聲及振動(dòng)基礎(chǔ)第二章習(xí)題

1、第二章習(xí)題 1、證明下列表達(dá)式是一維波動(dòng)方程的正確解 證明：一維波動(dòng)方程為( , )sincosj tj tp x tAekxBekx( , )jkxjkxj tp x tCeDee2222210PPCtx （1）將代入波動(dòng)方程第一式可得： 代入第二式得： 即滿足方程所以為一維波動(dòng)方程的正確解。222222001sincos( , )j tPAkxBkx ek P x tCtC 22222sincos( , )j tPk Akxk Bkx ek P x tx （2）同理將代入波動(dòng)方程第一式可得： 代入第二式得： 即也滿足方程所以也為一維波動(dòng)方程的正確解。 22222( , )jkxjkxj t

2、Pk Cek Deek P x tx 222222001( , )jkxjkxj tPCeDeek P x tCtC 2、（、（1）、理想氣體的聲速）、理想氣體的聲速c是否隨靜壓強(qiáng)變是否隨靜壓強(qiáng)變化？在波動(dòng)方程中化？在波動(dòng)方程中c是否隨瞬時(shí)聲壓變化？是否隨瞬時(shí)聲壓變化？（2）、如果理想氣體遵循等溫狀態(tài)方程，聲）、如果理想氣體遵循等溫狀態(tài)方程，聲速速c的表達(dá)式將是怎樣的？空氣在的表達(dá)式將是怎樣的？空氣在20C時(shí)等溫時(shí)等溫波速是多少？此值與空氣在波速是多少？此值與空氣在20C時(shí)的等熵波時(shí)的等熵波速相差多少？速相差多少？ 解：理想氣體中近似為等熵絕熱解：理想氣體中近似為等熵絕熱 過程過程,因此因此

3、其中泊松比其中泊松比 所以所以00PVPV/pvCC0000VPPPV 根據(jù)根據(jù) 可知理想氣體聲速隨靜壓強(qiáng)變化，不隨瞬時(shí)可知理想氣體聲速隨靜壓強(qiáng)變化，不隨瞬時(shí)聲壓變化。聲壓變化。 （2） 等溫情況下：等溫情況下：000002000,SSPPcP00000000MPVVPVPVPPPMVV 又因?yàn)榫鶆?、靜止理想流體中小振幅波的狀又因?yàn)榫鶆?、靜止理想流體中小振幅波的狀態(tài)方程為態(tài)方程為 所以，遵從等溫狀態(tài)方程的聲速為：所以，遵從等溫狀態(tài)方程的聲速為： 而理想氣體，遵從絕熱狀態(tài)方程的聲速而理想氣體，遵從絕熱狀態(tài)方程的聲速為：為： ；其中；其中 、 分別為靜態(tài)壓分別為靜態(tài)壓強(qiáng)和密度。強(qiáng)和密度。 0000

4、00000()lPPpPPPP20lpc20000PPcc00Pc00/cP0P0因此因此二者差值：二者差值： 5001.41 1.013 10343.575(/ )1.21Pcm s絕熱5001.013 10289.3424(/ )1.21Pcm s等溫54.23m/scc絕熱等溫 3、計(jì)算有效聲壓為、計(jì)算有效聲壓為3.5N/m2的平面聲波的聲的平面聲波的聲壓級(jí)。設(shè)所用的參考聲壓為（壓級(jí)。設(shè)所用的參考聲壓為（1） Pa（2） Pa （3） bar（4） bar 解：解：1bar=1dyn/cm2=10-5N/cm2=0.1Pa52 1061042 1051053.520log20log2 1

5、020log1.75 100 104.86refPSPLPdB63.520log20log1020log3.5 120 130.88refPSPLPdB53.520log20log100.120log3.5 120 130.88refPSPLPdB43.520log20log2 100.120log1.75 100104.86refPSPLPdB4、已知：聲波的聲壓函數(shù)為：、已知：聲波的聲壓函數(shù)為：3( , )4 10 cos2 (1500)Pap x ttx式中：式中：x的單位為的單位為m，t的單位為的單位為s，求該聲場(chǎng)，求該聲場(chǎng)的波數(shù)、波長、角頻率、聲壓幅值、聲壓有的波數(shù)、波長、角頻率、聲

6、壓幅值、聲壓有效值、介質(zhì)中波速。效值、介質(zhì)中波速。若介質(zhì)的密度為若介質(zhì)的密度為1000kg/m3,求介質(zhì)的特性阻求介質(zhì)的特性阻抗、振速的波函數(shù)、波阻抗、聲能流密度函抗、振速的波函數(shù)、波阻抗、聲能流密度函數(shù)、聲強(qiáng)和聲能密度。數(shù)、聲強(qiáng)和聲能密度。解：波數(shù)解：波數(shù)2rad/mk/(2)/(2 )1mcTf cck3000波長波長角頻率角頻率聲壓幅值聲壓幅值聲壓有效值聲壓有效值介質(zhì)波速介質(zhì)波速304 10PaP 3022 2 10PaeffPP0/1500m/sck特性阻抗：特性阻抗：振速波函數(shù)：振速波函數(shù)：60 01.5 10Raylc30 0( , )( , )2.67 10cos(2 (1500

7、)m/sp x tu x ttxc60 0( , )1.5 10Rayl( , )ap x tZcu x t波阻抗：波阻抗：聲能流密度函數(shù)：聲能流密度函數(shù)：聲強(qiáng)：聲強(qiáng)：聲能密度：聲能密度：2200 0( , )( , ) ( , )1cos4 (1500)W/m2pW x tp x t u x ttxc2200 001( )( , )W/m2TpI xW x t dtTc222002200 002302011( , )221 cos4 (1500)J/m2kpEEppE x tuVccptxc5、特性阻抗為、特性阻抗為 的介質(zhì)中有兩列同幅同的介質(zhì)中有兩列同幅同頻相向傳播的平面波，其速度勢(shì)函數(shù)為

8、：頻相向傳播的平面波，其速度勢(shì)函數(shù)為：()()00( , )jt kxjt kxx tee 試求：該波場(chǎng)的聲壓函數(shù)、振速函數(shù)、波阻試求：該波場(chǎng)的聲壓函數(shù)、振速函數(shù)、波阻抗、聲能流密度、聲強(qiáng)和聲能密度?？埂⒙暷芰髅芏?、聲強(qiáng)和聲能密度。0 0c解：振速函數(shù)解：振速函數(shù)00( , )Re ( , )Re( , )Re cos()cos()sin()sin()sin()sin()u x tu x tx tk jtkxjtkxtkxtkxktkxtkx聲壓函數(shù)聲壓函數(shù)00000( , )( , )Re ( , )ReRe cos()cos()sin()sin()sin()sin()r tp x tp x

9、 ttjtkxjtkxtkxtkxtkxtkx波阻抗波阻抗聲能流密度聲能流密度()()00()()020 00 02( , )( )( , )11jt kxjt kxajt kxjt kxjkxjkxj kxjkxjkxj kxp x tjeeZxu x tjkeeeeecceee00202220( , )( , ) ( , )sin()sin()sin()sin()sin ()sin ()W x tp x t u x tktkxtkxtkxtkxktkxtkx 聲強(qiáng)聲強(qiáng)聲能密度聲能密度02201( )( , )1sin ()sin ()0TTI xW x t dtTtkxtkx dtT220

10、0200 022220011( , )22sin ()sin ()kpEEpE x tuVcktkxtkx6、理想介質(zhì)、理想介質(zhì) 中，已知聲波的速度勢(shì)函數(shù)為中，已知聲波的速度勢(shì)函數(shù)為0 0c( , )sin()cos()x tAkxt試求：質(zhì)點(diǎn)振速函數(shù)、聲壓函數(shù)、波阻抗、試求：質(zhì)點(diǎn)振速函數(shù)、聲壓函數(shù)、波阻抗、聲能流密度和聲波強(qiáng)度。聲能流密度和聲波強(qiáng)度。解解:復(fù)數(shù)形式的速度勢(shì)函數(shù)為復(fù)數(shù)形式的速度勢(shì)函數(shù)為( , )sinj tx tAekx7、有效聲壓、有效聲壓50Pa、頻率、頻率1000Hz的平面波由水的平面波由水中垂直入射到水與空氣的平面界面上。試求：中垂直入射到水與空氣的平面界面上。試求：（

11、1）透射到空氣中的平面波的有效聲壓是多）透射到空氣中的平面波的有效聲壓是多少？（少？（2）水中入射波和空氣中的透射波聲強(qiáng)）水中入射波和空氣中的透射波聲強(qiáng)各是多少？（各是多少？（3）如果該平面波由水入射到）如果該平面波由水入射到水水冰界面上，重新計(jì)算上述（冰界面上，重新計(jì)算上述（1）、（）、（2）中各量；（中各量；（4）冰層的聲功率反射系數(shù)是多少？）冰層的聲功率反射系數(shù)是多少？（若冰的（若冰的 值為值為 ）解解:(1)透射系數(shù)透射系數(shù) c62.94 10 Rayl1500103432 . 13432 . 12223212水水空氣空氣空氣空氣cccZZZD362 1.2 343100 411.65

12、00.0271.2 343 101500411.6 1.5 10TeiePD pPa2-32350 501.67 10/101500ieiPIWmc水 水22-620.0271.8 10/1.2 343TeRpIWmc氣 氣（）66622 2.94 10D1.321.5 102.94 10ccc 冰冰水 水冰冰2 2.945066.21.52.94TeieapDpP321.67 10/iIW m22-32666.21.49 10/2.94 10TTpIWmc 冰 冰（）22222)2.94 1.5()()0.1052.94 1.5riiwiIR ppRRccIcccc水 水水 水冰冰水 水冰冰

13、水 水（ ）8、平面聲波垂直入射到海底，如果反射波比、平面聲波垂直入射到海底，如果反射波比入射波低入射波低20dB，問液態(tài)海底物質(zhì)的聲阻抗率，問液態(tài)海底物質(zhì)的聲阻抗率可能取什么數(shù)值？可能取什么數(shù)值？解：解：rirefrrefippppppdBlg20lg20lg202022100.1ZririZcpppRpc海水海水海水海水2Z9、由平面聲波垂直入射到空氣和位置特性阻、由平面聲波垂直入射到空氣和位置特性阻抗的無限流體的分界面平面上。若已知有一抗的無限流體的分界面平面上。若已知有一半聲能被反射，則求未知的特性阻抗。如果半聲能被反射，則求未知的特性阻抗。如果有有1/4的能量被反射，未知特性阻抗又是

14、多少？的能量被反射，未知特性阻抗又是多少？解：解：20.50.5RR 111171.20.52419ZRaylcZRZRaylcZ 由前題由前題知：知：同理：同理：20.250.5RR 11110.5138.31245cZRcZZRaylZRayl 10、在空氣中平面諧和波垂直入射到特性、在空氣中平面諧和波垂直入射到特性阻抗阻抗785Rayl的平表面上，求駐波比等于的平表面上，求駐波比等于多少？（駐波比定義為駐波場(chǎng)中聲壓級(jí)大多少？（駐波比定義為駐波場(chǎng)中聲壓級(jí)大值與極小值的比值）值與極小值的比值）解：界面垂直反射系數(shù)為解：界面垂直反射系數(shù)為11 0.3121.911 0.312RGR312. 0

15、6 .4117856 .4117853432 . 17853432 . 17851212ZZZZR駐波比為：駐波比為：11、試以一維平面波為例，導(dǎo)出理想流體媒、試以一維平面波為例，導(dǎo)出理想流體媒質(zhì)中存在反射波時(shí)聲場(chǎng)某點(diǎn)處的聲阻抗率的質(zhì)中存在反射波時(shí)聲場(chǎng)某點(diǎn)處的聲阻抗率的一般表示式。一般表示式。 推導(dǎo)如下：推導(dǎo)如下：當(dāng)存在反射波時(shí)，聲場(chǎng)的聲壓為當(dāng)存在反射波時(shí)，聲場(chǎng)的聲壓為 )()(kxjkxtjBeAep11)()(000kxjkxtjBeAecdtxpujkxjkxjkxjkxkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjneR

16、eeReceReeReceABeeABecBeAeBeAecBeAecBeAeupz00)()()()(00)()()()(00)()()()(00)()(00)()(112、測(cè)得海底全內(nèi)反射臨界角為、測(cè)得海底全內(nèi)反射臨界角為58，設(shè)，設(shè)取海底土質(zhì)與水的密度比為取海底土質(zhì)與水的密度比為2.7。若平面波。若平面波以以30角入射到海底平面上，求反射波強(qiáng)角入射到海底平面上，求反射波強(qiáng)度與入射波強(qiáng)度之比？度與入射波強(qiáng)度之比？ 解：聲壓反射系數(shù)為：解：聲壓反射系數(shù)為： ititititnnnnpccccccccZZZZRcoscos1coscos1coscoscoscos1212土水土水土水土水水水土土

17、水水土土根據(jù)題意知：根據(jù)題意知：7 . 21土水8480. 090sin58sin土水cc2330coscosi2sinsin58sin90sinsin30sin90cos1 ()0.8077sin58ittn反射波強(qiáng)度與入射波強(qiáng)度之比反射波強(qiáng)度與入射波強(qiáng)度之比2991. 0coscos1coscos122ititpIccccRR土水土水土水土水13、頻率為、頻率為20kHz的平面波從水中無反射的平面波從水中無反射地進(jìn)入鋼中，試求中間所夾塑料層（其密地進(jìn)入鋼中，試求中間所夾塑料層（其密度為度為1500 kg/m3）的厚度和聲速。）的厚度和聲速。解：解： 且要無反射的進(jìn)入鋼中，則需滿足且要無反射

18、的進(jìn)入鋼中，則需滿足 ZZ鋼水(21)4ZZ Zln鋼塑料水且cccccc5650/ZZ Zm s鋼鋼鋼塑料水塑料塑料水水鋼鋼水水塑料塑料(21)(21)0.07 (21)m44clnnnf塑料塑料14、水介質(zhì)中有一塊大鋼板，厚度為、水介質(zhì)中有一塊大鋼板，厚度為1.5cm，現(xiàn)有現(xiàn)有2000Hz的平面聲波正入射其上。試求：的平面聲波正入射其上。試求：（1）聲波通過鋼板時(shí)所引起的透射損失；）聲波通過鋼板時(shí)所引起的透射損失；（2）鋼板的聲功率反射系數(shù)；（）鋼板的聲功率反射系數(shù)；（3）如用）如用1.5cm厚的海綿橡皮（密度為厚的海綿橡皮（密度為500kg/m3）代）代替鋼板，重復(fù)計(jì)算（替鋼板，重復(fù)計(jì)算

19、（1）（）（2）中的各量。）中的各量。（海綿橡皮中縱波聲速為（海綿橡皮中縱波聲速為1000m/s） 解解： （1）透射損失為：透射損失為： 102222110221210 log ()110 log (cos() sin)0.914itITLIZZk lk ldBZZ2222312213222312213222221222122122() cos()sin() cos()sin()sin2cos()sin0.19WZZZk lj ZZ Zk lRRZZZk lj ZZ Zk lj ZZk lZ Zk lj ZZk l同理可得（同理可得（3）問的答案）問的答案（2）鋼板的聲功率反射系數(shù)）鋼板的聲

20、功率反射系數(shù)15、水介質(zhì)中有一塊厚度為、水介質(zhì)中有一塊厚度為0.04 m的大鋼板，的大鋼板，如果頻率為如果頻率為1000 Hz的平面波垂直入射到鋼板的平面波垂直入射到鋼板上，問入射波和透射波間的相位差是多少？上，問入射波和透射波間的相位差是多少？ 1()11jt k xipAe3331()()331()231223122132()121221221222()cos()sin22cos()sinjt kx ljt kx ltjt kx ljt k x lpAeD A eZ ZAeZ ZZk lj ZZ Zk lZ ZAeZ Zk lj ZZk l解：解：22101221223230.042cos

21、()sin12ixtxpZ Zk lj ZZk lpDZ Z22122122()sinarctan()2cos33.4ZZk lZ Zk l16、理想介質(zhì)中有簡諧均勻擴(kuò)張球面波聲、理想介質(zhì)中有簡諧均勻擴(kuò)張球面波聲場(chǎng)，測(cè)得場(chǎng)，測(cè)得A點(diǎn)的聲壓函數(shù)和質(zhì)點(diǎn)振速函數(shù)為：點(diǎn)的聲壓函數(shù)和質(zhì)點(diǎn)振速函數(shù)為：3( )4 10 cos(200)PaAptt3( )3.77 10cos(2000.445)m/sAutt問：問：A點(diǎn)的波阻抗為何？點(diǎn)的波阻抗為何？A點(diǎn)的聲能流密度點(diǎn)的聲能流密度函數(shù)為何？函數(shù)為何？A點(diǎn)的聲強(qiáng)為何？介質(zhì)的特性阻點(diǎn)的聲強(qiáng)為何？介質(zhì)的特性阻抗為何？（式中抗為何？（式中t的單位的單位sec）解：解

22、：A點(diǎn)處的復(fù)聲壓和復(fù)質(zhì)點(diǎn)振速為點(diǎn)處的復(fù)聲壓和復(fù)質(zhì)點(diǎn)振速為因此，因此，A點(diǎn)的波阻抗為點(diǎn)的波阻抗為3200( )4 10PajtApxe3(2000.445)( )3.77 10m/sjtAute320060.4453(2000.445)4 101.06 10Rayl3.77 10jtjAjtpeZeue2Re( )Re( )15.08cos(200)cos(2000.445)7.540.9cos(4000.445)W/mAWputtt002117.540.9cos(4000.445)6.786W/mTTIWdtTtdtT聲能流密度函數(shù)聲能流密度函數(shù)聲強(qiáng)聲強(qiáng)0 00 066coscos1.06 1

23、0cos(0.445)1.18 10RaylAAZcZc介質(zhì)的特性阻抗介質(zhì)的特性阻抗17、續(xù)上題，如沿聲傳播方向距、續(xù)上題，如沿聲傳播方向距A點(diǎn)點(diǎn)2.5m處處B 點(diǎn)測(cè)得的聲壓函數(shù)為：點(diǎn)測(cè)得的聲壓函數(shù)為：32 10 cos(200)Pa3Bpt問：介質(zhì)的波速為何？密度為何？聲波的問：介質(zhì)的波速為何？密度為何？聲波的頻率、波數(shù)為何？該球面波的球心距頻率、波數(shù)為何？該球面波的球心距A點(diǎn)點(diǎn)的距離為何？以距該球心的距離的距離為何？以距該球心的距離r為空間變?yōu)榭臻g變量給出該聲場(chǎng)的聲壓時(shí)空函數(shù)。量給出該聲場(chǎng)的聲壓時(shí)空函數(shù)。解：聲波頻率解：聲波頻率2002100Hzff2()rad/m315BAk rrk 0

24、1500m/sck由由B點(diǎn)和點(diǎn)和A點(diǎn)的相位差可知點(diǎn)的相位差可知介質(zhì)波速介質(zhì)波速6301.18 10787kg/m1500介質(zhì)密度介質(zhì)密度由由B點(diǎn)和點(diǎn)和A點(diǎn)的聲壓幅值可知點(diǎn)的聲壓幅值可知30304 10 Pa22.5m2 10 Pa5m2.5mABAABBBAprrrrprrrr距離為距離為r的的聲壓時(shí)空函數(shù)為聲壓時(shí)空函數(shù)為2( , )200rad153f r ttr18、已知簡諧均勻擴(kuò)張球面波聲場(chǎng)中，沿、已知簡諧均勻擴(kuò)張球面波聲場(chǎng)中，沿聲波傳播方向順序且等間距排列三點(diǎn)聲波傳播方向順序且等間距排列三點(diǎn) A、B、C 。相鄰兩點(diǎn)間距。相鄰兩點(diǎn)間距4m，如果在，如果在A點(diǎn)測(cè)得聲點(diǎn)測(cè)得聲壓幅值為壓幅值為5104Pa，B點(diǎn)測(cè)得聲壓幅值為點(diǎn)測(cè)得聲壓幅值為1104Pa，問，問C點(diǎn)的聲壓幅值為何？又若參點(diǎn)的聲壓幅值為何？又若參考聲壓為考聲壓為10-6Pa， C點(diǎn)的聲壓級(jí)為何？點(diǎn)的聲壓級(jí)為何？如果在如果在A點(diǎn)和點(diǎn)和B點(diǎn)測(cè)得質(zhì)點(diǎn)振速幅值；能否點(diǎn)測(cè)得質(zhì)點(diǎn)振速幅值；能否得到得到C點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)振速幅值？為什么？點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)振速幅值？為什么？ 求圖示中的聲場(chǎng)，上界面為軟界面，