用彈性中心法計算對稱無鉸拱

1、7.7用彈性中心法計算對稱無鉸拱用彈性中心法計算對稱無鉸拱一、彈性中心一、彈性中心為了簡化計算，采用以下兩項簡化措施：為了簡化計算，采用以下兩項簡化措施： 第一選取對稱的基本結(jié)構(gòu)第一選取對稱的基本結(jié)構(gòu) 力法方程簡化為兩組獨立的方力法方程簡化為兩組獨立的方程，即程，即 00p2222121p1212111xxxx0p3333 xfpfpabab對對稱稱軸軸x1x3x2x2 第二項簡化措施是利用剛臂進(jìn)一步使余下的一對副系數(shù)第二項簡化措施是利用剛臂進(jìn)一步使余下的一對副系數(shù) 12和和 21也等于零也等于零，從而使力法方程進(jìn)一步簡化為三個獨立的一，從而使力法方程進(jìn)一步簡化為三個獨立的一元一次方程：元一次

2、方程：000p3333p2222p1111xxx下面，說明如何利用剛臂來達(dá)到上下面，說明如何利用剛臂來達(dá)到上述簡化目的述簡化目的 。 第一步第一步，把原來的無鉸拱換成帶剛，把原來的無鉸拱換成帶剛臂的無鉸拱臂的無鉸拱,這個帶剛臂的無鉸拱與這個帶剛臂的無鉸拱與原來的無鉸拱是等效的，可以相互原來的無鉸拱是等效的，可以相互代替。代替。 fpabei=co第二步第二步，選取基本體系。將帶剛臂的無鉸拱在剛臂下端，選取基本體系。將帶剛臂的無鉸拱在剛臂下端o處處切開。切開。 第三步第三步，確定剛臂的長度，也就是確定剛臂端點，確定剛臂的長度，也就是確定剛臂端點o的位置。的位置。 sgaffseaffseimmd

3、dd2q1q2n1n2112副系數(shù)副系數(shù) 12的算式如下：的算式如下： fpabei=cofpabkcxyyysx1x1x2x2x3x3o00d)() 1 (2112seiyys得得 seiyseiysd1dcos,sin,sin,cos,0, 0, 1q3n33q2n22q1n11ffxmffyymffms式中，式中，ys為剛臂長度；為剛臂長度； 為為截面處拱軸切線與水平線之截面處拱軸切線與水平線之間的夾角，在右半拱取正，間的夾角，在右半拱取正，左半拱取負(fù)。左半拱取負(fù)。 xxxyyyyyskkkx1=1x1=1x2=1x2=1x3=1x3=1x 令令 12= 21=0，便可得到剛臂長度，便可

4、得到剛臂長度ys為為 為了形象地理解上式的幾何意義，設(shè)想沿拱軸線作寬度等為了形象地理解上式的幾何意義，設(shè)想沿拱軸線作寬度等于于1/ei的圖形，則的圖形，則ds/ei代表此圖中的微面積，而式（代表此圖中的微面積，而式（7-14）就）就是計算這個圖形面積的形心計算公式。由于此圖形的面積與結(jié)是計算這個圖形面積的形心計算公式。由于此圖形的面積與結(jié)構(gòu)的彈性性質(zhì)構(gòu)的彈性性質(zhì)ei有關(guān)，故稱它為彈性面積圖，它的形心則稱為有關(guān)，故稱它為彈性面積圖，它的形心則稱為彈性中心彈性中心。 seiseiyysd1d(7-14) 如果先按式（如果先按式（7-14）求出）求出ys，即確定彈性中心的位置，并，即確定彈性中心的位

5、置，并將剛臂端點引至彈性中心，然后取形如圖將剛臂端點引至彈性中心，然后取形如圖7-37d所示帶剛臂的所示帶剛臂的基本體系，則力法方程中的全部副系數(shù)都等于零。這一方法基本體系，則力法方程中的全部副系數(shù)都等于零。這一方法就稱為就稱為彈性中心法彈性中心法。 ysxyydso彈性中心彈性中心ei1二、荷載作用下的計算二、荷載作用下的計算力法方程簡化為式力法方程簡化為式 000p3333p2222p1111xxx 當(dāng)計算系數(shù)和自由項時，可忽略軸向變形和剪切變形的當(dāng)計算系數(shù)和自由項時，可忽略軸向變形和剪切變形的影響，只考慮彎曲變形一項。但當(dāng)拱軸線接近合理拱軸時，影響，只考慮彎曲變形一項。但當(dāng)拱軸線接近合理

6、拱軸時，或拱高或拱高fl/5且拱頂截面高度且拱頂截面高度hcl/10時，還需時，還需考慮軸力對考慮軸力對 22的影響。即的影響。即 seimmseimmseimmseixseimseaseiyyseafseimseiseimsddddddcosd)(ddd1dp3p3p2p2p1p1223332222n22222111 由力法方程算出多余未知力由力法方程算出多余未知力x1、x2和和x3后，即可用隔離后，即可用隔離體的平衡條件或內(nèi)力疊加公式體的平衡條件或內(nèi)力疊加公式參見單位未知力引起的內(nèi)力表參見單位未知力引起的內(nèi)力表達(dá)式（達(dá)式（d）求得求得np32nqp32qp321sincoscossin)(

7、fxxffxxfmxxyyxxms式中，式中，mp、fqp和和fnp分別為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下該截面的分別為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下該截面的彎矩、剪力和軸力。彎矩、剪力和軸力。 彈性中心法可以推廣到適用于任何形狀的三次彈性中心法可以推廣到適用于任何形狀的三次超靜定的閉合結(jié)構(gòu)，是一種具有普遍意義的方法。超靜定的閉合結(jié)構(gòu)，是一種具有普遍意義的方法。 【例【例7-14】試用彈性中心法計算圖】試用彈性中心法計算圖7-40a所示圓拱直墻剛架的彎所示圓拱直墻剛架的彎矩矩ma和和mc。設(shè)。設(shè)ei=常數(shù)。常數(shù)。 解：此剛架為三次超靜定結(jié)構(gòu)，圓拱部分承受徑向荷載。因解：此剛架為三次超靜定結(jié)構(gòu)，圓拱部分承受徑向荷載。

8、因為為 xqsqdcos)d(yqsqdsin)d(由于荷載對稱，故反對稱力由于荷載對稱，故反對稱力x3=0 qqrrabcdsqdsqdssin qdscos qdsdxdydsxyysx1x1x2x2x3x3基本體系基本體系(1)求彈性中心位置求彈性中心位置ryeireiyyeirreiseiseiyyrrrrs81. 0d2d2d2d)cos1 (2d1d220220qqrrabcdsqdsqdssin qdscos qdsdxdydsxyysx1x1x2x2x3x3基本體系基本體系(2)計算系數(shù)和自由項計算系數(shù)和自由項由隔離體的平衡條件建立彎矩方程為由隔離體的平衡條件建立彎矩方程為1）

9、在）在x1=1作用下作用下直、曲桿段直、曲桿段 11m2）在）在x2=1作用下作用下 曲桿段曲桿段 2(1cos )0.81(0.19cos )smyyrrr直桿段直桿段 ryyyms81. 02qqdsdxdydsxyysx1x1x2x2x3x3基本體系基本體系x2 =1ysy2m3）在荷載作用下）在荷載作用下曲桿段曲桿段 222p)cos1 (2)sin(2qrrqm)cos1 (2qr直桿段直桿段 2222pqyqrm據(jù)此，可求得系數(shù)和自由項為據(jù)此，可求得系數(shù)和自由項為eiryeireiseimrr14. 5d12d12d2202111qqqqysyrmp mp(曲桿段曲桿段)(直桿段直

10、桿段) 23222222220222.04d(0.19-cos )d(0.81 ) drrmrsrryryeieieieieiqryqyqreirqreiseimmrr3222202p1p147. 4d)22(1-2d)cos-(11-2deiqryqyqrryeirqrreiseimmrr4222202p2p243. 2d)22()81. 0(-2d)cos-(1)cos-(0.19-2d(3)求多余未知力求多余未知力x1和和x22311p1187. 014. 547. 4qrreieiqrxqrreieiqrx14. 104. 243. 23422p22(4)根據(jù)疊加公式，求得根據(jù)疊加公式

11、，求得（外側(cè)受拉）2222p2127. 02)2(2)81. 02(14. 187. 0)(qrrqqrrrqrqrmyyxxmsa22120.871.140.810.05csmxx yqrqrrqr （外側(cè)受拉）三、溫度變化時的計算三、溫度變化時的計算無鉸拱在溫度變化時，將會產(chǎn)生明顯的內(nèi)力。設(shè)圖無鉸拱在溫度變化時，將會產(chǎn)生明顯的內(nèi)力。設(shè)圖7-41a所示所示對稱無鉸拱的外側(cè)溫度升高對稱無鉸拱的外側(cè)溫度升高t1，內(nèi)側(cè)溫度升高，內(nèi)側(cè)溫度升高t2。力法計。力法計算時仍采用彈性中心法，其基本體系如圖算時仍采用彈性中心法，其基本體系如圖7-41b所示。由于溫所示。由于溫度變化對稱于度變化對稱于y軸，因此

12、有軸，因此有x3=0，力法方程簡化為，力法方程簡化為 0022221111ttxx（7-16） xxysfl/2l/2yy+t1+t1+t2+t2x1x1x2x2x3x3基本體系基本體系主系數(shù)計算同式（主系數(shù)計算同式（7-15），自由項為），自由項為sftshmtiiitddn0(f)分別把分別把 、 和和 、 代入式代入式（f），得），得11m01nfsyym2cosn2fhsttd1seaseiyyltxxsdcosd)(, 022021于是有于是有 這表明，當(dāng)全拱內(nèi)外側(cè)溫度均勻改變時，在彈性中心處只這表明，當(dāng)全拱內(nèi)外側(cè)溫度均勻改變時，在彈性中心處只有水平多余力有水平多余力x2。當(dāng)溫度升高

13、時，。當(dāng)溫度升高時，x2為正方向，使拱截面內(nèi)產(chǎn)為正方向，使拱截面內(nèi)產(chǎn)生壓力；溫度降低時，生壓力；溫度降低時，x2為反方向，使拱截面內(nèi)產(chǎn)生拉力。對為反方向，使拱截面內(nèi)產(chǎn)生拉力。對于混凝土拱，應(yīng)注意避免由于降溫引起的拉力使拱產(chǎn)生裂縫。于混凝土拱，應(yīng)注意避免由于降溫引起的拉力使拱產(chǎn)生裂縫。 當(dāng)多余未知力確定以后，拱上任意截面的內(nèi)力均可按式（當(dāng)多余未知力確定以后，拱上任意截面的內(nèi)力均可按式（e） （令荷載項為零）求出。（令荷載項為零）求出。 混凝土的收縮對超靜定結(jié)構(gòu)的影響與溫度均勻下降的情混凝土的收縮對超靜定結(jié)構(gòu)的影響與溫度均勻下降的情況相似，故可用溫度均勻變化的計算方式來處理?；炷恋臎r相似，故可用

14、溫度均勻變化的計算方式來處理?；炷恋臏囟染€膨脹系數(shù)為溫度線膨脹系數(shù)為a =0.00001，而一般混凝土的收縮率，而一般混凝土的收縮率a t約為約為0.025%，相當(dāng)于溫度均勻下降，相當(dāng)于溫度均勻下降25。若拱體的混凝土是分段。若拱體的混凝土是分段分期澆筑的，則其收縮的影響通常相當(dāng)于溫度下降分期澆筑的，則其收縮的影響通常相當(dāng)于溫度下降1015。 四、支座移動時的計算四、支座移動時的計算力法方程為力法方程為 000333322221111cccxxx式中，主系數(shù)計算同式中，主系數(shù)計算同式（式（7-15），自由項），自由項為為cfiicr（g） xxyyl/2l/2faabb ysx1x1x2x2x3x3基本體系基本體系求出各單位多余力作用于基本結(jié)求出各單位多余力作用于基本結(jié)構(gòu)時與支座位移相應(yīng)的支座反力構(gòu)時與支座位移相應(yīng)的支座反力（圖（圖7-42c），代入式（），代入式（g），得），得 )1(1c2()1()cssfyafya blblc2)12(3x1 =1x2 =1x3 =11001010l/2f-ysseixblxseaseiyyayfxeisxcssccd2dcosd)()(d233332222221111于