第二節(jié)函數(shù)與極限

1、第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 極限的概念是由與求某些實際問題的精確解答而抽象出來的數(shù)學(xué)概念。例如：我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀）利用圓的內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術(shù)，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用。123123nnaaaaaaaa -六 邊 形 面 積-十 二 邊 形 面 積-二 十 四 邊 形 面 積 -圓 的 面 積， .， .a(n)列列數(shù)數(shù) 播放播放一一 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 數(shù)列數(shù)列 按照某一法則依次排列的一串數(shù)，叫數(shù)列，簡記為123:,.,.nnxx xxx例例1 111 1 11 :1,.,.20(3 4) nnn ( 1)3 2 5 4( 1):,.,.2 3 4

2、51()nnnnnnn 0,2 :2(nnn 2，4，8，16，.， ,. )( 1) :1,1, 1,.,( 1) ,.nn不定幾何意義幾何意義nx是數(shù)軸上的一串點列x01x2x3x4x5x特殊函數(shù)特殊函數(shù)xfn n= (n),nn= (n),nn?nn對于數(shù)列研究當n時，a（常數(shù)）xx ( 1)nnxn n考察數(shù)列=的變化情況 例2例2 ( 1)nxn n當n時（n無限增大），=1+1（無限接近1） 直觀上看直觀上看( 1)n當n時，(距離)|-1|=|nxn 10n=0,()n當n足夠大時，|-1|0，當nn時，|-1|nx 10.01100比如（1）取 ，10.01,n要使|-1|=x

3、n100n 只要.n101, 102, 103,n即從第101項起，均滿足|-1|n時，|-1|0， （正整數(shù)），當nn時，恒有 |-a|n時，|-a|a- n時，|( 1)lim1nnnn 即1( 1)1.nnn-+觀察數(shù)列當時的變化趨勢播放播放1limsin04nnn證明 例4 例4 111|sin0| |sin|44證: nnnnn1110,sin0|,4nnnn 要使|只要即111sin0|4nnn取n=，則當nn時，|1limsin04nnn即 lim0nnq設(shè)0|q|0(設(shè) 1) ,要使0lg只要 nlg|q|lg|q|lim0nnqnlg取n=max,1，則當nn時，|q -0|

4、 即 lg|q|12lim0lim023nnnnnn如： （ ）， （1）( 1)221.lim0,2.lim1 33(1) 證明 證明nnnnnnn：練習練習二二 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì) 定理定理1 1 （極限的唯一性）如果數(shù)列 收斂，則極限值唯一。 nxlim,lim,nnnnxaxb（反證法） 假設(shè)且（an時|-a|0,=|,0.22nnaaxaxa故 0lim,0() 已知,如果 n0,當nn時，（或0） 且則0nnnnxxxxxaaa推論 推論 證：證：反證法xxxxknnnn 中任意取無限多項，并保持這些項在原數(shù)列中的次序， 由此得到的數(shù)列稱為的子數(shù)列，記為.子數(shù)列 子數(shù)列 1234567:,.,.nnxxxxxxxxx:knx1,nx2,nx3,.,nx,.knxkxxkxnnkkkknnn是中第 項，是中第 項。顯然注: 注: xxxknnn斂數(shù)數(shù)關(guān) 如果收斂于a,則 的任一子數(shù)列也收斂，且極限值為a.定理4 定理4 （收列與子列的系）lim0,|，當時，nnnxannxa 證: 證: .knknknnnk取，則當k 時，n