圓和線的位置關(guān)系教案

1、圖示 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 位置關(guān)系 d,r數(shù)量關(guān)系 0 相離drA 1 相切 d=rA B 2相交0dr直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì) 杭州市長(zhǎng)征中學(xué) 朱成萬(wàn)一、教學(xué)內(nèi)容解析 高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修2（人教A）第四章第42節(jié)直線與圓的位置關(guān)系主要介紹了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的方程的應(yīng)用等內(nèi)容，大致安排四課時(shí)教學(xué)本節(jié)課是第42節(jié)第一課時(shí)內(nèi)容，是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了直線方程、直線與直線的位置關(guān)系、圓的方程等之后，用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系在平面幾何對(duì)直線與圓之間的關(guān)系進(jìn)行了定性的研究，即依照它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定它們的位置關(guān)系但在實(shí)際問(wèn)題中，我們會(huì)經(jīng)常遇到直線與圓的位置關(guān)系的定量刻

2、畫(huà)問(wèn)題，如當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，其公共點(diǎn)的準(zhǔn)確位置的確定問(wèn)題，這是平面幾何沒(méi)有解決好的問(wèn)題學(xué)習(xí)了坐標(biāo)法后，可以通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，使得直線與圓可以用方程表示，從而將直線與圓的位置關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為直線的方程與圓的方程之間的數(shù)量關(guān)系的研究當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，公共點(diǎn)位置的確定就轉(zhuǎn)化為求解直線的方程與圓的方程的公共解 依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系，是運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后比較這個(gè)距離與圓的半徑的大小，并作出位置關(guān)系的判斷，仍然是用坐標(biāo)法解決問(wèn)題（幾何意義相對(duì)直觀些）研究直線與圓的位置關(guān)系，一是從幾何角度直觀判斷，二是通過(guò)直線與圓的方程從“數(shù)”

3、的角度進(jìn)行研究這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)：用解析法判斷直線與圓的位置關(guān)系二、教學(xué)目標(biāo)解析1了解直線與圓的三種位置關(guān)系的含義及圖示2會(huì)用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離d，并根據(jù)d與半徑r的大小判斷直線與圓的位置關(guān)系3理解直線與圓的位置關(guān)系可以通過(guò)直線與圓的方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)確定4當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，能通過(guò)聯(lián)解方程組得出直線與圓的公共點(diǎn)的坐標(biāo)5當(dāng)直線與圓相交時(shí)，會(huì)求圓的弦長(zhǎng)，以及能解決與弦長(zhǎng)相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題6通過(guò)直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)化處理，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到坐標(biāo)系是聯(lián)系“數(shù)”與“形”的橋梁，從而更深刻地體會(huì)坐標(biāo)法思想三、教學(xué)問(wèn)題診斷學(xué)生在初中平面幾何中已經(jīng)接觸過(guò)直線

4、與圓的位置關(guān)系，學(xué)習(xí)了直線方程、圓的方程、兩直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離之后，具備利用方程研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系的基本能力為什么要對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行定量刻畫(huà)？這是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到的第一個(gè)學(xué)習(xí)障礙這個(gè)問(wèn)題可以結(jié)合“臺(tái)風(fēng)問(wèn)題”進(jìn)行說(shuō)明：我們?nèi)绾慰坍?huà)輪船開(kāi)始受臺(tái)風(fēng)影響的位置？這是平面幾何沒(méi)有解決的問(wèn)題，必需借助坐標(biāo)系，才能精確刻畫(huà)利用直線的方程與圓的方程進(jìn)行直線與圓的位置關(guān)系的研究時(shí)，會(huì)遇上求方程組的解，求圓心到直線的距離等大量的代數(shù)計(jì)算問(wèn)題，由于有些問(wèn)題（特別是像臺(tái)風(fēng)這樣的實(shí)際問(wèn)題）中的數(shù)據(jù)較復(fù)雜，可能導(dǎo)致學(xué)生計(jì)算出錯(cuò)，這是第二個(gè)學(xué)習(xí)障礙，也是教學(xué)難點(diǎn)之一教學(xué)時(shí)不能因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題而使教學(xué)

5、偏離重點(diǎn)，必要時(shí)可使用信息技術(shù)工具解決這個(gè)問(wèn)題本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)：理解可以通過(guò)直線與圓的方程所組成的方程組的解來(lái)確定它們的位置關(guān)系四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1問(wèn)題情境問(wèn)題1一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為50km的圓形區(qū)域已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北70km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受臺(tái)風(fēng)這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中所蘊(yùn)含的直線與圓的位置關(guān)系，思考解決問(wèn)題的方案 通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入，讓學(xué)生體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)，突出研究直線與圓的位置關(guān)系的重要意義師生活動(dòng)：讓學(xué)生進(jìn)行討論、交流，啟發(fā)學(xué)生由圖形獲取判斷直線與圓的

6、位置關(guān)系的直觀認(rèn)知，引入新課師：你怎么判斷輪船受不受影響？生：臺(tái)風(fēng)所在的圓與輪船航線所在直線是否相交師：（板書(shū)標(biāo)題）這個(gè)問(wèn)題，其實(shí)可以歸結(jié)為直線與圓的位置關(guān)系學(xué)生解決方法一：設(shè)O為臺(tái)風(fēng)中心，A為輪船開(kāi)始位置，B為港口位置，在OAB中，O到AB的距離=，因此受影響2揭示課題直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題2前面問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直線圓的位置關(guān)系問(wèn)題請(qǐng)問(wèn)，直線與圓的位置關(guān)系有幾種？在平面幾何中，我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系呢？設(shè)計(jì)意圖：從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，不斷加深對(duì)問(wèn)題的理解師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回憶義務(wù)教育階段判斷直線與圓的位置關(guān)系的思想過(guò)程可以展示下面的表格

7、，使問(wèn)題直觀形象直線與圓的位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)與的關(guān)系圖形相交兩個(gè)相切一個(gè)相離沒(méi)有3直線與圓位置關(guān)系的判斷問(wèn)題3：方法一是用平面幾何知識(shí)判斷直線與圓的位置關(guān)系，你能根據(jù)直線與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系嗎？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，體驗(yàn)坐標(biāo)法的思想方法師生活動(dòng)：通過(guò)教師追問(wèn)，引起學(xué)生思考師：要求圓與直線的方程，首先要建立坐標(biāo)？那如何建立坐標(biāo)？生：以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)，以東西方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系師：（追問(wèn)）坐標(biāo)系還可以有其他建法嗎？生：以港口所在位置為原點(diǎn)，以輪船所在位置為原點(diǎn)（選擇一種，師生共同完成）方法二：如圖，以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)，以東西方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系

8、，其中，取10km為單位長(zhǎng)度則臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程為，圓心O（0，0），半徑5，輪船航線所在的直線的方程為，直線與圓相交問(wèn)題4：這是利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判別直線與圓的位置關(guān)系（稱(chēng)此法為“法”）請(qǐng)問(wèn)用“法”的一般步驟如何？設(shè)計(jì)意圖：對(duì)判斷直線與圓的位置關(guān)系步驟進(jìn)行小結(jié)，對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，使學(xué)生有“操作規(guī)范”，培養(yǎng)歸納能力，同時(shí)也滲透了算法思想師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析歸納：（1）建立平面直角坐標(biāo)系；（2）求出直線方程，圓心坐標(biāo)與圓的半徑；（3）求出圓心到直線的距離（4）比較與的大小，確定直線與圓的位置關(guān)系當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓相交問(wèn)題5

9、：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的直線和，聯(lián)立方程組，我們有如下一些結(jié)論：與相交，方程組有唯一解；與平行，方程組無(wú)；與平行，方程組有無(wú)窮組解你能用類(lèi)比的思想，研究直線與圓的位置關(guān)系嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的研究過(guò)程，回顧坐標(biāo)法思想的重要作用并通過(guò)類(lèi)比，使學(xué)生獲得用坐標(biāo)法研究直線與圓的位置關(guān)系的想法與結(jié)論抽象判斷直線與圓的位置關(guān)系的思路與方法師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生得出：聯(lián)立方程組，我們有如下一些結(jié)論：圓與直線相切，方程組有唯一解；圓與直線相交，方程組有兩組解；圓與直線相離，方程組有無(wú)解方法三：聯(lián)立方程組，消去，得，因?yàn)?所以，方程組有兩組解，直線與圓相交問(wèn)題6：根據(jù)方程組是否

10、有解來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系的步驟如何？設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)方程組是否有解來(lái)判斷直線與圓位置關(guān)系的步驟進(jìn)行小結(jié)，對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，使學(xué)生有“操作規(guī)范”，培養(yǎng)歸納能力，同時(shí)也滲透了算法思想師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納：（1）將直線方程與圓方程聯(lián)立成方程組；（2）通過(guò)消元，得到一個(gè)一元二次方程；（3）求出其判別式的值；（4）判斷的符號(hào)：若0，則直線與圓相交； 若0，則直線與圓相切；若0，則直線與圓相離問(wèn)題7：我們研究了判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，可以用平面幾何知識(shí)定性刻畫(huà)，也可以用解析幾何的知識(shí)，根據(jù)直線與圓的方程來(lái)刻畫(huà)如果要求輪船在哪個(gè)具體位置開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)影響，如何刻畫(huà)？設(shè)計(jì)意圖：體驗(yàn)平面幾何與解

11、析幾何的各自解法平面幾何可以定性刻畫(huà)，解析幾何可以精確刻畫(huà)，體驗(yàn)坐標(biāo)法的優(yōu)越性師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，師生共同解決生：求出交點(diǎn)，就是開(kāi)始受影響的位置 解出：x=3,y=4或x=4,y=3 即，在臺(tái)風(fēng)中心的東30，偏北40處，開(kāi)始受到影響師：一般來(lái)說(shuō)，平面幾何可以定性的刻畫(huà)直線與圓的位置關(guān)系，但在精確刻畫(huà)它們位置關(guān)系時(shí)，解析幾何就顯得“得心應(yīng)手”，顯示出它的優(yōu)越性4例題示范例1如圖，已知直線：和圓心為的圓，（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題鞏固判斷直線與圓的位置關(guān)系方法，關(guān)注量與量之間的關(guān)系使學(xué)生體驗(yàn)用坐標(biāo)法研究直線與圓的位置關(guān)系的想法與結(jié)論師生活動(dòng)：教

12、師引導(dǎo)學(xué)生分析解答分析：方法一，判斷直線與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解；方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑大小的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題8在判斷直線與圓的位置關(guān)系的不同方法中，你選擇哪一種？設(shè)計(jì)意圖：兩種方法的選擇，體驗(yàn)各自的優(yōu)越性和其中蘊(yùn)含的思想方法師生活動(dòng)：學(xué)生討論選擇5弦長(zhǎng)問(wèn)題例1 變式：求弦AB的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)意圖：直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)他們相交時(shí)，學(xué)習(xí)弦長(zhǎng)的求法師生活動(dòng)：學(xué)生思考解決，可能有兩種方法：方法一：因?yàn)閮蓚€(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是，所以用兩點(diǎn)距離公式方法二：構(gòu)造直角三角形，先求弦心距，再求弦長(zhǎng)例題2：已知過(guò)點(diǎn)M（3，3）的直線l被圓x2y24y210所截得的弦長(zhǎng)為4，求直線l的方程生：先獨(dú)立解決，然后看課本，規(guī)范解題師：設(shè)直線方程為，它的前提是斜率存在對(duì)于斜率不存在的情況用幾何畫(huà)板演示（答案為：x2y90，或2xy30）6課堂小結(jié)問(wèn)題9判斷直線與圓的位置關(guān)系有哪些方法?問(wèn)題10當(dāng)直線與圓相交時(shí),如何求弦長(zhǎng)?設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)知識(shí)，