實(shí)變函數(shù)期末考試卷A及參考答卷

1、考生信息欄 院（系） 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 裝訂線 20112012學(xué)年 第1學(xué)期 數(shù)計(jì)學(xué)院09級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)(1、2班) 實(shí)變函數(shù)期末考試卷（A）試卷類別：閉卷考試用時(shí)：120分鐘考試時(shí)間：2012年01月04日考試地點(diǎn)：文501、502題號(hào)分?jǐn)?shù)一二三四五注意事項(xiàng)1、學(xué)生的院（系）別、專業(yè)、班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào)必須填寫在考生信息欄內(nèi)指定的位置。2、學(xué)生在考試之前必須填寫考試時(shí)間和地點(diǎn)。3、答題字跡要清楚，并保持卷面清潔。六七八總分評(píng)卷人復(fù)核人 試卷 共 8 頁(yè) 第 1 頁(yè)考生考試誠(chéng)信承諾書在我填寫考生信息后，表示我已閱讀和理解龍巖學(xué)院考試紀(jì)律與違紀(jì)處分辦法的有關(guān)規(guī)定，承諾在考試中自覺遵規(guī)守紀(jì)，

2、如有違反將接受處理；我保證在本科目考試中，本人所提供的個(gè)人信息是真實(shí)、準(zhǔn)確的?？忌灻?試卷 共 頁(yè) 第 頁(yè) 試卷 共 頁(yè) 第 頁(yè) 試卷 共 8 頁(yè) 第 2 頁(yè)實(shí)變函數(shù)期末考試卷(A) 2009級(jí)本科1、2班用 考試時(shí)間2012年01月 04日一 填空題（每小題3分，滿分24分）1 我們將定義在可測(cè)集上的所有可測(cè)函數(shù)所成的集合記為.任取，都可以確定兩個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)： 和分別稱為的正部和負(fù)部。請(qǐng)你寫出和之間的關(guān)系：，。2 上題中有些元素被稱為非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，指的是：是有限個(gè)互不相交的可測(cè)集的并集，在上（非負(fù)常數(shù)）（）.在上的積分定義為： ，這個(gè)積分值可能落在區(qū)間中，但只有當(dāng)時(shí)才能說(shuō)是可積的。3

3、若是非負(fù)函數(shù)，則它的積分定義為：，這個(gè)積分值可能落在區(qū)間中，但只有當(dāng)時(shí)才能說(shuō)是可積的。4 中的一般元素稱為是積分確定的，如果和，即和的值；但只有當(dāng)時(shí)才能說(shuō)是可積的，這時(shí)將它的積分定義為：。5 從中取出一個(gè)非負(fù)函數(shù)列，則法圖引理的結(jié)論是不等式：；如果再添上條件和就得到列維定理的結(jié)論：。6 設(shè)和都是中的可測(cè)函數(shù)，滿足 于或兩個(gè)條件之一。 試卷 共 8 頁(yè) 第 3 頁(yè)如果再添上下例兩個(gè)條件之一：或 ，就可得到勒貝格控制收斂的結(jié)論： （1）； （2）。7 富比尼定理的表述過(guò)程比較長(zhǎng)，但它給出了定義在兩個(gè)可測(cè)子集上的笛卡爾積上的可測(cè)函數(shù)的積分可化為累次積分 的條件卻非常簡(jiǎn)單。只要下列兩個(gè)簡(jiǎn)單條件之一成立

4、就行了：（1） ；（2）。 兩個(gè)累次積分都存在且相等是在上可積的條件，但不是 條件。8 斯蒂爾切斯積分的定義是：。二 多項(xiàng)選擇題 下列各題中正確的結(jié)論有些可能不止一個(gè)，請(qǐng)把正確結(jié)論的編號(hào)填在左邊的方括號(hào)內(nèi)。（每小題3分，滿分15分） 1定義在上的實(shí)函數(shù)的正部和負(fù)部的取值情況有： （），與不同時(shí)取正值，但可能同時(shí)為零；（），與可能同時(shí)取正值，也可能同時(shí)為零； （）上任意兩個(gè)非負(fù)實(shí)函數(shù)都構(gòu)成上第三個(gè)實(shí)函數(shù)的正部與負(fù)部； （）上任意兩個(gè)不同時(shí)取正值的非負(fù)函數(shù)都構(gòu)成上第三個(gè)實(shí)函數(shù)的正部與負(fù)部。 2 設(shè)是中有限個(gè)互不相交的可測(cè)集的并集，函數(shù)在上的值恒等于常數(shù)（），則在上可積的充要條件有： （）； （）當(dāng)

5、時(shí)； （）均為測(cè)度有限集； （）每個(gè)均為有限數(shù)。 3 中的非負(fù)函數(shù)都是積分確定的，這是因?yàn)椋?試卷 共 8 頁(yè) 第 4 頁(yè) （）；（）和都是有限數(shù)； （）；（） 4 上的有界變差函數(shù)的任一個(gè)變差都不會(huì)超過(guò)全變差，而且當(dāng)時(shí)有.由這兩條結(jié)論可以推知： （）在上的振幅；（）有； （）有界變差函數(shù)一定可以表為兩個(gè)增函數(shù)的差； （）有界變差函數(shù)至多有可數(shù)個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)構(gòu)成零測(cè)度集。 5 關(guān)于上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，下列結(jié)論正確的有：（）用每個(gè)在上可積的函數(shù)都可構(gòu)造一個(gè)絕對(duì)連續(xù)函數(shù) ，滿足于；（）每個(gè)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)都在上幾乎處處有可積的導(dǎo)函數(shù)，而且滿足牛氏公式 ； （）每個(gè)在上幾乎處處有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)都

6、是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，同時(shí)滿足牛氏公式 ； （）在上幾乎處處有導(dǎo)數(shù)的有界函數(shù)不一定連續(xù)，但本身一定可積。而它的導(dǎo)函數(shù)就不一定可積了。即使可積也不一定滿足牛氏公式。三 設(shè)滿足：，閉集使. 試證明是可測(cè)集。 （8分） 試卷 共 8 頁(yè) 第 5 頁(yè)四 我們也可以這樣來(lái)定義可測(cè)函數(shù)：定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)稱為是可測(cè)的，如果它能表達(dá)成上一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限函數(shù). 現(xiàn)在請(qǐng)你用這個(gè)定義證明：上兩個(gè)可測(cè)函數(shù)的乘積還是上可測(cè)函數(shù)。（7分） 五 設(shè)是上的可積函數(shù)列，并且正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。試證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)幾乎處處收斂，它的和函數(shù)在上可積，而且滿足逐項(xiàng)積分公式：. （12分） 試卷 共 8 頁(yè) 第 6 頁(yè)六 設(shè)是上的可積函數(shù)，證

7、明，存在上的連續(xù)函數(shù)使 . （12分）七 設(shè)是上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列, ,并且 .若有某個(gè)在上上可積。試證明也在上可積，并且 . （10分） 試卷 共 8 頁(yè) 第 7 頁(yè)八 設(shè)在上可積,試證明：，存在的可測(cè)子集使 （12分） 試卷 共 8 頁(yè) 第 8 頁(yè)實(shí)變函數(shù)期末考試卷(A)參考答卷 2009級(jí)本科1、2班用 考試時(shí)間2012年01月 04日一 填空題（每小題3分，滿分24分）1 我們將定義在可測(cè)集上的所有可測(cè)函數(shù)所成的集合記為.任取，都可以確定兩個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)： 和分別稱為的正部和負(fù)部。請(qǐng)你寫出和之間的關(guān)系：，。2 上題中有些元素被稱為非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，指的是：是有限個(gè)互不相交的可測(cè)集的并集，在上（

8、非負(fù)常數(shù)）（）.在上的積分定義為： ，這個(gè)積分值可能落在區(qū)間中，但只有當(dāng)時(shí)才能說(shuō)是可積的。3 若是非負(fù)函數(shù)，則它的積分定義為：，這個(gè)積分值可能落在區(qū)間中，但只有當(dāng)時(shí)才能說(shuō)是可積的。4 中的一般元素稱為是積分確定的，如果和，即和的值；但只有當(dāng)時(shí)才能說(shuō)是可積的，這時(shí)將它的積分定義為：.5 從中取出一個(gè)非負(fù)函數(shù)列，則法圖引理的結(jié)論是不等式：；如果再添上條件和就得到列維定理的結(jié)論： .6 設(shè)和都是中的可測(cè)函數(shù)，滿足 答卷 共 6 頁(yè) 第 1 頁(yè) 于或兩個(gè)條件之一。如果再添上下例兩個(gè)條件之一：或 ，就可得到勒貝格控制收斂的結(jié)論： （1）； （2）.7 富比尼定理的表述過(guò)程比較長(zhǎng)，但它給出了定義在兩個(gè)可測(cè)

9、子集上的笛卡爾積上的可測(cè)函數(shù)的積分可化為累次積分 的條件卻非常簡(jiǎn)單。只要下列兩個(gè)簡(jiǎn)單條件之一成立就行了：（1） ；（2）。 兩個(gè)累次積分都存在且相等是在上可積的條件，但不是 條件。8 斯蒂爾切斯積分的定義是： 二 多項(xiàng)選擇題 下列各題中正確的結(jié)論有些可能不止一個(gè)，請(qǐng)把正確結(jié)論的編號(hào)填在左邊的方括號(hào)內(nèi)。（每小題3分，滿分15分） AD 1定義在上的實(shí)函數(shù)的正部和負(fù)部的取值情況有： （），與不同時(shí)取正值，但可能同時(shí)為零；（），與可能同時(shí)取正值，也可能同時(shí)為零； （）上任意兩個(gè)非負(fù)實(shí)函數(shù)都構(gòu)成上第三個(gè)實(shí)函數(shù)的正部與負(fù)部； （）上任意兩個(gè)不同時(shí)取正值的非負(fù)函數(shù)都構(gòu)成上第三個(gè)實(shí)函數(shù)的正部與負(fù)部。 答卷

10、共 6 頁(yè) 第 2 頁(yè) BD 2 設(shè)是中有限個(gè)互不相交的可測(cè)集的并集，函數(shù)在上的值恒等于常數(shù)（），則在上可積的充要條件有： （）； （）當(dāng)時(shí)； （）均為測(cè)度有限集； （）每個(gè)均為有限數(shù)。 C 3 中的非負(fù)函數(shù)都是積分確定的，這是因?yàn)椋?（）；（）和都是有限數(shù)； （）；（）ABCD 4 上的有界變差函數(shù)的任一個(gè)變差都不會(huì)超過(guò)全變差，而且當(dāng)時(shí)有.由這兩條結(jié)論可以推知： （）在上的振幅；（）有； （）有界變差函數(shù)一定可以表為兩個(gè)增函數(shù)的差； （）有界變差函數(shù)至多有可數(shù)個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)構(gòu)成零測(cè)度集。ABCD 5 關(guān)于上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，下列結(jié)論正確的有：（）用每個(gè)在上可積的函數(shù)都可構(gòu)造一個(gè)絕

11、對(duì)連續(xù)函數(shù) ，滿足于；（）每個(gè)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)都在上幾乎處處有可積的導(dǎo)函數(shù)，而且滿足牛氏公式 ； （）每個(gè)在上幾乎處處有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)都是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，同時(shí)滿足牛氏公式 ； （）在上幾乎處處有導(dǎo)數(shù)的有界函數(shù)不一定連續(xù)，但本身一定可積。而它的導(dǎo)函數(shù)就不一定可積了。即使可積也不一定滿足牛氏公式。三 設(shè)滿足：，閉集使. 試證明是可測(cè)集。 （8分）證明 依題意，對(duì)每個(gè)自然數(shù)都有閉集使，取 答卷 共 6 頁(yè) 第 3 頁(yè)，則是可測(cè)集，且，于是 .令取極限得，所以是可測(cè)集，于是 是可測(cè)集四 我們也可以這樣來(lái)定義可測(cè)函數(shù)：定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)稱為是可測(cè)的，如果它能表達(dá)成上一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限函數(shù). 現(xiàn)在請(qǐng)你用這個(gè)定義

12、證明：上兩個(gè)可測(cè)函數(shù)的乘積還是上可測(cè)函數(shù)。（7分）證明 因?yàn)榫蓽y(cè)，所以存在上簡(jiǎn)單函數(shù)列使 .于是有 .因?yàn)橐彩呛?jiǎn)單函數(shù)列，所以仍是上的可測(cè)函數(shù)。五 設(shè)是上的可積函數(shù)列，并且正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。試證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)幾乎處處收斂，它的和函數(shù)在上可積，而且滿足逐項(xiàng)積分公式：. （12分） 證明 令，由逐項(xiàng)積分定理得 ，即非負(fù)函數(shù)在上可積，于是于，即幾乎處處收斂，因此也幾乎處處收斂。 令，則是上的可測(cè)函數(shù)列，且于， 于.由勒貝格控制收斂定理得.六 設(shè)是上的可積函數(shù)，證明，存在上的連續(xù)函數(shù)使 . （12分）證明 因?yàn)樵谏峡煞e，所以和都在上可積，于是存在簡(jiǎn) 答卷 共 6 頁(yè) 第 4 頁(yè)單函數(shù)滿足： ，.令，則仍是上的簡(jiǎn)單函數(shù)，且 .令，取，由魯津定理，存在閉集以及，使得，當(dāng)時(shí)，且在整個(gè)上，于是 .故 .七 設(shè)是上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列, ,并且 .若有某個(gè)在上上可積。試證明也在上可積，并且 . （10分） 證明 令，則是單調(diào)遞增的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列