chapter可靠性數(shù)學基礎(chǔ)實用PPT課件

1、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 總體（母體）是研究對象的全體。 總體可以是尺寸、壽命、時間和強度等。 總體可以分為有限總體和無限總體。 個體是組成總體的每個基本單元抽樣和樣本 總體與個體總體與個體抽樣是隨機的抽取和組成樣本的過程。抽樣是隨機的抽取和組成樣本的過程。樣本是取自總體的部分個體的集合。樣本是取自總體的部分個體的集合。樣本所包含的個體數(shù)目，稱為樣本容量樣本所包含的個體數(shù)目，稱為樣本容量。 第1頁/共48頁 集中趨勢的是指分布密度的圖形集中趨向于哪集中趨勢的是指分布密度的圖形集中趨向于哪里，即分布的中心位置在哪里。里，即分布的中心位置在哪里。 隨機變量集中趨勢的尺度 均值均值 分布的平均值分布的平均

2、值 中位數(shù)中位數(shù) 分布密度圖的中間值分布密度圖的中間值 眾數(shù)眾數(shù) 頻率頻率( (或頻數(shù)或頻數(shù)) )為最大的隨機變量的位置為最大的隨機變量的位置 第2頁/共48頁第3頁/共48頁隨機變量分散性的尺度隨機變量分散性的尺度 分散性是指分布的離散程度分散性是指分布的離散程度 方差 2X標準差 X變異系數(shù) XCXXXC變異系數(shù)的值越小，變量的分散性越小 極差 RmaxminRxx第4頁/共48頁樣本經(jīng)驗分布函數(shù)定義：定義：設(shè)總體的一組樣本觀測值，將其按從小到大設(shè)總體的一組樣本觀測值，將其按從小到大排列排列12.nttt經(jīng)驗分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的近似。經(jīng)驗分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的近似。下標下標i表示失效

3、數(shù)據(jù)的序號。表示失效數(shù)據(jù)的序號。110( )/1iiinttF ti nttttt 對一批觀測數(shù)據(jù)，若樣本量較大，對一批觀測數(shù)據(jù)，若樣本量較大，20n 第5頁/共48頁樣本量較大時，也可以根據(jù)可靠度定義，直接樣本量較大時，也可以根據(jù)可靠度定義，直接計算其經(jīng)驗分布計算其經(jīng)驗分布經(jīng)驗分布函數(shù)的計算經(jīng)驗分布函數(shù)的計算( )( )nr tF tnt時刻失效樣本數(shù)參加試驗的產(chǎn)品數(shù)第6頁/共48頁經(jīng)驗分布函數(shù)的計算經(jīng)驗分布函數(shù)的計算樣本量較小時樣本量較小時( )0.5 /niF tinHansen公式公式( )/1niF tin數(shù)學期望公式數(shù)學期望公式 ( )0.3 /0.4niF tin中位秩公式中位秩

4、公式 median rank第7頁/共48頁本章內(nèi)容數(shù)理統(tǒng)計基本概念常用的概率分布隨機變量函數(shù)均值與方差的近似計算 第8頁/共48頁概率分布的作用制定合理的維修和保修制度計算產(chǎn)品的可靠性參數(shù)計算產(chǎn)品的壽命特征預測產(chǎn)品的故障規(guī)律第9頁/共48頁離散型隨機變量的常用分布離散型隨機變量的常用分布（0-1）分布）分布Beroulli分布（二項分布）分布（二項分布） 部分冗余部分冗余Poisson分布分布幾何分布與負二項分布幾何分布與負二項分布超幾何分布超幾何分布第10頁/共48頁分布類型分布類型可靠性工程中的應用可靠性工程中的應用（0-1）分布分布描述具有兩種結(jié)果的隨機試驗描述具有兩種結(jié)果的隨機試驗二

5、項分布二項分布部分冗余時，計算系統(tǒng)成功的概率部分冗余時，計算系統(tǒng)成功的概率Poisson分布分布描述產(chǎn)品在某個時間區(qū)間內(nèi)受到外界描述產(chǎn)品在某個時間區(qū)間內(nèi)受到外界“沖擊沖擊”的次數(shù)。的次數(shù)。幾何分布和二幾何分布和二項分布項分布描述試驗中失敗次數(shù)的分布描述試驗中失敗次數(shù)的分布超幾何分布超幾何分布適用于較小規(guī)模的抽樣問題適用于較小規(guī)模的抽樣問題離散型隨機變量的分布類型及其應用離散型隨機變量的分布類型及其應用第11頁/共48頁連續(xù)型隨機變量的常用分布連續(xù)型隨機變量的常用分布正態(tài)分布正態(tài)分布截尾正態(tài)分布截尾正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布G G分布分布指數(shù)分布指數(shù)分布威布爾分布威布爾分布極值分布極值分布

6、第12頁/共48頁1. 指數(shù)分布指數(shù)分布 Exponential Distribution( )tR te( )1tF te ( )( )tF tf tedt1( )E t21( )D t第13頁/共48頁指數(shù)分布在可靠性計算中的應用指數(shù)分布在可靠性計算中的應用( )( )( )ttf tetR te故障率故障率11( )lnt RR可靠壽命可靠壽命11(0.5)ln0.5t中位壽命中位壽命描述電子設(shè)備壽命分布規(guī)律；描述電子設(shè)備壽命分布規(guī)律；描述大型復雜系統(tǒng)故障時間間隔的分布規(guī)律。描述大型復雜系統(tǒng)故障時間間隔的分布規(guī)律。第14頁/共48頁例例 題題求該設(shè)備使用100小時和1000小時后的可靠度

7、。 已知某設(shè)備的失效率已知某設(shè)備的失效率 415 10 h ( )tR te工作100h后的可靠度為 45 101000.05(100)0.95Ree 工作1000h后的可靠度為45 1010000.005(1000)0.61Ree 第15頁/共48頁2. 正態(tài)分布正態(tài)分布 Normal Distribution (Gaussian distribution )22()21( ) (- + )2tf tet22()21( )d (-)-2ttF tett 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)累積分布函數(shù)累積分布函數(shù)描述由于磨損、腐蝕引起失描述由于磨損、腐蝕引起失效的產(chǎn)品壽命；效的產(chǎn)品壽命；對制造的產(chǎn)品及其

8、性能進行對制造的產(chǎn)品及其性能進行分析和質(zhì)量控制。分析和質(zhì)量控制。第16頁/共48頁tt正態(tài)分布的概率密度曲線第17頁/共48頁標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布2( )21( ) (- + )2zzez0,1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布。的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布。221( ) d - +-2zzzezz標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)查正態(tài)分布表。查正態(tài)分布表。第18頁/共48頁例例 題題(1.96)P Z (1.96)P Z (1.96)P Z ( 1.961.96)PZ已知已知(0,1)ZN第19頁/共48頁2( ,)(0,1)

9、NN 非標準正態(tài)分布如何變?yōu)闃藴收龖B(tài)分布？非標準正態(tài)分布如何變?yōu)闃藴收龖B(tài)分布？tz令221( ) d()=( ) 2-ztzF tez=z( )1-( ) R tz第20頁/共48頁例例 題題有100個某種材料的試件進行抗拉強度試驗，測得試件材料的強度極限的均值與標準差分別為 600MPa50MPa求：（求：（1）試件材料的強度小于）試件材料的強度小于600MPa的概率；的概率； （2）強度在（）強度在（550450）MPa區(qū)間內(nèi)的概率。區(qū)間內(nèi)的概率。 600600050 xz(600)( )(0)0.5P xF z解：解：（1 1）第21頁/共48頁（2）若強度落在（550450）MPa區(qū)間

10、內(nèi)550600450600(450550)5050 130.15870.00130.1574Px第22頁/共48頁22ln)11( )exp (0)22yyyxf xxt 22ln)111( )expd (0)022yyyxxF xxxx 如果隨機變量X 的自然對數(shù)Y=ln(X)服從正態(tài)分布，則X服從對數(shù)正態(tài)分布 ，概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為：對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布 Log- -Normal Distribution隨機變量Y的均值和標準差第23頁/共48頁2lnln1( )expdZ=22yyyyxxzF x累積分布概率的計算累積分布概率的計算對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布 Log- -N

11、ormal Distribution利用標準正態(tài)分布求解21( )exp()2xyyE x222var( )exp1xyyx均值和標準差均值和標準差第24頁/共48頁21ln2yxy222ln1xyxlnYX的均值和標準差的均值和標準差用對數(shù)變換可將較大的數(shù)縮小為用對數(shù)變換可將較大的數(shù)縮小為較小的數(shù)，在機械零、部件的疲較小的數(shù)，在機械零、部件的疲勞壽命、疲勞強度、耐磨壽命以勞壽命、疲勞強度、耐磨壽命以及描述維修時間的分布等研究中，及描述維修時間的分布等研究中，常應用對數(shù)正態(tài)分布。常應用對數(shù)正態(tài)分布。對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布 Log- -Normal Distribution第25頁/共48頁例

12、題例題某工程機械的正常運行時間（兩次失效之間的時間）服從對數(shù)正某工程機械的正常運行時間（兩次失效之間的時間）服從對數(shù)正態(tài)分布，其均值為態(tài)分布，其均值為6個月，標準差為個月，標準差為1.5個月。若要求在任何時間個月。若要求在任何時間內(nèi)一臺設(shè)備能處于運行狀態(tài)的概率至少為內(nèi)一臺設(shè)備能處于運行狀態(tài)的概率至少為0.90，試計算每臺設(shè)備，試計算每臺設(shè)備的維修周期。的維修周期。 6x1.5x222221.5ln1ln10.06066xyx2211lnln60.06061.761422yxy解：解：第26頁/共48頁要求設(shè)備處于運行狀態(tài)的概率為要求設(shè)備處于運行狀態(tài)的概率為0.90，則不可靠度為，則不可靠度為

13、()1 0.900.10()ppF xz ln1.282pypyxz 查正態(tài)分布表，得 1.282 0.246 1.76144.24pyyZpxee則維修周期為 （月）（月）第27頁/共48頁Waloddi Weibull1887-1979A statistical distribution function of wide applicability. Journal of Applied Mechanics, 1951,18(3):293297 3. 威布爾分布威布爾分布 Weibull Distribution第28頁/共48頁1( )expttf tt若隨機變量若隨機變量T服從三參數(shù)威

14、布爾分布，則其概率密度函數(shù)：服從三參數(shù)威布爾分布，則其概率密度函數(shù)：累積分布函數(shù)為 ( )()1exptF tP Ttt 其中：其中：000形狀參數(shù)形狀參數(shù)尺寸參數(shù)尺寸參數(shù)位置參數(shù)位置參數(shù)3. 威布爾分布威布爾分布 Weibull Distribution第29頁/共48頁兩參數(shù)威布爾分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別：兩參數(shù)威布爾分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別： 01( ) ttf te( )1exptF t 時，三參數(shù)威布爾分布轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓞?shù)威布爾分布。時，三參數(shù)威布爾分布轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓞?shù)威布爾分布。3. 威布爾分布威布爾分布 Weibull Distribution第30頁/共48頁威

15、布爾分布變量的數(shù)學期望和方差分別為：威布爾分布變量的數(shù)學期望和方差分別為： 2221var( )11TGG1( )1E T G tG式中：式中：為伽馬函數(shù)為伽馬函數(shù)第31頁/共48頁01取值對概率密度曲線形狀的影響概率密度函數(shù)曲線概率密度函數(shù)曲線第32頁/共48頁02取值對概率密度曲線形狀的影響概率密度函數(shù)曲線概率密度函數(shù)曲線第33頁/共48頁12取值對概率密度曲線形狀的影響概率密度函數(shù)曲線概率密度函數(shù)曲線第34頁/共48頁描述疲勞壽命的威布爾分布模型描述疲勞壽命的威布爾分布模型 00()1 expbaNNF NNN 疲勞壽命的分布函數(shù) 100000()expbbaaaNNNNbf NNNNN

16、NN0NN位置參數(shù)，即最小壽命參數(shù)；位置參數(shù)，即最小壽命參數(shù)；特征壽命參數(shù)；特征壽命參數(shù)；形狀參數(shù)。形狀參數(shù)。 0NaNb疲勞壽命的概率密度函數(shù) 第35頁/共48頁本章內(nèi)容 數(shù)理統(tǒng)計基本概念 常用的概率分布 隨機變量函數(shù)均值與方差的近似計算 第36頁/共48頁隨機變量函數(shù)均值與方差的近似計算 工程中有許多隨機事件，大多需要用兩個、三個工程中有許多隨機事件，大多需要用兩個、三個或多個隨機變量的函數(shù)來描述，當已知其中每一個隨或多個隨機變量的函數(shù)來描述，當已知其中每一個隨機變量的均值及標準差，可以通過一些方法來估計和機變量的均值及標準差，可以通過一些方法來估計和計算隨機變量函數(shù)的均值和標準差。計算隨

17、機變量函數(shù)的均值和標準差。 三種方法：三種方法： 基本函數(shù)法泰勒級數(shù)法變異系數(shù)法第37頁/共48頁基本函數(shù)法第38頁/共48頁泰勒級數(shù)法1( )()() var( )2xxE yffx2var( )( )var( )xyfx一維隨機變量函數(shù)的近似解多維隨機變量函數(shù)的近似解21221()( )(,.,)var()iinniiixfE yfxx X21( )var( )var( )iiniiixfyxxX第39頁/共48頁例 題 已知某一銷軸半徑r的均值和標準差分別為10mmr0.5mmr求此銷軸截面積求此銷軸截面積A的均值和標準差。的均值和標準差。2Ar2222()3.14 (100.5 )31

18、4.8mmArr 224 1/2(42)231.4mmArrrrr 解：解：第40頁/共48頁2Ar2( )Af rr( )2frr( )2fr1( )()() var( )2ArrE Affr2221()22Arrrrf 222100.5314.9mm第41頁/共48頁2( )Af rr( )2frr( )2fr2222var( )()var( )2985.96mmrrrAfr2985.96=31.4mmA2Arr 第42頁/共48頁例 題一拉桿受外力作用，若外力的均值和一拉桿受外力作用，若外力的均值和標準差分別為標準差分別為221000mm ,80mmAA20000NP ?SS2000NP桿橫截面積的均值和標準差分別為桿橫截面積的均值和標準差分別為求拉應力的均值和標準差。求拉應力的均值和標準差。第43頁/共48頁解：解：( ,)PSf P AA220000( )20N/mm20MPa1000PE SSA22var( )var( )var( )P PP PA AA AS