極限存在法則兩重要極限

1、第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則 i i ( (夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則) ) 如果如果 ， 及及 滿足下列條件：滿足下列條件：nxnynz（1 1）nnnzxy )(0nn （2 2）aynn limaznn lim則數(shù)列則數(shù)列 的極限存在的極限存在, , 且且nxaxnn lim例例1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn準(zhǔn)則準(zhǔn)則 ii( (函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則函

2、數(shù)的夾逼準(zhǔn)則) ) 如果如果（1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)時(shí) , ,有有 )()()(xhxfxg （2 2）axgxx )(lim0則則 存在存在, , 且且),(0rxuxo axhxx )(lim0)(lim0 xfxx axfxx )(lim0兩個(gè)兩個(gè)重要極限重要極限1sinlim0 xxxac)20(, xxaobo 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinacxabxbdx 弧弧于是有于是有xobd.aco ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xoab的圓心角為的圓心角為扇形扇形,bdoab的高為的高為 ,tansinxxx 1sincos xxx即即 2sin2cos102xx 22

3、222xx 因?yàn)橐驗(yàn)樗运?即即 0)cos1 (lim0 xx1coslim0 xx因而因而1sinlim0 xxx證證 因?yàn)橐驗(yàn)?是偶函數(shù)，所以只討論是偶函數(shù)，所以只討論 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,有有20 xxxxtansin0 xxsin所以所以1sinlim0 xxx 重要極限 的適用范圍:1sinlim0 xxx;00) 1.,)2反反三三角角函函數(shù)數(shù)等等含含三三角角函函數(shù)數(shù)例例5 求求 .xxxtanlim0解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxxxcos1limsinlim00 1 例例6 求求 .20cos1limxxx 解解 20cos1limxxx 2

4、202sin2limxxx 22022sinlim21 xxx2022sinlim21 xxx21 xxxarctanlim0例例7 求求 .2coslim2 xxx數(shù)列數(shù)列 nx單調(diào)增加單調(diào)增加 , ,若若 nxxx21單調(diào)減少單調(diào)減少 , ,若若 nxxx21準(zhǔn)則準(zhǔn)則( (單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則) )單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. .x1x2x3x1 nxnx幾何解釋幾何解釋: :am例例8.)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 313

5、3 , 3 ;是有界的是有界的nxaxnn設(shè)為存在.lim,32aa 2131,2131 aa解解得得( (舍去舍去) ).2131lim nnxnnn)11 (lim先證數(shù)列單調(diào)增先證數(shù)列單調(diào)增: :設(shè)設(shè) , ,nnnx 11則則nnnnnnnnnnnnnx1!)1()1(1! 2)1(1! 112 nnnnnn112111!111!2111所以所以 111121111!1111! 2111nnnnnn 1nx 11121111!11nnnnn比較得比較得: ,: ,1 nnxx即即 為單調(diào)遞增數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列. . nx又注意到又注意到: :!1! 31! 2111nxn 2112111

6、 n32131 n所以所以 為單調(diào)遞增有界數(shù)列為單調(diào)遞增有界數(shù)列. . nxnnn 11lim存在存在. .1212111 nennn )11(lim記記為為)71828. 2( e同理同理: :.)11(limnnnn, 4)(limnnanan. annn4)31 (lim .)11 (limexxx 重要極限 的適用范圍:.1 exxx 10)1(lim 1:., 1:,lim:記記為為其其中中求求問(wèn)問(wèn)題題xvxuxuxv例例10.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例11.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()2

7、11(lim xxxx原原式式.2e 公式公式 類(lèi)類(lèi)求求問(wèn)問(wèn)題題 1,lim:xvxu axuxvxuxvxuxvaxveexuxuexuaxuxv 1)()(lim1)()(1)(1)()(1)(1lim)(lim.)(lim,1)()(lim:則則設(shè)設(shè) xxxx193lim xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e解：解：例例12 求求xt._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題: :._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim3