平面體系的幾何組成分析

1、1 出版社 科技分社 2 出版社 科技分社 土木工程指導性專業(yè)規(guī)范系列教材本章導讀本章導讀 基本要求基本要求 掌握幾何不變體系、幾何可變體系、剛片、自由度、約束、必要約束與多余約束、實鉸與虛鉸的概念；了解平面體系的計算自由度及其計算方法；掌握平面幾何不變體系的基本組成規(guī)則及其運用；了解體系的幾何組成與靜力特性之間的關系。重點重點 平面幾何不變體系的基本組成規(guī)則及其運用；靜定結構與超靜定結構的概念。難點難點 靈活運用三個基本組成規(guī)則分析平面桿件體系的幾何組成性質(zhì)。3 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學pfq(a) 幾何不變體系(b) 幾何可變體系pfq2.1 幾何組成分析中的一些基本

2、概念幾何組成分析中的一些基本概念 如果忽略材料變形所引起的位移，在承受給定的如果忽略材料變形所引起的位移，在承受給定的任意外因（如荷載、支座移動、溫度變化等）作用任意外因（如荷載、支座移動、溫度變化等）作用后，有唯一確定的幾何形狀和位置的體系，稱為后，有唯一確定的幾何形狀和位置的體系，稱為幾幾何不變體系。何不變體系。 反之，其幾何形狀和位置無法唯一確定的體系，反之，其幾何形狀和位置無法唯一確定的體系，稱為稱為幾何可變體系幾何可變體系。 圖2.1 幾何組成分析4 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學 造成體系幾何可變的原因可能是內(nèi)部構造不健全或者造成體系幾何可變的原因可能是內(nèi)部構造不健

3、全或者是外部約束不恰當是外部約束不恰當 pfabcdabcdpfa1b1(a) 原幾何不變體系(b) 內(nèi)部構造不健全ababfpfpc1ac1b1(a) 原幾何不變體系(b) 外部約束布置不當圖圖2.2 2.2 內(nèi)部構造不健全造成幾何可變內(nèi)部構造不健全造成幾何可變圖圖2.3 外部約束布置不當造成幾何可變外部約束布置不當造成幾何可變5 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學 2.1.2 剛片剛片 幾何組成分析時，桿件體系中的所有構件因忽幾何組成分析時，桿件體系中的所有構件因忽略材料變形，而被視作剛體。平面桿件體系中，可略材料變形，而被視作剛體。平面桿件體系中，可以被視作剛體的任一桿件（或

4、幾何不變部分），都以被視作剛體的任一桿件（或幾何不變部分），都可稱之為可稱之為剛片剛片。 2.1.3 自由度自由度 體系運動時可以獨立改變的幾何坐標的數(shù)目，體系運動時可以獨立改變的幾何坐標的數(shù)目，稱為該體系的稱為該體系的自由度自由度。平面上的一個點的自由度為。平面上的一個點的自由度為2（或稱作有（或稱作有2個自由度），如圖個自由度），如圖2.4(a)所示。平面所示。平面上一個剛片的自由度為上一個剛片的自由度為3，如圖，如圖2.4(b)所示所示 6 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材土木工程專業(yè)系列教材結構力學結構力學oxyyx1aa(a) 平面上一點自由度為2y(b) 平面上一剛片自由度為

5、3oaxxyb1ab1圖圖2.4 平面上一點與一剛片的自由度平面上一點與一剛片的自由度很明顯，體系的自由度必然大于或等于很明顯，體系的自由度必然大于或等于0 0，且如果體系的自由度為，且如果體系的自由度為0 0，則體系是幾何不變體系；若大于零，則體系是幾何可變體系。則體系是幾何不變體系；若大于零，則體系是幾何可變體系。7 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學 2.1.4 約束約束 體系中減少自由度的裝置稱為體系中減少自由度的裝置稱為約束約束（或（或聯(lián)系聯(lián)系）。按約束是）。按約束是否直接與地基相連，可將其分為否直接與地基相連，可將其分為外約束外約束和和內(nèi)約束內(nèi)約束。 1）內(nèi)約束）內(nèi)約束

6、ab融合為一大剛片增加了內(nèi)約束a左右aabecd(a) 鏈桿(b) 單鉸(c) 復鉸(e) 封閉框格（單剛結點）(d) 單剛結點(f) 復剛結點融合為一大剛片aa圖圖2.5 內(nèi)約束的約束效果內(nèi)約束的約束效果8 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學2）外約束）外約束 支桿、支桿、 固定鉸支座、固定鉸支座、 定向支座、定向支座、 固定支座。固定支座。 (地基)視 作(a) 支桿（活動鉸支座）(b) 固定鉸支座(c) 定向支座(d) 固定支座圖圖2.6 外約束的約束效果外約束的約束效果9 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學（1 1）支桿（活動鉸支座）支桿（活動鉸支座）將支桿所連

7、接的地基和剛片分別視作前述分析鏈桿將支桿所連接的地基和剛片分別視作前述分析鏈桿約束效果時的剛片約束效果時的剛片和和，則容易類比得到一根支，則容易類比得到一根支桿相當于一個約束。桿相當于一個約束。（2 2）固定鉸支座）固定鉸支座固定鉸支座由兩根不共線支桿相交構成，因此相當固定鉸支座由兩根不共線支桿相交構成，因此相當于兩個約束。于兩個約束。（3 3）定向支座）定向支座定向支座由兩根不共線的平行支桿構成，因此相當定向支座由兩根不共線的平行支桿構成，因此相當于兩個約束。于兩個約束。（4 4）固定支座）固定支座固定支座可以視作定向支座再疊加與該定向支座支固定支座可以視作定向支座再疊加與該定向支座支承方向

8、不同的一根支桿構成，因此相當于三個約束。承方向不同的一根支桿構成，因此相當于三個約束。 10 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學圖圖2.7 連接多剛片的外約束的處理方法示例連接多剛片的外約束的處理方法示例a自由度為4(a) 連接多剛片的外約束a自由度為5(b) 先將三剛片在a處連接自由度為4(c) 再在處用一根aa（復鉸連支桿）（復鉸）支桿與地基相連11 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學2.1.5 實鉸和虛鉸實鉸和虛鉸a(參照剛片)1(a) 實鉸的相對位置固定1oo1(b) 虛鉸的相對位置變化虛鉸(參照剛片)圖圖2.8 實鉸和虛鉸示例實鉸和虛鉸示例12 出版社 科技分

9、社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學aa(a) 兩剛片用鉸結在一起的兩鏈桿相連(b) 兩剛片用鉸直接相連圖圖2.9實鉸的常見情形實鉸的常見情形13 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學abcdabdcabcd, , , (a) 有限遠虛鉸情形1(b) 有限遠虛鉸情形2(c) 無窮遠虛鉸圖圖2.10 虛鉸的常見情形虛鉸的常見情形14 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學abbacab(a)(b)(c)圖圖2.11 必要約束和多余約束必要約束和多余約束2.1.6 必要約束和多余約束必要約束和多余約束如果在體系中增加或者去掉某個約束，會導致體系如果在體系中增加或者去掉某個約束，會導致

10、體系的自由度數(shù)目發(fā)生改變，則此約束為的自由度數(shù)目發(fā)生改變，則此約束為必要約束必要約束。如。如果在體系中增加或者去掉某個約束，并未改變體系果在體系中增加或者去掉某個約束，并未改變體系的自由度數(shù)目，則此約束為的自由度數(shù)目，則此約束為多余約束多余約束。15 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學2.2.1 平面體系的實際自由度平面體系的實際自由度s和計算自由度和計算自由度w2.2.2 平面體系計算自由度平面體系計算自由度w的求法的求法注意以下幾點：注意以下幾點：因因w的計算以地基為參照系，因此地基剛片不計入的計算以地基為參照系，因此地基剛片不計入m中；中；體系中的復剛結點或復鉸，應先折算為相

11、當個數(shù)的單剛結體系中的復剛結點或復鉸，應先折算為相當個數(shù)的單剛結點或者單鉸；點或者單鉸；組合結點可以按先剛結、再鉸結的處理方法，等效為對應組合結點可以按先剛結、再鉸結的處理方法，等效為對應個數(shù)的單剛結點和單鉸后，分別計入個數(shù)的單剛結點和單鉸后，分別計入g與與h中；中；體系中的固定鉸支座、定向支座和固定支座，按上節(jié)所述體系中的固定鉸支座、定向支座和固定支座，按上節(jié)所述方法等效為相應個數(shù)的支桿后，計入方法等效為相應個數(shù)的支桿后，計入r中。中。3(32)wmghr16 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學【例例2.1】試求圖】試求圖2.12所示體系的計算自由度。所示體系的計算自由度。m1m

12、2m3m45mm6m97m8mh11g2hg2g1h2h11h2r1r【解】在圖【解】在圖2.12中，用中，用m1m9代表組成該體系的各剛片，代表組成該體系的各剛片，因此剛片總數(shù)因此剛片總數(shù)m=9。在各結。在各結點處，標明其等效的單剛結點處，標明其等效的單剛結點（用點（用g表示）或單鉸（用表示）或單鉸（用h表示）的個數(shù)，用表示）的個數(shù)，用g或或h前的前的數(shù)字表示，因此數(shù)字表示，因此g=4，h=7。在各支座處，標明其等效的在各支座處，標明其等效的支桿個數(shù)，用支桿個數(shù)，用r前的數(shù)字表示，前的數(shù)字表示，因此因此r=3。最終該體系的計算。最終該體系的計算自由度由式（自由度由式（2-4）計算為）計算為3

13、 9(34273)2w 圖2.12 例題2.1圖17 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學常見的僅由全鉸結點、鏈桿和支桿組成的體系，稱常見的僅由全鉸結點、鏈桿和支桿組成的體系，稱為為鉸結鏈桿體系鉸結鏈桿體系。這類特定體系的計算自由度也可采用。這類特定體系的計算自由度也可采用以下更為簡捷的公式計算以下更為簡捷的公式計算2()wjbr18 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學【例例2.2】試求圖】試求圖2.13所示鉸結鏈桿體系的計算自由度。所示鉸結鏈桿體系的計算自由度。r21rj1j2j3j45j6jj78jb11b1bb11bb11b1bb11bb1b11b【解】在圖【解】在

14、圖2.13中，用中，用j1j8表表示體系中的各個全鉸，因此示體系中的各個全鉸，因此j=8。在鏈桿和支桿旁，分別。在鏈桿和支桿旁，分別用數(shù)字與用數(shù)字與b或或r的組合來表示的組合來表示鏈桿和支桿的個數(shù)，因此鏈桿和支桿的個數(shù)，因此b=13、r=3。最終該體系的計。最終該體系的計算自由度為算自由度為2 8(133)0w 圖2.13 例題2.2圖19 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學2.2.3 計算自由度計算自由度w與幾何組成性質(zhì)之間的關系與幾何組成性質(zhì)之間的關系0(a) w0(b) w圖圖2.14 w0的體系的幾何組成性質(zhì)的體系的幾何組成性質(zhì)w=0且?guī)缀尾蛔?b) w=0且?guī)缀慰勺?a)

15、圖圖2.15 w=0的體系的幾何組成性質(zhì)的體系的幾何組成性質(zhì)(b) 二元體規(guī)則(c) 兩剛片規(guī)則表述一(a) 總規(guī)則(d) 兩剛片規(guī)則表述一(e) 三剛片規(guī)則ababcbacabccabc 圖圖2.16 w0，則體系必為，則體系必為幾何常變體系。若幾何常變體系。若w0，還需按以下步驟進行分析，以確定體，還需按以下步驟進行分析，以確定體系是否幾何不變。本步驟一般可略去。系是否幾何不變。本步驟一般可略去。第第2步：簡化體系。常采取以下簡化方法：若整體中有二步：簡化體系。常采取以下簡化方法：若整體中有二元體，則可依次去除；檢查體系是否簡支支承；將只通過兩個元體，則可依次去除；檢查體系是否簡支支承；將

16、只通過兩個鉸與體系其余部分相連的剛片等效為鏈桿。鉸與體系其余部分相連的剛片等效為鏈桿。第第3步：選取剛片。從簡化后的體系內(nèi)部選取合理的剛片，步：選取剛片。從簡化后的體系內(nèi)部選取合理的剛片，這些剛片應符合幾何組成規(guī)則的要求。這些剛片應符合幾何組成規(guī)則的要求。第第4步：應用組成規(guī)則判定簡化后的體系的幾何組成性質(zhì)，步：應用組成規(guī)則判定簡化后的體系的幾何組成性質(zhì)，其結果也就是原體系的幾何組成性質(zhì)。若本步驟出現(xiàn)無法應用其結果也就是原體系的幾何組成性質(zhì)。若本步驟出現(xiàn)無法應用基本組成規(guī)則的情況，則說明第基本組成規(guī)則的情況，則說明第3步中選取的剛片不合理，應步中選取的剛片不合理，應重做第重做第3和第和第4步。

17、步。第第5步：下結論。結論應明確為下列四種結果之一：步：下結論。結論應明確為下列四種結果之一：43 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學n無多余約束的幾何不變體系幾何不變體系有 個多余約束的幾何不變體系幾何常變體系幾何可變體系幾何瞬變體系44 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學2.5 體系的幾何組成與靜力特性的關系體系的幾何組成與靜力特性的關系2.5.1 無多余約束的幾何不變體系（靜定結構）無多余約束的幾何不變體系（靜定結構）靜定結構從幾何特征上定義為無多余約束的幾何不變體靜定結構從幾何特征上定義為無多余約束的幾何不變體系。正因為沒有多余約束，導致靜定結構在靜力特性上表現(xiàn)

18、系。正因為沒有多余約束，導致靜定結構在靜力特性上表現(xiàn)為：全部反力和內(nèi)力均可由靜力平衡條件唯一確定。為：全部反力和內(nèi)力均可由靜力平衡條件唯一確定。2.5.2 有多余約束的幾何不變體系（超靜定結構）有多余約束的幾何不變體系（超靜定結構）超靜定結構從幾何特征上定義為有多余約束的幾何不變超靜定結構從幾何特征上定義為有多余約束的幾何不變體系。由于存在多余約束，導致超靜定結構在靜力特性上表體系。由于存在多余約束，導致超靜定結構在靜力特性上表現(xiàn)為：全部反力和內(nèi)力無法僅由靜力平衡條件唯一確定，必現(xiàn)為：全部反力和內(nèi)力無法僅由靜力平衡條件唯一確定，必須補充變形協(xié)調(diào)條件才能唯一確定。須補充變形協(xié)調(diào)條件才能唯一確定。

19、2.5.3 幾何瞬變體系及其靜力特性幾何瞬變體系及其靜力特性如如2.4節(jié)所述，幾何瞬變體系屬于幾何可變體系中的一種，節(jié)所述，幾何瞬變體系屬于幾何可變體系中的一種，常由約束布置不當所致。其靜力特性為：在有限大小的任意常由約束布置不當所致。其靜力特性為：在有限大小的任意荷載作用下，體系會出現(xiàn)無窮大的內(nèi)力，因此不能用作結構。荷載作用下，體系會出現(xiàn)無窮大的內(nèi)力，因此不能用作結構。45 出版社 科技分社 土木工程專業(yè)系列教材結構力學本章小結本章小結（1）平面桿件體系分為幾何不變體系和幾何可變體系。）平面桿件體系分為幾何不變體系和幾何可變體系。進行幾何組成分析的目的主要是：在一個體系被視作剛體體系進行幾何

20、組成分析的目的主要是：在一個體系被視作剛體體系的前提下，研究如果保證這個體系成為幾何不變體系，從而確的前提下，研究如果保證這個體系成為幾何不變體系，從而確保它能被作為結構使用；同時，根據(jù)結構的幾何組成，可以判保它能被作為結構使用；同時，根據(jù)結構的幾何組成，可以判定結構是靜定結構或超靜定結構，以便正確選擇相應的靜力分定結構是靜定結構或超靜定結構，以便正確選擇相應的靜力分析方法和程序，這一點，以后各章經(jīng)常會用到。析方法和程序，這一點，以后各章經(jīng)常會用到。（2）幾何不變且無多余約束體系的組成，一般遵循一條）幾何不變且無多余約束體系的組成，一般遵循一條總規(guī)則總規(guī)則“三角形規(guī)則三角形規(guī)則“（“鉸結三角形是內(nèi)部無多余約束鉸結三角形是內(nèi)部無多余約束的幾何不變體系的幾何不變體系”），由此可導出三個基本組成規(guī)則），由此可導出三個基本組成規(guī)則二元二元體規(guī)則、兩剛片規(guī)則（含兩個表述）和三剛片規(guī)則。進行幾何體規(guī)則、兩剛片規(guī)則（含兩個表述）和三剛片規(guī)則。進行幾何組成分析時，常采用組成分析時，常采用“簡化體系簡化體系擴展局部擴展局部應用