大學(xué)物理作業(yè)(1-5)

1、14 一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為， (S1)。試求： (1)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：(2)在s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。解 (1) 由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 (1) (2) 消去參數(shù)t，可得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程 (2) 由(1)、(2)對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)可得任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度 所以 (3) 所以 (4) 把t=2s代入式(3)、(4)，可得該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。 16 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 (S1)，試求：(1)質(zhì)點(diǎn)的軌道方程；(2)t2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。解 (1) 由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，可得 消去參數(shù)t，可得軌道方程 (2) 由速度、加速度定義式，有 將t=2s 代入上兩式，得 ， 110 在重力和

2、空氣阻力的作用下，某物體下落的加速度為，g為重力加速度，B為與物體的質(zhì)量、形狀及媒質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。設(shè)t=0時(shí)物體的初速度為零。(1)試求物體的速度隨時(shí)間變化的關(guān)系式；(2)當(dāng)加速度為零時(shí)的速度(稱為收尾速度)值為多大?解 (1) 由得 兩邊積分，得 (2) 當(dāng)a=0時(shí) 有 a=g-Bv=0由此得收尾速率 v=g/B112 一艘正以速率勻速行駛的艦艇，在發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉之后勻減速行駛。其加速度的大小與速度的平方成正比，即， k為正常數(shù)。試求艦艇在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后行駛了x距離時(shí)速度的大小。解 對(duì)上式兩邊積分 化簡(jiǎn)得 所以 117 火車在曲率半徑R400m的圓弧軌道上行駛。已知火車的切向加速度，求火車的瞬時(shí)速率

3、為時(shí)的法向加速度和加速度。解 火車的法向加速度 方向指向曲率中心 火車的總加速度 設(shè)加速度a與速度v之間的夾角為，則118一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為0.10m的圓周運(yùn)動(dòng)，其角位置。(1)在t=2s時(shí)，它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是總加速度大小的一半時(shí)，值為多少?(3)何時(shí)切向加速度與法向加速度大小相等?解 質(zhì)點(diǎn)的角速度 質(zhì)點(diǎn)的線速度 質(zhì)點(diǎn)的法向加速度，切向加速度為 (1) (2)(1)把t=2s代入(1)式和(2)式，得此時(shí) (2)質(zhì)點(diǎn)的總加速度 由 得 解得 ，t=0.66s 所以 (3) 當(dāng)即 時(shí)有 ， t=0.55(s)附加題目：湖中一小船，岸邊的人用跨過高處的定滑輪

4、的繩子拉船靠岸(如圖所示)。當(dāng)收繩速度為v時(shí)，試問：(1)船的運(yùn)動(dòng)速度u比v大還是小?(2)若v常量。船能否作勻速運(yùn)動(dòng)?如果不能，其加速度為何值?解 (1) 由圖知 兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，并注意到h為常數(shù)，得 又 所以 Lv=su (1)即 u/v=L/s1因此船的速率u大于收繩速率v。(2) 將(1)式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，并考慮到v是常量 所以 即 23 質(zhì)量為m的子彈以速率水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為k，忽略子彈的重力，求：(1)子彈射入沙土后，速度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系； (2)子彈射入沙土的最大深度。解 設(shè)任意時(shí)刻子彈的速度為v，子彈進(jìn)入沙土的最大深度為s，

5、由題意知，子彈所受的阻力 f= - kv(1) 由牛頓第二定律 即 : 所以 對(duì)等式兩邊積分 得 因此 (2) 由牛頓第二定律 即 所以 對(duì)上式兩邊積分 得到 即 23 質(zhì)量為m的小球，在水中受到的浮力為F，當(dāng)它從靜止開始沉降時(shí)，受到水的粘滯阻力為fkv(k為常數(shù))。若從沉降開始計(jì)時(shí)，試證明小球在水中豎直沉降的速率v與時(shí)間的關(guān)系為證明 任意時(shí)刻t小球的受力如圖所示，取向下為y軸的正方向，開始沉降處為坐標(biāo)原點(diǎn)由牛頓第二定律 即 整理得 對(duì)上式兩邊積分 得 即 25 跳傘運(yùn)動(dòng)員與裝備的質(zhì)量共為m，從傘塔上跳出后立即張傘，受空氣的阻力與速率的平方成正比，即。求跳傘員的運(yùn)動(dòng)速率v隨時(shí)間t變化的規(guī)律和極

6、限速率。解 設(shè)運(yùn)動(dòng)員在任一時(shí)刻的速率為v， 有牛頓第二定律 整理得 對(duì)上式兩邊積分 得 整理得 設(shè)極限速率為，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員受的空氣阻力等于運(yùn)動(dòng)員及裝備的重力時(shí)，速率達(dá)到極限。此時(shí) 即 36 一質(zhì)量為與另一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)間有萬有引力作用。試求使兩質(zhì)點(diǎn)間的距離由增加到時(shí)所需要作的功。解 萬有引力兩質(zhì)點(diǎn)間的距離由x增加到時(shí)，萬有引力所作的功為故外力所作的功：37 設(shè)兩粒子之間的相互作用力為排斥力，其變化規(guī)律為，k為常數(shù)。若取無窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能參考位置，試求兩粒子相距為r時(shí)的勢(shì)能。解由勢(shì)能的定義知r處的勢(shì)能Ep為: 38 設(shè)地球的質(zhì)量為M，萬有引力恒量為，一質(zhì)量為m的宇宙飛船返回地球時(shí)，可認(rèn)為它是在地球引力場(chǎng)

7、中運(yùn)動(dòng)(此時(shí)飛船的發(fā)動(dòng)機(jī)已關(guān)閉)。求它從距地心下降到處時(shí)所增加的動(dòng)能。解 由動(dòng)能定理(或者根據(jù)機(jī)械能守恒定律)，宇宙飛船動(dòng)能的增量等于萬有引力對(duì)飛船所作的功，即： 4-5如圖所示，質(zhì)量為M1.5 kg的物體，用一根長(zhǎng)為l1.25 m的細(xì)繩懸掛在天花板上今有一質(zhì)量為m10 g的子彈以v0500 m/s的水平速度射穿物體，剛穿出物體時(shí)子彈的速度大小v 30 m/s，設(shè)穿透時(shí)間極短求： (1) 子彈剛穿出時(shí)繩中張力的大??； (2) 子彈在穿透過程中所受的沖量解 （1） 由于穿透時(shí)間極短,可認(rèn)為穿透過程在瞬間完成。此過程系統(tǒng)在水平方向滿足動(dòng)量守恒。 對(duì)M進(jìn)行受力分析有 (2) 子彈在穿透過程中所受的沖

8、量：上式中負(fù)號(hào)表示沖量方向與方向相反。4-8 如圖所示，砂子從h0.8m處下落到以3的速率沿水平向右運(yùn)動(dòng)的傳輸帶上，若每秒鐘落下100kg的砂子，求傳輸帶對(duì)砂子作用力的大小和方向。解 如圖所示，設(shè)時(shí)間內(nèi)落下的砂子的質(zhì)量為，則的動(dòng)量改變水平方向：豎直方向：或者 方法二：顯然有 根據(jù)動(dòng)量定理 所以414 6月22日，地球處于遠(yuǎn)日點(diǎn)，到太陽的距離為m，軌道速度為。6個(gè)月后，地球處于近日點(diǎn)，到太陽的距離為m。求：(1)在近日點(diǎn)地球的軌道速度； (2)在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)地球的角速度。解 設(shè)在近日點(diǎn)附近地球的軌道速度為，軌道半徑為，角速度為；在遠(yuǎn)日點(diǎn)地球的軌道速度為，軌道半徑為，角速度為。(1) 取地球?yàn)?/p>

9、研究對(duì)象，其對(duì)太陽中心的角動(dòng)量守恒。所以 (2) 417 有兩個(gè)質(zhì)量都等于50kg的滑冰運(yùn)動(dòng)員，沿著相距1.5m的兩條平行線相向運(yùn)動(dòng)，速率皆為10。當(dāng)兩人相距為1.5m時(shí)，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)兩人握住手以后繞中心旋轉(zhuǎn)的角速度； (2)若兩人通過彎曲手臂而靠近到相距為1.0m時(shí)，角速度變?yōu)槎啻?解 取兩人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)對(duì)兩人距離中點(diǎn)的角動(dòng)量守恒(1) 設(shè)兩人質(zhì)量均為m，到轉(zhuǎn)軸的距離為，握住手以后繞中心角速度為，則有： (2) 設(shè)兩人相距1.0米時(shí)，角速度為，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，兩人到轉(zhuǎn)軸的距離為，則 421 如圖所示，在水平光滑平面上有一輕彈簧，一端固定，另一端

10、系一質(zhì)量為m的滑塊。彈簧原長(zhǎng)為，倔強(qiáng)系數(shù)為k。當(dāng)t0時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為?；瑝K得一水平速度，方向與彈簧軸線垂直。t時(shí)刻彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)。求t時(shí)刻滑塊的速度v的大小和方向(用角表示)。解 因?yàn)閺椈珊托∏蛟诠饣矫嫔线\(yùn)動(dòng)，所以若把彈簧和小球作為一個(gè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即 (1) 小球在水平面上所受彈簧拉力通過固定點(diǎn)，則小球?qū)潭c(diǎn)角動(dòng)量守恒，即 恒量故 (2)由(1)式得 代入(2)式得 5-5 有一質(zhì)量為m1、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為m的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng). 另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m2的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短，已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為v1和v2，如圖所示. 求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間 (已知棒繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=m1l2/3).lv2m1m2Ov1A解：由角動(dòng)量守恒可以得到 碰后，由于摩擦產(chǎn)生的阻力矩為：由角動(dòng)量定理，