現(xiàn)代控制理論第五章線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合

1、第五章第五章 線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 熟練掌握狀態(tài)反饋與輸出反饋，極點(diǎn)配置熟練掌握狀態(tài)反饋與輸出反饋，極點(diǎn)配置 熟練掌握狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)方法熟練掌握狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)方法 掌握分離原理掌握分離原理重點(diǎn)內(nèi)容：重點(diǎn)內(nèi)容： 狀態(tài)反饋與輸出反饋的基本結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和有關(guān)定理狀態(tài)反饋與輸出反饋的基本結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和有關(guān)定理 單輸入、多輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置單輸入、多輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 全維觀測器的設(shè)計(jì)全維觀測器的設(shè)計(jì) 狀態(tài)反饋與觀測器的工程應(yīng)用狀態(tài)反饋與觀測器的工程應(yīng)用5. 1 狀態(tài)反饋與輸出反饋狀態(tài)反饋與輸出反饋 狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋 設(shè)被控系統(tǒng)設(shè)被控系統(tǒng)：i/suy-+buaxxducxy(狀態(tài)反饋系統(tǒng)

2、結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖)x x狀態(tài)反饋控制律：狀態(tài)反饋控制律： 其中：輸入其中：輸入-狀態(tài)反饋增益矩陣狀態(tài)反饋增益矩陣狀態(tài)反饋系統(tǒng)：狀態(tài)反饋系統(tǒng)： 若若=0，特征方程特征方程:kxvuprvnprkdvxdkcy)(bbkasicsgk1)()(bvxbkax)(0)(bkasi或或0)(bkai輸出反饋輸出反饋輸出反饋至狀態(tài)微分處輸出反饋至狀態(tài)微分處( ) i/shu-+xy其中其中-輸出反饋矩陣輸出反饋矩陣qnrh1( )()hgsc siahcbx x cxybuxhcahybuaxx)(輸出反饋至參考輸入：輸出反饋至參考輸入：1/su-+xyx bbfcasicsgcxybvxbfc

3、axfyvuf1)()()(比較：輸出反饋比較：輸出反饋 h,f選擇的自由度比選擇的自由度比k小，輸出反饋小，輸出反饋 部分狀態(tài)反饋。部分狀態(tài)反饋。 c=i,fc=k時(shí)，才能等同狀態(tài)反饋。時(shí)，才能等同狀態(tài)反饋。 因此，輸出反饋的效果不如狀態(tài)反饋，但因此，輸出反饋的效果不如狀態(tài)反饋，但 輸出反饋實(shí)現(xiàn)較方便，而狀態(tài)反饋不能測量的輸出反饋實(shí)現(xiàn)較方便，而狀態(tài)反饋不能測量的狀態(tài)變量需用狀態(tài)觀測器重構(gòu)狀態(tài)。狀態(tài)變量需用狀態(tài)觀測器重構(gòu)狀態(tài)。 qyrqn5.2 閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性定理定理1：狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性，但卻不一定能保證能觀性能控性，但卻

4、不一定能保證能觀性。 證明：設(shè)被控系統(tǒng)證明：設(shè)被控系統(tǒng) 的動(dòng)態(tài)方程為：的動(dòng)態(tài)方程為： 先證引入先證引入u=v-kx的狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的狀態(tài)反饋后系統(tǒng) 的動(dòng)態(tài)方程為：的動(dòng)態(tài)方程為：0srscxy buaxxcxy bvxbkax)( 先證先證 能控的充要條件是能控的充要條件是 能控：能控： 的能控性陣：的能控性陣： 的能控性陣：的能控性陣： 由于由于 0srs0srsbaabbsnc1bbkabbkabsncr1)()(pabababab21pbbkabbkabbkabbka)()()()(21式中式中 列向量組成列向量組成 npirpib), 2 , 1(12n ppbbbbr 則： 令： 式中

5、 標(biāo)量 這說明 的列 是 列的線性組合。ipiipiibkbkbkbbbabbbka2121)(iibkc11iibkc22ippibkc ), 2 , 1(pjcji)()(2211ppiiiiibcbcbcabbbkabbka)( ibbka)( abb同理： 的列 是 列的線性組合。 的列 是 列的線性組合。bbka2)( ibbka2)( baabb2bbkan 1)(inbbka1)(baabbn 1ccrsranksrank 另一方面： 的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 或： 是由 經(jīng)初等變換得到，而初等變 換rss 0buxbkbkabuaxx)(.crcsranksrank crcsranksr

6、ank 0srs例：例：解：解： 判斷被控系統(tǒng)的能控性，能觀性判斷被控系統(tǒng)的能控性，能觀性。 20110 rankabbrank能控能控xyuxx1010011020110rankcacrankkxvu01k能觀能觀引入狀態(tài)反饋：引入狀態(tài)反饋：cxy 則：則：令：令：20110 rankbabrank能控能控0010abkabvxbkax)(10010rankcacrank1)()(21ssbasicsg不能觀不能觀被控系統(tǒng)：被控系統(tǒng)：sbbkasicbasicsgk1)()()(11閉環(huán)系統(tǒng)：閉環(huán)系統(tǒng)：引入狀態(tài)反饋后出現(xiàn)零極點(diǎn)對消引入狀態(tài)反饋后出現(xiàn)零極點(diǎn)對消定理定理2：輸出至參考輸入的反饋不

7、改變輸出至參考輸入的反饋不改變被控系統(tǒng)的能觀性與能控性。被控系統(tǒng)的能觀性與能控性。 定理定理3：輸出至狀態(tài)微分的反饋不改變輸出至狀態(tài)微分的反饋不改變被控系統(tǒng)的能觀性，但可能改變被控被控系統(tǒng)的能觀性，但可能改變被控系統(tǒng)的能控性。系統(tǒng)的能控性。 證明：證明： 用對偶原理證明能觀性不變用對偶原理證明能觀性不變 設(shè)被控系統(tǒng)設(shè)被控系統(tǒng) ，輸出反饋的系統(tǒng)，輸出反饋的系統(tǒng) 若被控系統(tǒng)若被控系統(tǒng) 能觀能觀 對偶系統(tǒng)對偶系統(tǒng) 能控。能控。 由定理由定理1可知，系統(tǒng)可知，系統(tǒng) 引入狀態(tài)引入狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)反饋后的系統(tǒng) 能控能控性不變性不變 能觀性不變。能觀性不變。),( :0cbas),),(:cbhcash),

8、(cba),(tttbca),(tttbca),),(tttttbchca tntttttntttttttttnttttchcachcacrankchcachcacrankcacacrank111)()()()()( 證明能控性不變：證明能控性不變： 設(shè)被控系統(tǒng)能控設(shè)被控系統(tǒng)能控 能能觀觀),(tttbcacnttnttttttttsbaabbbababs110)()()()()(系統(tǒng)系統(tǒng) 的能控性陣的能控性陣 ：),),(tttttbchca hnttntttttttttttthsbhcabhcabbhcabhcabs0110)()()()()()()(chhranksranksranksr

9、anks c005.3 單輸入單輸入-多輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置多輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置設(shè)被控系統(tǒng)：設(shè)被控系統(tǒng)：qnryrx,bi/su-+yxv閉環(huán)系統(tǒng)buaxxcxy x 被控系統(tǒng)被控系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋：引入狀態(tài)反饋：nrk1cxy bka-閉環(huán)狀態(tài)閉環(huán)狀態(tài)(系統(tǒng)系統(tǒng))矩陣矩陣閉環(huán)特征多項(xiàng)式閉環(huán)特征多項(xiàng)式bvxbkakxvbaxx)()(kxvu)(bkasi定理：定理：用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的的充要條件充要條件是：被控系統(tǒng)是：被控系統(tǒng)能控能控。 證明：充分性設(shè)被控系統(tǒng)能控證明：充分性設(shè)被控系統(tǒng)能控 任意配置極點(diǎn)任意配置極點(diǎn)。 被控系統(tǒng)能控，一定存在被控系統(tǒng)能控，一定存在

10、將將( a,b) 能控標(biāo)準(zhǔn)型能控標(biāo)準(zhǔn)型。 xpx1xcyubxax .12101100001000010naaaapapa1101221201111101qnqqnncpctpbb100引入狀態(tài)反饋，其中引入狀態(tài)反饋，其中其中：其中：110nkkkkxcyvbxkbax )(.),(bkba是能控標(biāo)準(zhǔn)型是能控標(biāo)準(zhǔn)型112211001000001000010nnkakakakakba 結(jié)論：結(jié)論：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。xkvu)()()(0011111kaskaskasnnnn)()(kbasis*0*11*121*)()()(asasasssssannnn)(

11、)(ss希望的特征多項(xiàng)式：希望的特征多項(xiàng)式：狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：令令 本店經(jīng)營各類毛絨玩具禮品、公仔、靠墊、掛件等本店經(jīng)營各類毛絨玩具禮品、公仔、靠墊、掛件等等，支持批發(fā)零售，歡迎來樣看樣定做生產(chǎn)。為了賺人等，支持批發(fā)零售，歡迎來樣看樣定做生產(chǎn)。為了賺人氣，本店所有商品批發(fā)價(jià)銷售，超低秒殺！雖然我們的氣，本店所有商品批發(fā)價(jià)銷售，超低秒殺！雖然我們的信譽(yù)不高，但我們會(huì)以誠信為本，為您提供質(zhì)高價(jià)廉的信譽(yù)不高，但我們會(huì)以誠信為本，為您提供質(zhì)高價(jià)廉的商品和優(yōu)質(zhì)的服務(wù)！祝您購物愉快！商品和優(yōu)質(zhì)的服務(wù)！祝您購物愉快！ 歡迎大家來逛逛歡迎大家來逛逛【揚(yáng)州五亭龍玩具總動(dòng)員揚(yáng)州五亭龍

12、玩具總動(dòng)員】 個(gè)人小廣告：個(gè)人小廣告：1, 2 , 1 , 0 ,*niaakiii可任意配置極點(diǎn)?？扇我馀渲脴O點(diǎn)。 pkk 能控標(biāo)準(zhǔn)型能控標(biāo)準(zhǔn)型可直接求出可直接求出uvkxvkpxvkx )()()(sbkasikbasi方法一方法一:求狀態(tài)反饋求狀態(tài)反饋矩陣矩陣k的步驟的步驟(規(guī)范規(guī)范算法算法)第一步：計(jì)算第一步：計(jì)算a的特征多項(xiàng)式，即的特征多項(xiàng)式，即第二步：計(jì)算由第二步：計(jì)算由 所決定的希所決定的希望特征多項(xiàng)式，即望特征多項(xiàng)式，即0111asasasasinnn,21n第三步：計(jì)算第三步：計(jì)算1*11*10*0nnaaaaaak*0*11*121*)()()(asasasssssannn

13、nk第四步：計(jì)算變換矩陣第四步：計(jì)算變換矩陣11111111nnnaaababbap第五步：第五步：求求p第六步：計(jì)算狀態(tài)反饋矩陣第六步：計(jì)算狀態(tài)反饋矩陣pkk 方法二方法二:求解狀態(tài)反饋求解狀態(tài)反饋矩矩陣的步驟陣的步驟驗(yàn)證被控系統(tǒng)的能控性驗(yàn)證被控系統(tǒng)的能控性求閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：求閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：求希望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：求希望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式： 令令)()(ssk)()(bkasis*0*11*121*)()()(asasasssssannnn例例5-1：要求通過狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)配置在要求通過狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)配置在解：解： .能控標(biāo)準(zhǔn)型能控可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)能控標(biāo)準(zhǔn)型能控可任

14、意配置閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)設(shè)210kkkk xyuxx001,100320100010j1, 23 , 21 134426404222111000aakaakaak.ssssssasi23320100123464)1)(1)(2()(23sssjsjsss144k1/s1/s1/s41234u3x2xyx 12k1k0k3x xyvxbvxbkax001,100464100010)(.被控系統(tǒng)被控系統(tǒng)狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋 00011100,01 10110 xxu yx 31001100012rankbaabbrankranksc31, 23 , 21j例例5-2:要求通過狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)配置在要求通過狀

15、態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)配置在解解 (1)受控系統(tǒng)的狀態(tài)可控可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)。受控系統(tǒng)的狀態(tài)可控可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)。210kkkk (2) 設(shè)設(shè)110011210kkkbka)() 12()2(110011)()(21010203210kkkskkskssskkksbkasisa(3)(4)令令3, 3, 2881242210210100kkkkkkkkk884)31)(31)(2()(23sssjsjsss)()(ss332k(5)vxbvxbkax001110011332)(xcxy110閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式:1/s1/s1/s233-+yv1x2x3x 3x2x 1x

16、(6)狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋bbkasicsg1)()(12233101 111000110124sssss (7) 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：5.4 狀態(tài)反饋對系統(tǒng)零極點(diǎn)的影響狀態(tài)反饋對系統(tǒng)零極點(diǎn)的影響設(shè)單輸入設(shè)單輸入-單輸出系統(tǒng)：單輸出系統(tǒng)：已知已知(a,b,c,d)能控，則經(jīng)過將能控，則經(jīng)過將(a,b,c,d)化為能控型化為能控型xpx1udxcyubxax .),(dcbabuaxxducxy12101100001000010naaaapapa1000b110ncdd dasasasssssgnnnnnnn0111012211)(0111001110)()()(asasasda

17、sdadssgnnnnnnn引入狀態(tài)反饋引入狀態(tài)反饋：dvxkdcyvbxkbax)( )(.110nkkkk設(shè)設(shè)：oxkvu11221100100001000010nnkakakakakba1000b111100nnkdkdkdkdc11100111001110011100()()( )()()()()()()nnnknnnnnnnnnnnndksdkg sdsaksakdsdasdasaksak結(jié)論：結(jié)論：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn),只改變傳遞函數(shù)分母部分的多項(xiàng)式，通過對只改變傳遞函數(shù)分母部分的多項(xiàng)式，通過對k陣的陣的調(diào)節(jié)，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。調(diào)節(jié)，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)極

18、點(diǎn)的任意配置。yx 12xus112s例例5-3: 控制系統(tǒng)控制系統(tǒng) 如圖如圖a所示。其中系統(tǒng)的兩個(gè)狀所示。其中系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量都是可以測量的。態(tài)變量都是可以測量的。圖圖a1.試建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。試建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。2.當(dāng)所有狀態(tài)變量都用于反饋時(shí)當(dāng)所有狀態(tài)變量都用于反饋時(shí),確定合適的確定合適的狀態(tài)反饋矩陣狀態(tài)反饋矩陣k ,使系統(tǒng)對于階躍輸入的使系統(tǒng)對于階躍輸入的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為0 ,超調(diào)量超調(diào)量%3% 。 解解：1.由結(jié)構(gòu)圖可得由結(jié)構(gòu)圖可得:122222121212)(2)() 1(12)()()()(1)()(xyuxxsusxsssusxxxsxssxssxs

19、xxyuxx01201010 2. 2220abbsc 受控系統(tǒng)的狀態(tài)可控可任意配置受控系統(tǒng)的狀態(tài)可控可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)。設(shè)設(shè): 222222, 11122215 . 12)(66. 075. 0175. 0745. 0%3%2)21 (2121)()(2nnnnnnnnsssssjjseksksksksbkasis取nsrankc 221kkk 令令)()(ss得：得：215 . 1,2221nnkk56. 012121)0(0)(1 lim)(lim)()(1)()()()(5 . 12205 . 1101)()(2120022121kkkssrssseessvsysvsesss

20、sbbkasicsnnssnnnn1. 9-29, 9-322.控制系統(tǒng)控制系統(tǒng) 如圖如圖2所示。所示。3x2xyx 1u12s55ss1ck圖圖2試用狀態(tài)反饋的方法試用狀態(tài)反饋的方法,使系統(tǒng)超調(diào)量使系統(tǒng)超調(diào)量%=4.3% ,調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)時(shí)間時(shí)間ts=5.65(=2%),使系統(tǒng)對于階躍輸入的穩(wěn)態(tài)使系統(tǒng)對于階躍輸入的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為跟蹤誤差為0 。(設(shè)第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)s3=-5)求求:(1) 狀態(tài)反饋矩陣狀態(tài)反饋矩陣k 。(2) 討論討論kc值對閉環(huán)反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性影響。值對閉環(huán)反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性影響。5.5 輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置輸出反饋狀態(tài)微分輸出反饋狀態(tài)微分設(shè)多輸入單輸

21、出系統(tǒng)：設(shè)多輸入單輸出系統(tǒng)：cxyhybuaxx,cxybuxhcax,)(x bai/schuy-+xx 定理：由輸出至的反饋任意配置極點(diǎn)定理：由輸出至的反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是被控系統(tǒng)能觀的充要條件是被控系統(tǒng)能觀。 證明：運(yùn)用對偶原理：證明：運(yùn)用對偶原理：若若(a,b,c)能觀，則能觀，則 能控，可由狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置：能控，可由狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置：可求出可求出h 。 x ),(tttbca)()()(*ahcaiatttth)()( )()(*ahcaihcaihcaittttttt輸出反饋至參考輸入的極點(diǎn)配置輸出反饋至參考輸入的極點(diǎn)配置bai/scfv-+引入輸出反饋：引入輸出

22、反饋：1 prffyvuy(),xabfc xbvycxuxx 5.6 全維狀態(tài)觀測器及其設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測器及其設(shè)計(jì)nrxnxr重構(gòu)狀態(tài)的模擬系統(tǒng)叫狀態(tài)觀測器，重構(gòu)狀態(tài)的模擬系統(tǒng)叫狀態(tài)觀測器，它的輸出就是狀態(tài)估計(jì)值，用它的輸出就是狀態(tài)估計(jì)值，用 表示之。表示之。被控系統(tǒng)狀態(tài)被控系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)狀態(tài)估計(jì)狀態(tài)全維狀態(tài)觀測器。全維狀態(tài)觀測器。x bi/sca觀測器觀測器k-xuy要求：要求：v帶觀測器的閉環(huán)系統(tǒng)x x )()( limtxtxt被控系統(tǒng)被控系統(tǒng)被控系統(tǒng)：被控系統(tǒng)：模擬系統(tǒng)模擬系統(tǒng)：由于：由于：(1)cxybuaxxxcybuxax)( )(00txtx0 xx1.開環(huán)狀態(tài)觀測器的構(gòu)成開環(huán)

23、狀態(tài)觀測器的構(gòu)成開環(huán)狀態(tài)觀測器特點(diǎn)：開環(huán)狀態(tài)觀測器特點(diǎn)：1）具有與）具有與被被控系統(tǒng)完全相同的動(dòng)態(tài)方程。控系統(tǒng)完全相同的動(dòng)態(tài)方程。2）與）與被被控系統(tǒng)具有同一個(gè)輸入量控系統(tǒng)具有同一個(gè)輸入量u(t) 。3）它的狀態(tài)變量都能被量測）它的狀態(tài)變量都能被量測。hca-觀測器的系統(tǒng)矩陣觀測器的系統(tǒng)矩陣qnrh-觀測器的輸出反饋矩陣觀測器的輸出反饋矩陣(2)xcyyyhbuxax,)()(xxhcbuxaxhybuxhca)(2. 全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)觀測器存在的條件：觀測器存在的條件：(2)-(1)可得：可得：令令其解為：其解為：0)(limxxt)( )(00txtx)(xxhca

24、xx xxxxhcax)()( )(00)(0txtxexxtthca當(dāng)輸出反饋當(dāng)輸出反饋起作用起作用，可，可選擇，使選擇，使當(dāng)輸出反饋當(dāng)輸出反饋不起作用不起作用。 的選擇：的選擇：要求：觀測器的響應(yīng)速度大于狀態(tài)反饋要求：觀測器的響應(yīng)速度大于狀態(tài)反饋 系統(tǒng)的響應(yīng)速度系統(tǒng)的響應(yīng)速度。 xx( )()( )aiahca)( )(00txtx)( )(txtx)( )(00txtx)( )(txtxi/su-+i/s+hkv-狀態(tài)反饋部分狀態(tài)反饋部分觀測器部分觀測器部分xy-x xx y (狀態(tài)觀測器及其實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)觀測器及其實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖)定理：定理：若被控系統(tǒng)若被控系統(tǒng)(a,b,c)完全能觀完全能觀測測，則可，則可用如下的全維觀測器對被控系統(tǒng)狀態(tài)來進(jìn)行用如下的全維觀測器對被控系統(tǒng)狀態(tài)來進(jìn)行估計(jì)：估計(jì)：按任意配置極點(diǎn)的要求來選擇，以決定按任意配置極點(diǎn)的要求來選擇，以決定