高中拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

1、 5.4 拋物線拋物線第一節(jié)第一節(jié) 拋物線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程和和幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)f和一條定直線和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線拋物線。定點(diǎn)定點(diǎn)f叫做拋物線的叫做拋物線的焦點(diǎn)焦點(diǎn)。定直線定直線l 叫做拋物線的叫做拋物線的準(zhǔn)線準(zhǔn)線。 一、定義一、定義fmlnd的軌跡是拋物線拋物線。則點(diǎn)e=e=mdmf, 1=新課講解二、標(biāo)準(zhǔn)方程二、標(biāo)準(zhǔn)方程fmln如何建立直角如何建立直角 坐標(biāo)系坐標(biāo)系？xyofmlnk設(shè)設(shè)kf= p則則f（ ，0），），l ：x = - p2p2設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x ,y），）， 由定義可由定

2、義可 知，知，化簡得化簡得 y2 = 2px（p0）2)2(22pxypx= 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。其中其中p為正常數(shù)，它的幾何為正常數(shù)，它的幾何意義是意義是焦準(zhǔn)距焦準(zhǔn)距 xyofmlnk(m,n)fmlnk若頂點(diǎn)在若頂點(diǎn)在o1(m,n)，則方程，則方程為為(y-n)2= 2p(x-m) 圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)準(zhǔn)準(zhǔn) 線線lfyxolfyxolfyxolfyxo2px =2px=2py=2py =)0 ,2(pf)0 ,2(pf )2, 0(pf)2, 0(pfy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0

3、）x2 = -2py（p0）四種拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的異同四種拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的異同:共同點(diǎn)共同點(diǎn): (1)原點(diǎn)在拋物線上；原點(diǎn)在拋物線上； (2)對稱軸為對稱軸為x軸、軸、y軸；軸； (3)準(zhǔn)線與對稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)分別對稱于原點(diǎn)準(zhǔn)線與對稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)分別對稱于原點(diǎn),與原點(diǎn)的距離等于一次項(xiàng)前面的系數(shù)的絕對值的與原點(diǎn)的距離等于一次項(xiàng)前面的系數(shù)的絕對值的1/4；即焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對值的一半。即焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對值的一半。不同點(diǎn)不同點(diǎn): (1)對稱軸為對稱軸為x軸時，方程右端為軸時，方程右端為2px，左端為，左端為y2 ；對稱軸為對稱軸為y軸時，方程右端為軸時，

4、方程右端為2py，左端為，左端為x2 。 (2)開口方向與開口方向與x軸軸(或或y軸軸)的的正正半軸相同時，焦點(diǎn)在半軸相同時，焦點(diǎn)在x軸軸(或或y軸軸)的的正正半軸上，方程的右端取半軸上，方程的右端取+號；號； 開口方向與開口方向與x軸軸(或或y軸軸)的的負(fù)負(fù)半軸相同時，焦點(diǎn)在半軸相同時，焦點(diǎn)在x軸軸(或或y軸軸)的的負(fù)負(fù)半軸上，方程的右端取半軸上，方程的右端取-號。號。o(0,0)abf(p/2,0)l:x= -p/2kpy2=2pxo1(m,n)abf(h+p/2,k)l:x=h-p/2kp(y-n)2=2p(x-m)頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在點(diǎn)頂點(diǎn)在點(diǎn)(m,n)拋物線草圖畫法：拋物線草圖

5、畫法：o(0,0)abf(0,p/2)l:y= -p/2kpx2=2py頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在點(diǎn)頂點(diǎn)在點(diǎn)(m,n)o1(m,n)abf(h,k-p/2)kp(x-m)2= -2p(y-n)l:y= k+p/2 m (x , y) y x f(4,0) -4 -5 例例1 1、點(diǎn)、點(diǎn)m m與點(diǎn)與點(diǎn)f f（4 4，0 0）的距離比它到直線）的距離比它到直線l l：x x5 50 0的距離小的距離小1 1，求點(diǎn)，求點(diǎn)m m的軌跡方程的軌跡方程 如圖可知原條件等價于m點(diǎn)到f（4，0）和到x4距離相等，由拋物線的定義，點(diǎn)m的軌跡是以f（4，0）為焦點(diǎn)，x4為準(zhǔn)線的拋物線所求方程是y216x分析：分析

6、： 例題講解例例2 2、已知拋物線方程為、已知拋物線方程為x=ayx=ay2 2（a0)a0)，討論拋物，討論拋物線的開口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？線的開口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？解：拋物線的方程化為：解：拋物線的方程化為：y2= x1a即2p=1 a4a1焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ，0），準(zhǔn)線方程是： x=4a1當(dāng)當(dāng)a0時時, ,拋物線的開口向右拋物線的開口向右p2=14a例例3 3、求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：、求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1) y(1) y2 2 = 6x= 6x(2) y = (2) y = 6x6x2 2(4)(4)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是f f（0

7、0，-2-2），求它的），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。標(biāo)準(zhǔn)方程。(3) y = x(3) y = x2 2-4x+3-4x+3(5)y(5)y2 2-mx-2y+4m+1=0-mx-2y+4m+1=0的準(zhǔn)線為的準(zhǔn)線為x=3x=3，求，求m m。例例4 4、拋物線、拋物線 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為f f(1)(1)若斜率為若斜率為1 1的直線經(jīng)過點(diǎn)的直線經(jīng)過點(diǎn)f f，與拋物線交于，與拋物線交于a a、b b兩點(diǎn)，求線段兩點(diǎn)，求線段abab的長。的長。(2)(2)拋物線上有三點(diǎn)拋物線上有三點(diǎn)a,b,ca,b,c，且，且fa+fb+fcfa+fb+fc =0=0，求，求|fa|+|fb|+|fc|fa|+|fb|+|f

8、c|。xy42=1 1、求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：、求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： （1 1）y y2 2 = -20 x = -20 x （2 2）y=2xy=2x2 2（3 3）2y2y2 2 +5x =0 +5x =0 （4 4）x x2 2 +8y =0 +8y =0焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程（1）（2）（3）（4）（-5，0）x= 5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2注意：求拋物線的焦點(diǎn)注意：求拋物線的焦點(diǎn)一定要先把拋物線化為一定要先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式跟蹤練習(xí)2 2、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：、根據(jù)下列條件，寫

9、出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1 1）焦點(diǎn)是）焦點(diǎn)是f f（3 3，0 0）（2 2）準(zhǔn)線方程）準(zhǔn)線方程 是是x = x = 41（3 3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2 2解：解：y2 =12x解：解：y2 =x解：解：y2 =4x或或y2 = -4x 或或x2 =4y或或x2 = -4y例例5 5、求過點(diǎn)、求過點(diǎn)a a（-3-3，2 2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。aoyx解：解：1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 =2py，把，把a(bǔ)（-3，2）代入，）代入， 得得p= 49 2）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2 = -2px，把，把a(bǔ)（-

10、3，2）代入，）代入， 得得p= 32拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 = y或或y2 = x 。2934 1. 1.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)p(4,p(4,2)2)，求拋物線，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。的標(biāo)準(zhǔn)方程。 提示：注意到提示：注意到p為第四象限的點(diǎn)，所以可以設(shè)拋物為第四象限的點(diǎn)，所以可以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px或或x2=-2pyyxxyppyxypxxpyp8, 4,212, 422)2, 4(22212212 = = = = = = = = = = = 或或所所求求為為可可得得代代入入，將將或或方方程程為為位位于于第第四四象象限限，設(shè)設(shè)所所求求點(diǎn)點(diǎn)解

11、解： 跟蹤練習(xí))2, 1 ( o4=x2. 求頂點(diǎn)在求頂點(diǎn)在，準(zhǔn)線，準(zhǔn)線為為的拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)。的拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)。例例6 6、已知拋物線形古城門底部寬、已知拋物線形古城門底部寬12m,12m,高高6m6m，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程。引申引申:(1):(1)一輛貨車寬一輛貨車寬4m,4m,高高4m4m，問能否通，問能否通過此城門過此城門? ?(2)(2)若城門為雙向行道，那么該貨車能否若城門為雙向行道，那么該貨車能否通過呢？通過呢？三、拋物線的幾何性質(zhì)三、拋物線的幾何性質(zhì)xfmlnkyo對于y2=2px(p0)1、范圍：ryx), 02、對稱性：關(guān)于x軸對稱3、頂點(diǎn)：o(0,0)頂準(zhǔn)距=頂焦距=p/2，焦準(zhǔn)距=p4、離心率e=1xfa(x1,y1)la1kyo5、焦點(diǎn)弦性質(zhì)：b(x2,y2)