行列式的計(jì)算技巧和方法總結(jié)

1、計(jì)算技巧及方法總結(jié) 一、 一般來說，對(duì)于二階、三階行列式，可以根據(jù)定義來做 1、二階行列式2、三階行列式=例1計(jì)算三階行列式解 但是對(duì)于四階或者以上的行列式，不建議采用定義，最常采用的是行列式的性質(zhì)以及降價(jià)法來做。但在此之前需要記憶一些常見行列式形式。以便計(jì)算。計(jì)算上三角形行列式 下三角形行列式 對(duì)角行列式 二、用行列式的性質(zhì)計(jì)算 1、記住性質(zhì)，這是計(jì)算行列式的前提 將行列式的行與列互換后得到的行列式,稱為的轉(zhuǎn)置行列式,記為或,即若 則 .性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, 即注 由性質(zhì)1知道，行列式中的行與列具有相同的地位，行列式的行具有的性質(zhì),它的列也同樣具有.性質(zhì)2 交換行列式的兩行(

2、列),行列式變號(hào).推論 若行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同,則此行列式為零.性質(zhì)3 用數(shù)乘行列式的某一行(列), 等于用數(shù)乘此行列式, 即第行(列)乘以,記為(或).推論1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.推論2 行列式中若有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零.性質(zhì)4 若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和, 例如,.則 .性質(zhì)5 將行列式的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)位置的元素上, 行列式不變.注: 以數(shù)乘第行加到第行上,記作; 以數(shù)乘第列加到第列上，記作.2、利用“三角化”計(jì)算行列式計(jì)算行列式時(shí)，常用行列式的性質(zhì)，把它化為三角形

3、行列式來計(jì)算. 例如化為上三角形行列式的步驟是:如果第一列第一個(gè)元素為0, 先將第一行與其它行交換使得第一列第一個(gè)元素不為0; 然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行,使得第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為0;再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式,如此繼續(xù)下去,直至使它成為上三角形行列式,這時(shí)主對(duì)角線上元素的乘積就是所求行列式的值.例2若, 則例3（1）（第一、二行互換）.（2）（第二、三列互換）（3）（第一、二兩行相等）（4）（第二、三列相等）例4（1）因?yàn)榈谌惺堑谝恍械谋?（2）因?yàn)榈谝涣信c第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若, 則 又 .例6 設(shè) 求解 利用

4、行列式性質(zhì)，有例7（1）（2）.例8 因?yàn)槎?因此.注: 一般來說下式是不成立的.例9（1）,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不變.（2）,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不變.例10計(jì)算行列式.解 先將第一行的公因子3提出來：再計(jì)算例11 計(jì)算解 例12計(jì)算解 注意到行列式的各列4個(gè)數(shù)之和都是6.故把第2，3，4行同時(shí)加到第1行，可提出公因子6，再由各行減去第一行化為上三角形行列式. 注：仿照上述方法可得到更一般的結(jié)果:例13 計(jì)算 解 根據(jù)行列式的特點(diǎn)，可將第1列加至第2列，然后將第2列加至第3列，再將第3列加至第4列，目的是使中的零元素增多. 例14 計(jì)算解 從第

5、4行開始，后一行減前一行： 三、 行列式按行(列)展開（降階法）1、行列式按一行(列)展開定義1 在階行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的階行列式,稱為中元素的余子式, 記為, 再記稱為元素的代數(shù)余子式.引理（常用） 一個(gè)n階行列式d , 若其中第i行所有元素除外都為零，則該行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即 定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和, 即或 推論 行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零, 即或 2、用降價(jià)法計(jì)算行列式（常用）直接應(yīng)用按行(列)展開法則計(jì)算行列式, 運(yùn)算量較大, 尤其是高階行列式. 因此

6、, 計(jì)算行列式時(shí)，一般可先用行列式的性質(zhì)將行列式中某一行(列)化為僅含有一個(gè)非零元素, 再按此行(列)展開,化為低一階的行列式, 如此繼續(xù)下去直到化為三階或二階行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定義2 在階行列式中,任意選定行列, 位于這些行和列交叉處的個(gè)元素,按原來順序構(gòu)成一個(gè)階行列式, 稱為的一個(gè)階子式,劃去這行列, 余下的元素按原來的順序構(gòu)成階行列式,在其前面冠以符號(hào),稱為的代數(shù)余子式,其中為階子式在中的行標(biāo),為在中的列標(biāo).注：行列式的階子式與其代數(shù)余子式之間有類似行列式按行（列）展開的性質(zhì).定理2 (拉普拉斯定理) 在階行列式中, 任意取定行(列),由這行(列)組成的所有階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式.例15求下列行列式的值:（1） （2）解 (1) (2) 例16計(jì)算行列式 解 例17計(jì)算行列式 解