2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)五十六10.8.2圓錐曲線中求值與證明問(wèn)題文含解析北師大版

1、核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)五十六圓錐曲線中求值與證明問(wèn)題1.已知拋物線c:y2=2px(p0),直線y=x-1與c相交所得的弦長(zhǎng)為8.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求p的值.(2)過(guò)原點(diǎn)o的直線l與拋物線c交于m點(diǎn),與直線x=-1交于h點(diǎn),過(guò)點(diǎn)h作y軸的垂線交拋物線c于n點(diǎn),求證:直線mn過(guò)定點(diǎn).【解析】(1)由y2=2pxy=x-1,消x可得y2-2py-2p=0,所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,所以弦長(zhǎng)為1+12(y1+y2)2-4y1y2=24p2+8p=8,解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.(2)由(1)可得y2=4x,設(shè)m14y02,y0,所以直線om的方程為y=4y0x,當(dāng)x=-1時(shí),yh

2、=-4y0,代入拋物線方程y2=4x,可得xn=4y02,所以n4y02,-4y0,當(dāng)14y024y02,即y02時(shí),直線mn的斜率k=y0+4y0y024-4y02=4y0y02-4,直線mn的方程為y-y0=4y0y02-4x-14y02,整理可得y=4y0y02-4(x-1),故直線mn過(guò)定點(diǎn)(1,0).當(dāng)14y02=4y02,即y0=2時(shí),直線mn的方程為x=1,必過(guò)點(diǎn)(1,0),綜上,直線mn過(guò)定點(diǎn)(1,0)2.已知拋物線e:y2=4x,圓c:(x-3)2+y2=1.(1)若過(guò)拋物線e的焦點(diǎn)f的直線l與圓c相切,求直線l的方程.(2)在(1)的條件下,若直線l交拋物線e于a,b兩點(diǎn),

3、x軸上是否存在點(diǎn)m(t,0)使amo=bmo(o為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求出點(diǎn)m的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】(1)由題知拋物線e的焦點(diǎn)為f(1,0),當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),過(guò)點(diǎn)f(1,0)的直線不可能與圓c相切,所以過(guò)拋物線焦點(diǎn)與圓相切的直線的斜率存在,設(shè)直線斜率為k,則所求的直線方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0,所以圓心(3,0)到直線l的距離為d=|3k-k|k2+1=|2k|k2+1,當(dāng)直線l與圓相切時(shí),有d=1|2k|k2+1=1k=33,所以所求的切線方程為y=33(x-1)或y=-33(x-1).(2)由(1)知,不妨設(shè)直線l:y=33(x-1),交拋物線于a(x1,y1),b(x2,y2)兩點(diǎn),聯(lián)立方程組y=33(x-1),y2=4xx2-14x+1=0,所以x1+x2=14,x1x2=1,假設(shè)存在點(diǎn)m(t,0)使amo=bmo,則kam+kbm=0.而kam=y1x1-t,kbm=y2x2-t,所以kam+kbm=y1x1-t+y2x2-t=y1(x2-t)+y2(x1-t)(x1-t)(x2-t)=0y1x2+y2x1-(y1+y2)t=02x1x2-(x2+x1)-(x1+x2-2)t=0,即2-14-(14-2)t=0t=-1,故存在點(diǎn)m(-1,0)符合條件.當(dāng)直線l:y=-33(x