時(shí)線段bc延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)e時(shí)線段bc反向延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明ae=ef【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)e在線段bc的延長(zhǎng)線上時(shí)，若ce=bc，在圖3中畫出圖形，并運(yùn)用上述結(jié)論求出sabc：saef的值考點(diǎn)：相似形綜合題分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得ab=bc，b=acb=60，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得aec=b+gae=60+gae，根據(jù)asa，可得ageecf（，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論；根據(jù)等

28、邊三角形的判定，可得aef是等邊三角形，根據(jù)根據(jù)等邊三角形像似，可得abc與aef的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得ac與ah的關(guān)系，ac與ae的關(guān)系，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得答案解答：證明：如圖一，在b上截取ag，使ag=ec，連接eg，abc是等邊三角形，ab=bc，b=acb=60ag=ec，bg=be，beg是等邊三角形，bge=60，age=120fc是外角的平分線，ecf=120=ageaec是abe的外角，aec=b+gae=60+gaeaec=aef+fec=60+fec，gae=fec在age和ecf中，ageecf（asa），ae=ef；拓展應(yīng)用：如圖二

29、：作chae于h點(diǎn)，ahc=90由數(shù)學(xué)思考得ae=ef，又aef=60，aef是等邊三角形，abcaefce=bc=ac，abc是等邊三角形，cah=30，ah=ehch=ac，ah=ac，ae=ac，=點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵，題目稍有難度9. （2014山東淄博,第23題9分）如圖，四邊形abcd中，acbd交bd于點(diǎn)e，點(diǎn)f，m分別是ab，bc的中點(diǎn)，bn平分abe交am于點(diǎn)n，ab=ac=bd連接mf，nf（1）判斷bmn的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）判斷mfn與bdc之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由考點(diǎn)：相似三

30、角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得am是高線、頂角的角平分線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得eab+eba=90，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得mf與ac的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得mf與bd的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形，可得bm與nm的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得nm與bc的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得cbd與nmf的關(guān)系，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案解答：（1）答：bmn是等腰直角三角形證明：ab=ac，點(diǎn)m是bc的中點(diǎn)，ambc，am平分bacbn平分abe，acbd，aeb=90，

31、eab+eba=90，mnb=nab+abn=（bae+abe）=45bmn是等腰直角三角形；（2）答：mfnbdc證明：點(diǎn)f，m分別是ab，bc的中點(diǎn)，fmac，fm=acac=bd，fm=bd，即bmn是等腰直角三角形，nm=bm=bc，即，ambc，nmf+fmb=90fmac，acb=fmbceb=90，acb+cbd=90cbd+fmb=90，nmf=cbdmfnbdc點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了銳角是45的直角三角形是等腰直角三角形，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似10（2014四川涼山州，第27題，8分）已知：如圖，p是o外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p引圓的切線pc（c

32、為切點(diǎn)）和割線pab，分別交o于a、b，連接ac，bc（1）求證：pca=pbc；（2）利用（1）的結(jié)論，已知pa=3，pb=5，求pc的長(zhǎng) 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）連結(jié)oc，oa，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出aco=cao，再由pc是o的切線，c為切點(diǎn)得出pco=90，pca+aco=90，在aoc中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知aco+cao+aoc=180，由圓周角定理可知aoc=2pbc，故可得出aco+pbc=90，再根據(jù)pca+aco=90即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)相似三角形的判定定理得出pacpcb，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論解答：（1）證明：連結(jié)

33、oc，oa，oc=oa，aco=cao，pc是o的切線，c為切點(diǎn)，pcoc，pco=90，pca+aco=90，在aoc中，aco+cao+aoc=180，aoc=2pbc，2aco+2pbc=180，aco+pbc=90，pca+aco=90，pca=pbc；（2）解：pca=pbc，cpa=bpc，pacpcb，=，pc2=papb，pa=3，pb=5，pc=點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓心角是解答此題的關(guān)鍵 11（2014四川內(nèi)江，第26題，12分）如圖，在abc中，d是bc邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)b、c重合），連結(jié)ad問(wèn)題引入：（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)d是bc邊上的中點(diǎn)時(shí)，

34、sabd：sabc=1：2；當(dāng)點(diǎn)d是bc邊上任意一點(diǎn)時(shí)，sabd：sabc=bd：bc（用圖中已有線段表示）探索研究：（2）如圖，在abc中，o點(diǎn)是線段ad上一點(diǎn)（不與點(diǎn)a、d重合），連結(jié)bo、co，試猜想sboc與sabc之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線段之比，并說(shuō)明理由拓展應(yīng)用：（3）如圖，o是線段ad上一點(diǎn)（不與點(diǎn)a、d重合），連結(jié)bo并延長(zhǎng)交ac于點(diǎn)f，連結(jié)co并延長(zhǎng)交ab于點(diǎn)e，試猜想+的值，并說(shuō)明理由考點(diǎn)：相似形綜合題分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等高時(shí)，可得兩三角形底與面積的關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時(shí)，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時(shí)，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，再根據(jù)分式的加減，可得答案解答：解：（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)d是bc邊上的中點(diǎn)時(shí)，sabd：sabc=1：2；當(dāng)點(diǎn)d是bc邊上任意一點(diǎn)時(shí)，sabd：sabc=bd：bc，故答案為：1：2，bd：bc；（2）sboc：sabc=od：ad，如圖作oebc與e，作afbc與f，oeaf，oeda