2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元評(píng)估檢測(cè)五第十章文含解析北師大版

1、單元評(píng)估檢測(cè)(五) (第十章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.直線ax+y+7=0與4x+ay-3=0平行,則a為()a.2b.2或-2c.-2d.-12【解析】選b.由直線ax+y+7=0與4x+ay-3=0平行,可得a4=1a7-3,解得a=2.2.圓x2+y2=4與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為()a.1b.2c.4d.8【解析】選b.圓x2+y2=4與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直線的方程為x-y+2=0,它與兩坐標(biāo)軸分別交

2、于(-2,0),(0,2),所以直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為1222=2.3.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線的方程是y=3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)落在拋物線y2=16x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()a.x28-y224=1b.x224-y28=1c.x24-y212=1d.x212-y24=1【解析】選c.雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線的方程是y=3x,可得b=3a,它的一個(gè)焦點(diǎn)落在拋物線y2=16x的準(zhǔn)線上,可得c=4,即16=a2+b2,a=2,b=23.所求的雙曲線方程為x24-y212=1.4.已知橢圓e:y2a2+x2b2=1(ab0)

3、經(jīng)過點(diǎn)a(5,0),b(0,3),則橢圓e的離心率為()a.23b.53c.49d.59【解析】選a.由橢圓e:y2a2+x2b2=1(ab0),經(jīng)過點(diǎn)a(5,0),b(0,3),可得a=3,b=5,所以c=9-5=2,其離心率e=23.5.在abc中,若asin a+bsin b-csin c=0,則圓c:x2+y2=1與直線l:ax+by+c=0的位置關(guān)系是()a.相切b.相交c.相離d.不確定【解析】選a.因?yàn)閍sin a+bsin b-csin c=0,所以由正弦定理得a2+b2-c2=0,所以圓心c(0,0)到直線l:ax+by+c=0的距離d=|c|a2+b2=1=r,所以圓c:x

4、2+y2=1與直線l:ax+by+c=0相切.6.已知f1,f2是橢圓c的兩個(gè)焦點(diǎn),p是c上的一點(diǎn),若pf1pf2,且pf2f1=60,則c的離心率為()a.1-32b.2-3c.3-12d.3-1【解析】選d.在直角三角形pf1f2中,|f1f2|=2c,pf2f1=60,所以|pf1|=3c,|pf2|=c,又|pf1|+|pf2|=2a,所以3c+c=2a,解得e=ca=23+1=3-1.7.(2020榆林模擬)已知l是雙曲線c:x22-y24=1的一條漸近線,p是l上的一點(diǎn),f1,f2分別是c的左、右焦點(diǎn),若pf1pf2=0,則點(diǎn)p到x軸的距離為()a.233 b.2c.2 d.263

5、【解析】選c.由已知f1(-6,0),f2(6,0),不妨設(shè)l的方程為y=2x,點(diǎn)p(x0,2x0),由pf1pf2=(-6-x0,-2x0)(6-x0,-2x0)=3x02-6=0,得x0=2,所以點(diǎn)p到x軸的距離為2|x0|=2.8.橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)f1,f2,它們的交點(diǎn)p對(duì)兩公共焦點(diǎn)f1,f2的張角為f1pf2=2,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,則( )a.cos2e12+sin2e22=1b.sin2e12+cos2e22=1c.e12cos2+e22sin2=1d.e12sin2+e22cos2=1【解析】選b.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a2,并設(shè)pf1=m

6、,pf2=n,其中mn,焦距為2c,在pf1f2中,由余弦定理得m2+n2-2mncos 2=2c2,由橢圓和雙曲線的定義得m+n=2a1,m-n=2a2,解得m=a1+a2,n=a1-a2,代入m2+n2-2mncos 2=2c2,得a1+a22+a1-a22-2a1+a2a1-a2cos 2=4c2,即a12+a22+a22-a12cos 2=2c2,所以a121-cos2+a221+cos2=2c2,即2a12sin2+2a22cos2=2c2,所以a12sin2c2+a22cos2c2=1,因此,sin2e12+cos2e22=1.9.已知雙曲線x23-y2=1的右焦點(diǎn)恰好是拋物線y2

7、=2px(p0)的焦點(diǎn)f,且m為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),n為拋物線上的一點(diǎn),且滿足|nf|=32|mn|,則點(diǎn)f到直線mn的距離為()a.12b.1c.3d.2【解析】選d.雙曲線x23-y2=1的右焦點(diǎn)為(2,0),拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為p2,0,則2=p2,解得p=4,則拋物線方程為y2=8x,準(zhǔn)線方程為x=-2,由點(diǎn)n向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足為r,則由拋物線的定義,可得|nr|=|nf|=32|mn|,從而可以得到nmr=60,從而得到nmf=30,所以有點(diǎn)f到直線mn的距離為d=4sin 30=2.10.(2020廈門模擬)已知拋物線x2=4y,斜率為-12的直線交拋物

8、線于a,b兩點(diǎn).若以線段ab為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線切于點(diǎn)p,則點(diǎn)p到直線ab的距離為()a.52b.5c.325d.25【解析】選b.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則px1+x22,-1,pa=x1-x22,y1+1,pb=x2-x12,y2+1,根據(jù)題意得到papb=0.設(shè)直線方程為x=-2y+n,聯(lián)立直線和拋物線方程得到4y2-4(n+1) y+n2=0,所以16(n+1)2-16n20,y1+y2=n+1,y1y2=n24,papb=-(x1-x2)24+(y1+1)(y2+1)=0,化簡(jiǎn)得到-(y1+y2)2+5y1y2+y1+y2+1=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,將根的和與乘積

9、代入化簡(jiǎn)得到n=2.此時(shí)直線為x=-2y+2,點(diǎn)p坐標(biāo)為px1+x22,-1=p(-(y1+y2)+2,-1)=p(-1,-1),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到d=|-1-2-2|5=5.11.如圖所示,橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題:已知曲線c的方程為x2+4y2=4,其左、右焦點(diǎn)分別是f1,f2,直線l與橢圓c切于點(diǎn)p,且|pf1|=1,過點(diǎn)p且與直線l垂直的直線l與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)m,則|f1m|f2m|=()a.23b.12c.13d.13【解析】選c.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得到直線l平分f1pf2,因?yàn)閟p

10、mf1spmf2=|f1m|f2m|=12|f1p|pm|sinf1pm12|f2p|pm|sinf2pm=|pf1|pf2|,由|pf1|=1,|pf1|+|pf2|=4得到|pf2|=3,故|f1m|f2m|=13.12.已知雙曲線x23-y2=1的右焦點(diǎn)是拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn),直線y=kx+m與拋物線交于a,b兩個(gè)不同的點(diǎn),點(diǎn)m(2,2)是ab的中點(diǎn),則oab(o為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是()世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)a.43 b.3c.14 d.23【解析】選d.雙曲線x23-y2=1中a=3,b=1,c=3+1=2,右焦點(diǎn)為(2,0),則拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為(2,0),即2=

11、p2,解得p=4,即拋物線方程為y2=8x,聯(lián)立直線y=kx+m得k2x2+(2km-8)x+m2=0,判別式=(2km-8)2-4k2m20,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),可得x1+x2=8-2kmk2,由點(diǎn)m(2,2)是ab的中點(diǎn),得8-2kmk2=4,2=2k+m,解得k=2,m=-2,滿足判別式大于0,所以x1+x2=4,x1x2=1,弦長(zhǎng)|ab|=1+4(x1+x2)2-4x1x2=516-4=215,點(diǎn)o到直線2x-y-2=0的距離d=|0-0-2|4+1=25,oab(o為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是12d|ab|=1225215=23.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共2

12、0分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13.圓(x+1)2+y2=5關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解析】圓(x+1)2+y2=5的圓心坐標(biāo)為(-1,0),它關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),即所求圓的圓心坐標(biāo)為(0,-1),所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+1)2=5.答案:x2+(y+1)2=514.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為f,點(diǎn)a(6,3),p為拋物線上一點(diǎn),且p不在直線af上,則paf周長(zhǎng)的最小值為.【解析】如圖,l=cpaf=|pa|+|pf|+|af|=|pa|+|pq|+|af|aq|+|af|,當(dāng)且僅當(dāng)a,p,q共線時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)|aq|=xa+2=8,|af|=

13、42+32=5,所以l8+5=13.答案:1315.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0),過其中一個(gè)焦點(diǎn)分別作兩條漸近線的垂線段,兩條垂線段的和為a,則雙曲線的離心率為.【解析】令雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦點(diǎn)為(c,0),漸近線為y=bax,即bxay=0,垂線段的長(zhǎng)度即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,即|bca0|b2+a2=b,故由題意可得a=2b,所以雙曲線的離心率滿足e2=c2a2=a2+b2a2=54,即e=52.答案:5216.點(diǎn)m是橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)上的點(diǎn),以m為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點(diǎn)f,圓m與y軸相交于p,q,若pqm是銳角三角形,則橢

14、圓離心率的取值范圍是.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】因?yàn)閳Am與x軸相切于焦點(diǎn)f,所以圓心與f的連線必垂直于x軸,不妨設(shè)m(c,y),因?yàn)閙在橢圓上,則y=b2a,所以圓的半徑為b2a,由題意|y|c22|y|所以c2b2a22c2,所以e2(1-e2)22e2,所以6-22eb0,y0)和部分拋物線c2:y=-x2+1(y0)連接而成,c1與c2的公共點(diǎn)為a,b,其中c1所在橢圓的離心率為22.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求a,b的值.(2)過點(diǎn)b的直線l與c1,c2分別交于點(diǎn)p,q(p,q,a,b中任意兩點(diǎn)均不重合),若apaq,求直線l的方程.【解析】(1)因?yàn)閥=-x2+1(y0),所以y=0,即x=1

15、,因此a(-1,0),b(1,0),代入橢圓方程中,得b=1,由ca=22以及a2-c2=b2=1,可得a=2,所以a=2,b=1.(2)由(1)可求出橫軸上方的橢圓方程為:y2+2x2=2(y0),由題意可知:過點(diǎn)b的直線l存在斜率且不能為零,故設(shè)直線方程為x=my+1(m0),代入橢圓c1得:2m2+1y2+4my=0,故可得點(diǎn)p的坐標(biāo)為:1-2m21+2m2,-4m1+2m2,顯然m0,同理將x=my+1(m0)代入拋物線c2方程中,得m2y2+y+2my=0,故可求得q的坐標(biāo)為:-1-mm,-2m+1m2,因?yàn)閍paq,所以=-1-mm+11-2m21+2m2+1-2m+1m2-4m1

16、+2m2=0,8m+2=0,解得m=-14,符合m0)的切線l,切點(diǎn)a在第二象限.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求切點(diǎn)a的縱坐標(biāo).(2)有一離心率為32的橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)恰好經(jīng)過切點(diǎn)a,設(shè)切線l與橢圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn)b,記切線l,oa,ob的斜率分別為k,k1,k2,若k1+k2=4k,求橢圓的方程.【解析】(1)設(shè)切點(diǎn)a(x0,y0),則有y0=x022p,由切線l的斜率為k=x0p,得l的方程為y=x0px-x022p,又點(diǎn)d(0,-2)在l上,所以2=x022p,即y0=2,所以點(diǎn)a的縱坐標(biāo)為2.(2)由(1)得a(-2p,2),切線斜率k=-2p,設(shè)b(x1,y1),切線方程為y=kx-2,由e=32得c2a2=34,又c2