桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 · 剛度條件

1、1.1.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形是用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形是用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 來(lái)度量的來(lái)度量的 3-5 桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度條件剛度條件(Torsional deformation of circular bars & stiffness condition)一、扭轉(zhuǎn)變形一、扭轉(zhuǎn)變形 (Torsional deformation)其中其中 d 代表相距為代表相距為 dx 的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角.長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l 的一段桿兩端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的一段桿兩端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 可按下式計(jì)算可按下式計(jì)算pddGITx xGITllddp 2.2.單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)

2、角(Angle of twist per unit length) 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角GIp 稱作抗扭剛度稱作抗扭剛度 pTlGI () prad mTlGI 軸的扭轉(zhuǎn)剛度校核是計(jì)算的軸的工作時(shí)扭轉(zhuǎn)變形軸的扭轉(zhuǎn)剛度校核是計(jì)算的軸的工作時(shí)扭轉(zhuǎn)變形量，是用每米軸長(zhǎng)的扭角度量的。軸的扭轉(zhuǎn)變形要量，是用每米軸長(zhǎng)的扭角度量的。軸的扭轉(zhuǎn)變形要影響機(jī)器的性能和工作精度，如內(nèi)燃機(jī)凸輪軸的扭影響機(jī)器的性能和工作精度，如內(nèi)燃機(jī)凸輪軸的扭轉(zhuǎn)角過(guò)大，會(huì)影響氣門的正確啟閉時(shí)間；龍門式起轉(zhuǎn)角過(guò)大，會(huì)影響氣門的正確啟閉時(shí)間；龍門式起重機(jī)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)角會(huì)影響驅(qū)動(dòng)輪的同步重機(jī)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)角會(huì)影響驅(qū)動(dòng)輪的同步性；對(duì)有發(fā)

3、生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)危險(xiǎn)的軸以及操縱系統(tǒng)中的性；對(duì)有發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)危險(xiǎn)的軸以及操縱系統(tǒng)中的軸，都需要有較大的扭轉(zhuǎn)剛度。軸，都需要有較大的扭轉(zhuǎn)剛度。3.3.剛度條件剛度條件（Stiffness condition)max ()maxmaxprad mTGI 稱作許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角稱作許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角(Allowable angle of twist per unit length) 對(duì)于一般傳動(dòng)軸，可取對(duì)于一般傳動(dòng)軸，可取 0.50.5 1 1 o o/m/m ；對(duì)于；對(duì)于精密傳動(dòng)軸，可取精密傳動(dòng)軸，可取 0.250.25 0.50.5 o o/m/m；對(duì)于精度要；對(duì)于精度要求不高的軸，求不高的軸， 可大

4、于可大于1 1 o o/m/m 。例題例題5 圖示等直桿圖示等直桿, 已知直徑已知直徑d = 40mm, a = 400mm, 材料的剪切材料的剪切彈性模量彈性模量G = 80GPa，DB =1. 試求：試求：（1） AD桿的最大切應(yīng)力桿的最大切應(yīng)力;（2）扭轉(zhuǎn)角）扭轉(zhuǎn)角 CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：畫扭矩圖解：畫扭矩圖計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩Me DB= CB+ DC =1Tmax= 3Me1180)2(pepe GIaMGIaM（1）AD桿的最大切應(yīng)力桿的最大切應(yīng)力MPa7 .69tmaxmax WT mkN292e M（2）扭轉(zhuǎn)角）扭轉(zhuǎn)角 CA33. 218

5、0)23(pepe GIaMGIaMCBBACA aa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例題例題6 某汽車的主傳動(dòng)軸某汽車的主傳動(dòng)軸 是用是用 40 號(hào)鋼的電焊鋼管制成號(hào)鋼的電焊鋼管制成, 鋼管鋼管外徑外徑 D = 76mm, 壁厚壁厚d d 2.52.5mm, 軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸傳遞的轉(zhuǎn)矩 Me=1.98kNm,材料的許用切應(yīng)力材料的許用切應(yīng)力 = 100MPa, 切變模量為切變模量為 G = 80GPa,軸的許可扭角軸的許可扭角 = 2/m . 試校核軸的強(qiáng)度和剛度試校核軸的強(qiáng)度和剛度.Ddd dMeMe解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi)、外徑之比軸的內(nèi)

6、、外徑之比由強(qiáng)度條件由強(qiáng)度條件 由剛度條件由剛度條件.20 934d d dDDD34ptmm1006. 22/ DIWMPa1 .96tmaxmax WT().4454p17 83 10 mm32DI ./ maxmaxp1801 81mTGImkN98. 1e MTDdd dMeMe將空心軸改為同一材料的實(shí)心軸將空心軸改為同一材料的實(shí)心軸, 仍使仍使 max= 96.1MPad = 47.2mm實(shí)心軸的直徑為實(shí)心軸的直徑為兩軸材料、長(zhǎng)度均相同兩軸材料、長(zhǎng)度均相同, 故兩軸重量比等于兩軸的橫截面積比故兩軸重量比等于兩軸的橫截面積比，在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕在最大切應(yīng)力相等

7、的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕, 即節(jié)省材料即節(jié)省材料.MPa1 .9616/3maxmax dT 其截面面積為其截面面積為22mm17494 dA實(shí)實(shí)空心軸的截面面積為空心軸的截面面積為222mm5774)7176( 空空A329. 0174957712 AA例題例題7 兩端固定的圓截面桿兩端固定的圓截面桿AB, 在截面在截面C 處受一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶矩處受一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶矩 Me 的作用的作用, 如圖所示如圖所示.已知桿的抗扭剛度已知桿的抗扭剛度 GIp, 試求桿兩端的支反試求桿兩端的支反力偶矩力偶矩.CMeabABl解解:去掉約束去掉約束,代之以約束反力偶矩代之以約束反力偶矩 這是一次超靜定問(wèn)題這是

8、一次超靜定問(wèn)題,須建立一個(gè)補(bǔ)充方程須建立一個(gè)補(bǔ)充方程 ACBMeMeAMeB C 截面相對(duì)于兩固定端截面相對(duì)于兩固定端A和和B的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相等的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相等. .桿的變形相容條件是桿的變形相容條件是00eee MMMMBAxCMeabABlCMeabABl（1 1）變形幾何方程）變形幾何方程（2 2）由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程）由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程解得解得BCAC 1ppACT aM aGIGI e eA APeP2GIbMGIbTBBC baMMABee 0eee MMMBAlMaMlMbMBA/ee ACBMeMeAMeBAC= BC例題例題8 圖圖 示一長(zhǎng)為示一長(zhǎng)為 l 的組合桿的組合桿

9、, 由不同材料的實(shí)心圓截面桿和空心圓截面桿組由不同材料的實(shí)心圓截面桿和空心圓截面桿組成成, 內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作, 其抗扭剛度其抗扭剛度 GaIpa 、GbIpb . 當(dāng)此組當(dāng)此組合桿的兩端各自固定在剛性板上合桿的兩端各自固定在剛性板上, 并在剛性板處受一對(duì)矩為并在剛性板處受一對(duì)矩為 Me 的扭轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)力偶的作用試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩力偶的作用試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩.MeMelAB解：列平衡方程解：列平衡方程這是一次超靜定問(wèn)題這是一次超靜定問(wèn)題. 變形相容條件是內(nèi)、外桿變形相容條件是內(nèi)、外桿的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相同的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相同.變形幾何方程是變形幾何方程是e0 xabMMMMBA 物理關(guān)系是物理關(guān)系是ppabABaabbM lM lG IG I MeMeMelABMaMb代入變形幾何方程代入變形幾何方程,得補(bǔ)充方程得補(bǔ)充方程ppaaabbbG IMMG IpppaaaaabbG IMG IG IpppbbbaabbG IMG IG IMbMaMeBA MeMelABSUMMARY Theorem of com