2021版高考數學一輪復習核心素養(yǎng)測評五十六10.8.2圓錐曲線中求值與證明問題文含解析北師大版_第1頁
2021版高考數學一輪復習核心素養(yǎng)測評五十六10.8.2圓錐曲線中求值與證明問題文含解析北師大版_第2頁
2021版高考數學一輪復習核心素養(yǎng)測評五十六10.8.2圓錐曲線中求值與證明問題文含解析北師大版_第3頁
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文檔簡介

1、核心素養(yǎng)測評五十六圓錐曲線中求值與證明問題1.已知拋物線c:y2=2px(p0),直線y=x-1與c相交所得的弦長為8.世紀金榜導學號(1)求p的值.(2)過原點o的直線l與拋物線c交于m點,與直線x=-1交于h點,過點h作y軸的垂線交拋物線c于n點,求證:直線mn過定點.【解析】(1)由y2=2pxy=x-1,消x可得y2-2py-2p=0,所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,所以弦長為1+12(y1+y2)2-4y1y2=24p2+8p=8,解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.(2)由(1)可得y2=4x,設m14y02,y0,所以直線om的方程為y=4y0x,當x=-1時,yh

2、=-4y0,代入拋物線方程y2=4x,可得xn=4y02,所以n4y02,-4y0,當14y024y02,即y02時,直線mn的斜率k=y0+4y0y024-4y02=4y0y02-4,直線mn的方程為y-y0=4y0y02-4x-14y02,整理可得y=4y0y02-4(x-1),故直線mn過定點(1,0).當14y02=4y02,即y0=2時,直線mn的方程為x=1,必過點(1,0),綜上,直線mn過定點(1,0)2.已知拋物線e:y2=4x,圓c:(x-3)2+y2=1.(1)若過拋物線e的焦點f的直線l與圓c相切,求直線l的方程.(2)在(1)的條件下,若直線l交拋物線e于a,b兩點,

3、x軸上是否存在點m(t,0)使amo=bmo(o為坐標原點)?若存在,求出點m的坐標;若不存在,請說明理由.世紀金榜導學號【解析】(1)由題知拋物線e的焦點為f(1,0),當直線的斜率不存在時,過點f(1,0)的直線不可能與圓c相切,所以過拋物線焦點與圓相切的直線的斜率存在,設直線斜率為k,則所求的直線方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0,所以圓心(3,0)到直線l的距離為d=|3k-k|k2+1=|2k|k2+1,當直線l與圓相切時,有d=1|2k|k2+1=1k=33,所以所求的切線方程為y=33(x-1)或y=-33(x-1).(2)由(1)知,不妨設直線l:y=33(x-1),交拋物線于a(x1,y1),b(x2,y2)兩點,聯立方程組y=33(x-1),y2=4xx2-14x+1=0,所以x1+x2=14,x1x2=1,假設存在點m(t,0)使amo=bmo,則kam+kbm=0.而kam=y1x1-t,kbm=y2x2-t,所以kam+kbm=y1x1-t+y2x2-t=y1(x2-t)+y2(x1-t)(x1-t)(x2-t)=0y1x2+y2x1-(y1+y2)t=02x1x2-(x2+x1)-(x1+x2-2)t=0,即2-14-(14-2)t=0t=-1,故存在點m(-1,0)符合條件.當直線l:y=-33(x

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