一元一次不等式知識點及典型例題

1、. 宿州市第二初級中學 陸連榮 一元一次不等式考點一、不等式的概念 （3分）1、不等式：用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。3、對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。4、求不等式的解集的過程，叫做解不等式。5、用數(shù)軸表示不等式的方法考點二、不等式基本性質 （35分）1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，

2、不等號的方向改變。4、說明：在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運算改變。如果不等式乘以0，那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立；考點三、一元一次不等式 （6-8分） 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1考點四、一元一次不等式組 （8分） 1、一元一次不等式組

3、的概念：幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。4、當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。6、不等式與不等式組不等式：用符號，=，號連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個負

4、數(shù)，不等號方向相反。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。知識點與典型基礎例題 一 不等式的概念：例 判斷下列各式是否是一元一次不等式？-x5 2x-y0 二 不等式的解 ： 三 不等式的解集：例 判斷下列說法是否正確，為什么？ X=2是不等式x+32的解。 X=2是不等式3x7的解。 不等式3x7的解是x2。 X=3是不等式3x9的解 四 一元一次不等式：例判斷下列各式是否是一元一次不等式例 五不等式的基本性質問題例1 指出下列各題中不等式的變形依據(jù) 1）由3a2得a 2) 由3+7

5、0得a-7 3）由-5a- 4)由4a3a+1得a1例2 用”或”填空，并說明理由 如果aa x7 5x-1 2x+5ab B acab C cbab D c+by，求K的范圍。如果關于x的方程x+2m-3=3x+7的解為不大于2的非負數(shù)，求m的范圍。若|2a+3|2a+3,求a的范圍。 若（a+1）xa+1的解是x1,求a的范圍。若的解集為，求的取值范圍。已知關于x的方程的解是非負數(shù)，是正整數(shù)，求的值。如果的整數(shù)解為、，求整數(shù)、的值。題型五求最小值問題 例 x取什么值時，代數(shù)式的值不小于的值，并求出X的最小值。題型六不等式解法的變式應用例 根據(jù)下列數(shù)量關系，列不等式并求解。 X的與x的2倍的

6、和是非負數(shù)。 C與4的和的30不大于-2。 X除以2的商加上2，至多為5。 A與b兩數(shù)和的平方不可能大于3。例取何值時，（）（）的值是非負數(shù)？例取哪些非負整數(shù)時，的值不小于與的差。題型七解不定方程例求方程的正整數(shù)解。已知無解，求的取值范圍。題型八比較兩個代數(shù)式值的大小例已知，求與，與的大小關系題型九不等式組解的分類討論例解關于的不等式組8、常見題型一、選擇題在平面直角坐標系中，若點P(m3，m1)在第二象限，則m的取值范圍為( )A1m3 Bm3 Cm Dm 答案：A已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D答案：D四個小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P

7、、Q、R、S，如圖3所示， 則他們的體重大小關系是（ D ）A、 B、 C、 D、把不等式組的解集表示在數(shù)軸上正確的是（ ）答案：C不等式的解集是（）答案：C若不等式組有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD 答案：A若，則的大小關系為（ ）ABC D不能確定 答案：A不等式x50的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）答案：B不等式的正整數(shù)解有( ) （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個 答案：C把某不等式組中兩個不等式的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則這個不等式組可能是（ ） ABCD答案：B不等式組，的解集是（ ） A B C D無解 答案：C不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（ ）A B

8、C D答案：D實數(shù)在數(shù)軸上對應的點如圖所示，則，的大小關系正確的是（ ）ABC D答案：D如圖，a、b、c分別表示蘋果、梨、桃子的質量同類水果質量相等，則下列關系正確的是（）AacbBbacCabcDcab答案：C不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ） 答案：C把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的為圖3中的（ ） A B C D答案：B用 表示三種不同的物體，現(xiàn)放在天平上比較兩次，情況如圖所示，那么這三種物體按質量從大到小的順序排列應為（ ）答案：A不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（ ）答案：A在數(shù)軸上表示不等式組的解集，正確的是（ ） 答案：A二、填空題已知3x+46+2(x-2),則 的最

9、小值等于_. 答案：1如圖，已知函數(shù)和的圖象交點為，則不等式的解集為 答案：不等式組的解集為 答案：不等式組的整數(shù)解的個數(shù)為 答案：46.已知關于的不等式組的整數(shù)解共有3個，則的取值范圍是 答案：9.不等式組的解集是 答案：10直線與直線在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為 答案：-1 13.已知不等式組的解集為1x2，則(mn)2008_答案：1三、簡答題解不等式組解：解不等式（1），得 解不等式（2），得原不等式組的解是 解不等式組并寫出該不等式組的最大整數(shù)解.解：解不等式x+10,得x-1 解不等式x，得x2 不等式得解集為-1x2 該不等式組的最大整數(shù)解是2 若

10、不等式組 的整數(shù)解是關于x的方程的根，求a的值。解：解不等式得，則整數(shù)解x=-2代入方程得a=4。解方程。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和2的距離之和為5的點對應的x的值。在數(shù)軸上，1和2的距離為3，滿足方程的x對應點在1的右邊或2的左邊，若x對應點在1的右邊，由圖（17）可以看出x2；同理，若x對應點在2的左邊，可得x3，故原方程的解是x=2或x=3參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程的解為 （2）解不等式9；（3）若a對任意的x都成立，求a的取值范圍解：（1）1或 （2）和的距離為7，因此，滿足不等式的解對應的點3與的兩側當在3的右邊時，如圖（2）， 易知 當在的左邊時，

11、如圖（2），易知 原不等式的解為或 （3）原問題轉化為： 大于或等于最大值 當時，當，隨的增大而減小，當時， 即的最大值為7 故解不等式組 并把解集表示在下面的數(shù)軸上. 解：的解集是： 的解集是： 所以原不等式的解集是：（3分）解集表示如圖（5分）解不等式組解： 由不等式（1）得：5由不等式（2）得：3所以：5x3解不等式組：并判斷是否滿足該不等式組解：原不等式組的解集是：，滿足該不等式組解不等式3x-27,將解集在數(shù)軸上表示出來,并寫出它的正整數(shù)解解：3x-273x7+23x9x-5的解集如圖所示，則m的值為（ ）A, 1 B, 0 C, -1 D, 3 2、不等式2x+1b，那么acbc

12、性質2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即如果ab，c0，那么acbc（或） 性質3：不等式兩邊乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即如果ab，c0，那么ac） 不等式的其他性質：若ab，則bb，bc，則ac；若ab，且ba，則a=b；若a0，則a=0 4一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，不等號要改變方向 5一元一次不等式的應用 列一元一次不等式解實際應用問題，可類比列一元一次方程解應用問題的方法和技巧，不同的是，列不等式解應用題，尋求的是不等關系，因此，根據(jù)問題情境，抓住應用

13、問題中“不等”關系的關鍵詞語，或從題意中體會、感悟出不等關系十分重要例題解析 例1 解不等式x-5，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來 【分析】一元一次不等式的解法的一般步驟與一元一次方程相同，不等式中含有分母，應先在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)去掉分母，在去分母時不要漏乘沒有分母的項，再作其他變形 【解答】去分母，得 4（2x-1）-2（10x+1）15x-60 去括號，得8x-4-20x-215x-60 移項合并同類項，得-27x-54系數(shù)化為1，得x2在數(shù)軸上表示解集如圖所示 【點評】分數(shù)線兼有括號的作用，分母去掉后應將分子添上括號同時，用分母去乘不等式各項時，不要漏乘不含分母的項；不等

14、式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變；在數(shù)軸上表示不等式的解集，當解集是x時，不包括數(shù)軸上a這一點，則這一點用圓圈表示；當解集是xa或xa時，包括數(shù)軸上a這一點，則這一點用黑圓點表示；解不等式（組）是中考中易考查的知識點，必須熟練掌握 例2 若實數(shù)aNM BMNP CNPM DMPN 【分析】本題主要考查代數(shù)式大小的比較有兩種方法：其一，由于選項是確定的，我們可以用特值法，取a1內的任意值即可；其二，用作差法和不等式的傳遞性可得M，N，P的關系 【解答】方法一：取a=2，則M=2，N=，P=，由此知MPN，應選D 方法二：由a1知a-10 又M-P=a-=0，MP； P-N

15、=-=0，PN MPN，應選D 【點評】應用特值法來解題的條件是答案必須確定如，當a1時，A與2a-2的大小關系不確定，當1a2a-2；當a=2時，a=2a-2；當a2時，a0的解集是x2，則不等式-3x+n0，x，=2 即n=6 代入-3x+n0得：-3x+62 例4某公司為了擴大經(jīng)營，決定購進6臺機器用于生產(chǎn)某種活塞現(xiàn)有甲，乙兩種機器供選擇，其中每臺機器的價格和每臺機器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示經(jīng)過預算，本次購買機器所耗資金不能超過34萬元甲乙價格/（萬元/臺） 7 5每臺日產(chǎn)量/個10060 （1）按該公司要求可以有幾種購買方案？ （2）若該公司購進的6臺機器的日生產(chǎn)能力不低于380個，

16、那么為了節(jié)約資金應選擇哪種購買方案？ 【解析】（1）可設購買甲種機器x臺，然后用x表示出購買甲，乙兩種機器的實際費用，根據(jù)“本次購買機器所耗資金不能超過24萬元”列不等式求解 （2）分別算出（1）中各方案每天的生產(chǎn)量，根據(jù)“日生產(chǎn)能力不低于380個”與“節(jié)約資金”兩個條件選擇購買方案 解（1）設購買甲種機器x臺，則購買乙種機器（6-x）臺，則 7x+5（6-x）34 解得x2 又x0 0x2 整數(shù)x=0，1，2 可得三種購買方案： 方案一：購買乙種機器6臺； 方案二：購買甲種機器1臺，乙種機器5臺； 方案三：購買甲種機器2臺，乙種機器4臺 （2）列表如下：日生產(chǎn)量/個總購買資金/萬元方案一 3

17、60 30方案二 400 32方案三 440 34 由于方案一的日生產(chǎn)量小于380個，因此不選擇方案一；方案三比方案二多耗資2萬元，故選擇方案二 【點評】部分實際問題的解通常為整數(shù)；方案的各種情況可以用表格的形式表達 例5某童裝加工企業(yè)今年五月份，工人每人平均加工童裝150套，最不熟練的工人加工的童裝套數(shù)為平均套數(shù)的60%為了提高工人的勞動積極性，按照完成外商訂貨任務，企業(yè)計劃從六月份起進行工資改革改革后每位工人的工資分兩部分：一部分為每人每月基本工資200元；另一部分為每加工1套童裝獎勵若干元 （1）為了保證所有工人的每月工資收入不低于市有關部門規(guī)定的最低工資標準450元，按五月份工人加工的

18、童裝套數(shù)計算，工人每加工1套童裝企業(yè)至少應獎勵多少元（精確到分）？ （2）根據(jù)經(jīng)營情況，企業(yè)決定每加工1套童裝獎勵5元工人小張爭取六月份工資不少于1200元，問小張在六月份應至少加工多少套童裝？ 【分析】（1）五月份工人加工的最少套數(shù)為15060%，若設平均每套獎勵x元，則該工人的新工資為（200+15060%x），由題意得200+15060%x450； （2）六月份的工資由基本工資200元和獎勵工資兩部分組成，若設小張六月份加工了y套，則依題意可得200+5y1200 【解答】（1）設企業(yè)每套獎勵x元，由題意得：200+60%150x450 解得：x2.78 因此，該企業(yè)每套至少應獎勵2.7

19、8元； （2）設小張在六月份加工y套，由題意得：200+5y1200， 解得y200 【點評】本題重點考查學生從生活實際中理解不等關系的能力，對關鍵詞“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的關鍵強化訓練一、填空題1若不等式ax1，則a的取值范圍是_2不等式x+3x的負整數(shù)解是_3不等式5x-93（x+1）的解集是_4不等式4（x+1）6x-3的正整數(shù)解為_5已知3x+46+2（x-2），則x+1的最小值等于_6若不等式a（x-1）x-2a+1的解集為x0 Bab0 Ca+b013如圖所示，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A，B兩點，則不等式kx+b0的解集是（ ）Ax0 Bx2 Cx-3

20、 D-3x的解集是x5 Ba=5 Ca-5 Da=-515關于x的不等式2x-a-1的解集如圖所示，則a的取值是（ ）A0 B-3 C-2 D-116初中九年級一班幾名同學，畢業(yè)前合影留念，每人交0.70元，一張彩色底片0.68元，擴印一張照片0.50元，每人分一張，將收來的錢盡量用掉的前提下，這張照片上的同學最少有（ ） A2個 B3個 C4個 D5個17四個小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P，Q，R，S，如圖所示，則他們的體重大小關系是（ ） APRSQ BQSPRCSPQR DSPRQ18某班學生在頒獎大會上得知該班獲得獎勵的情況如下表：三好學生優(yōu)秀學生干部優(yōu)秀團員市級 3 2 3校級

21、18 6 12 已知該班共有28人獲得獎勵，其中只獲得兩項獎勵的有13人，那么該班獲得獎勵最多的一位同學可能獲得的獎勵為（ ） A3項 B4項 C5項 D6項三、解答題19解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來（1）； （2）x-320王女士看中的商品在甲，乙兩商場以相同的價格銷售，兩商場采用的促銷方式不同：在甲商場一次性購物超過100元，超過的部分八折優(yōu)惠；在乙商場一次性購物超過50元，超過的部分九折優(yōu)惠，那么她在甲商場購物超過多少元就比在乙商場購物優(yōu)惠？21甲，乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲超市累計購買商品超出300元之后，超出部分按原價8

22、折優(yōu)惠；在乙超市累計購買商品超出200元之后，超過部分按原價8.5折優(yōu)惠設顧客預計累計購物x元（x300） （1）請用含x的代數(shù)式分別表示顧客在兩家超市購物所付的費用；（2）試比較顧客到哪家超市購物更優(yōu)惠？說明你的理由22福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝工人，每天都制作某種品牌襯衫和褲子，每人每天可制作襯衫3件或褲子5條 （1）若該廠要求每天制作的襯衫和褲子數(shù)量相等，則應安排制作襯衫和褲子各多少人？ （2）已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可獲得利潤16元，若該廠要求每天獲得利潤不少于2100元，則至少需要安排多少名工人制作襯衫？23某零件制造車間有工人20名，已知每名工人每天可制造甲

23、種零件6個或乙種零件5個，且每制造一個甲種零件可獲利150元，每制造一個乙種零件可獲利260元，在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件 （1）請寫出此車間每天所獲利潤y（元）與x（人）之間的關系式；（2）若要使每天所獲利潤不低于24000元，你認為至少要派多少名工人去制造乙種零件才合適？24足球比賽的記分規(guī)則為：勝1場得3分，平1場得1分，負1場得0分，一支足球隊在某個賽季中共需比賽14場，現(xiàn)已比賽8場，負了1場，得17分，請問： （1）前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？ （2）這支球隊打滿了14場比賽，最高能得多少分？ （3）通過對比賽情況的分析，這支球隊

24、打滿14場比賽得分不低于29分，就可以達到預期目標，請你分析一下，在后面的6場比賽中這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目標？25宏志高中高一年級近幾年招生人數(shù)逐年增加，去年達到550名，其中面向全省招收的“宏志班”學生，也有一般普通班學生由于場地、師資等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班學生可以招20%，“宏志班”學生可多招10%，問今年最少可招收“宏志班”學生多少名？答案:1a0 2-5，-4，-3，-2，-13x6 41，2，3 51 6a100），就比在乙商場購物優(yōu)惠，由題意得：100+0.8（x-100）150 答：她在甲商場購物超過150元就比在乙商場購物優(yōu)惠21（1）

25、在甲超市購物所付的費用是： 300+0.8（x-300）=（0.8x+60）元； 在乙超市購物所付的費用是： 200+0.85（x-200）=（0.85x+30）元 （2）當0.8x+60=0.85x+30時，解得x=600 當顧客購物600元時，到兩家超市購物所付費用相同；當0.8x+600.85x+30時，解得x300，300x600即顧客購物超過300元且不滿600元時，到乙超市更優(yōu)惠； 當0.8x+60600，即當顧客購物超過600元時，到甲超市更優(yōu)惠22（1）設應安排x名工人制作襯衫，由題意得： 3x=5（24-x） x=15 24-x=24-15=9 答：應安排15名工人制作襯衫，

26、9名工人制作褲子 （2）設應安排y名工人制作襯衫，由題意得： 330y+516（24-y）2100 y18 答：至少應安排18名工人制作襯衫23（1）依題意，得 y=1506x+2605（20-x）=-400x+26000（0x20） （2）依題意得，-400x+2600024000 解得x5，20-x=20-5=15 答：至少要派15名工人去制作乙種零件才合適24（1）設這支球隊勝x場，則平了（8-1-x）場， 依題意得：3x+（8-1-x）=17，解得x=5 答：前8場比賽中這支球隊共勝了5場 （2）最高分即后面的比賽全勝，因此最高得分為： 17+3（14-8）=35（分） 答：這個球打完

27、14場最高得分為35分 （3）設勝x場，平y(tǒng)場，總分不低于29分，可得17+3x+y29，3x+y12，x+y6 x，y為非負整數(shù)， x=4時，能保證不低于12分； x=3，y=3時，也能保證不低于12分所以，在以后的比賽中至少要勝3場才能有可能達到預期目標25設去年招收“宏志班”學生x名，普通班學生y名 由條件得： 將y=550-x代入不等式，可解得x100 于是（1+10%）x110， 答：今年最少可招收“宏志班”學生110名20102011學年度第二學期第一單元測試題一元一次不等式和一元一次不等式組班別：_學號：_姓名：_評分：_一填空題：（每小題2分，共20分）1若，則 ；（填“或=”

28、號）2若，則；（填“或=”號） 3不等式的解集是_；4當_時，代數(shù)式的值至少為1；5不等式的解集是_ _；6不等式的正整數(shù)解為： ；7若一次函數(shù)，當_ _時，；8的與12的差不小于6，用不等式表示為_9不等式組的整數(shù)解是_；10若關于的方程組的解滿足，則P的取值范圍是_；二選擇題：（每小題3分，共30分）11若,則下列不等式中正確的是 （ ）（A） （B） （C） （D） 12在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確的是 （ ）（A） （B） （C） （D）13已知兩個不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，那么這個解集為 （ ）（A） （B） （C） （D） 14不等式的非負整數(shù)解的個數(shù)為 （A） 1 （B）

29、2 （C） 3 （D） 415下列不等式求解的結果，正確的是 （A）不等式組的解集是 （B）不等式組的解集是（C）不等式組無解 （D）不等式組的解集是16把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的是圖中的 （ ）17如圖所示，天平右盤中的每個破碼的質量都是1g，則物體 A的質量(g)的取值范圍在數(shù)軸上：可表示為圖111中的 （ ）18已知關于的不等式的解集為，則的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C） （D） 19一次函數(shù)的圖象如圖所示，當時，的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C） （D） 20觀察下列圖像，可以得出不等式組的解集 （ ）（A） （B） （C） （D） 三解下列不等式（組），并把解集在數(shù)軸上表示出來：（每小題6分，共24分）21 2223 24