面角及其度量

1、3.23.2.4二面二面角及角及其度其度量量32.4二面角及其度量二面角及其度量 山體滑坡是一種常見的自然災(zāi)害甲、山體滑坡是一種常見的自然災(zāi)害甲、乙兩名科技人員為了測(cè)量一個(gè)山體的傾斜程乙兩名科技人員為了測(cè)量一個(gè)山體的傾斜程度，甲站在水平地面上的度，甲站在水平地面上的a處，乙站在山坡處，乙站在山坡斜面上的斜面上的b處，處，a、b兩點(diǎn)到直線兩點(diǎn)到直線l(水平地面水平地面與山坡的交線與山坡的交線)的距離的距離ac和和bd分別為分別為30 m和和40 m，cd的的長為長為60 m，ab的長為的長為80 m.問題問題1：平面：平面bcd與平面與平面acd的交線是直線的交線是直線cd嗎？嗎？提示：是提示：

2、是問題問題2：如何求水平地面與斜坡面所成的角：如何求水平地面與斜坡面所成的角？1二面角的相關(guān)概念二面角的相關(guān)概念(1)二面角及其平面角二面角及其平面角半平面半平面平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分， 都叫做半平面都叫做半平面二面角二面角從從 所組成的圖形叫做二所組成的圖形叫做二面角，面角， 叫做二面角的棱，叫做二面角的棱， 叫叫做二面角的面棱為做二面角的面棱為l，兩個(gè)面分別為，兩個(gè)面分別為，的二面角，的二面角，記作記作 ，若，若a，b，則二面角也可以記作，則二面角也可以記作平面角平面角在二面角在二面角l的棱上的棱上 ，在兩半平面內(nèi)分，在兩半平面內(nèi)分別作射線別作射

3、線oal，obl，則，則 叫做二面角叫做二面角l的平面角的平面角其中的每一其中的每一一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面這條直線這條直線每個(gè)半平面每個(gè)半平面lalb任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)oaob部分部分 (2)二面角的范圍二面角的范圍 設(shè)二面角為設(shè)二面角為，則，則 2直二面角直二面角 平面角是平面角是 的二面角叫直二面角的二面角叫直二面角 3二面角的度量二面角的度量 (1)分別在二面角分別在二面角 l的面的面，內(nèi)，作向量內(nèi)，作向量n1l，n2l，則可以用，則可以用n1，n2來度量二面角來度量二面角l. (2)設(shè)設(shè)m1，m2，則，則m1，m2與二面角與二面角l大大小小 或或 0180直角直

4、角相等相等互補(bǔ)互補(bǔ) 1二面角是圖形，它是由兩個(gè)半平面和一條棱構(gòu)二面角是圖形，它是由兩個(gè)半平面和一條棱構(gòu)成的成的 2二面角的大小通過平面角的大小來度量二面角的大小通過平面角的大小來度量 3將二面角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量的夾角求解將二面角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量的夾角求解時(shí)，應(yīng)注意二面角是銳角還是鈍角的判斷時(shí)，應(yīng)注意二面角是銳角還是鈍角的判斷 例例1如圖：如圖：abcd是正方形，是正方形，v是平面是平面abcd外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，且且vavbvcab，求二面角，求二面角avbc的余弦值的余弦值 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥先判斷先判斷vab，vbc為等邊三角形，為等邊三角形，取取vb的中點(diǎn)的中點(diǎn)e，連接，連接ae，

5、ce，再證明，再證明aec是二面角是二面角的平面角的平面角一點(diǎn)通一點(diǎn)通用定義求二面角的步驟：用定義求二面角的步驟：(1)作作(找找)出二面角的平面角；出二面角的平面角；(2)證明所作平面角即為所求二面角的平面角；證明所作平面角即為所求二面角的平面角；(3)解三角形求角解三角形求角1在本例中，若點(diǎn)在本例中，若點(diǎn)e為為vb的中點(diǎn)，求二面角的中點(diǎn)，求二面角eacb的的大小大小解：解：連接連接bd，記，記acbdo，則，則acbd.又又vaabvbbcvc，vbae，vbec，vb平面平面eac，aeec.連接連接eo，則，則eoac， 2.如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐vabcd中，底面中，底面abc

6、d是正方形，側(cè)面是正方形，側(cè)面vad是正三是正三角形，平面角形，平面vad底面底面abcd.(1)證明證明ab平面平面vad；(2)求面求面vad與面與面vdb夾角的正切夾角的正切解：解：(1)證明：證明：平面平面vad平面平面abcd，交線為，交線為ad.ab平面平面abcd，abad.ab平面平面vad. 例例2矩形矩形abcd中，中，ab4，ad3，沿對(duì)角線，沿對(duì)角線ac折起，使折起，使d在平面在平面abc上的射影上的射影e恰好落在恰好落在ab上，如圖所示，求上，如圖所示，求二面角二面角bacd的余弦值的余弦值3如圖所示，甲站在水庫底面上的點(diǎn)如圖所示，甲站在水庫底面上的點(diǎn)a處，乙站在水壩

7、斜面上的點(diǎn)處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)b處，處，從從a，b到直線到直線l(庫底與水壩的交線庫底與水壩的交線)的距離的距離ac和和bd分別為分別為a和和b，cd的長為的長為c，ab的長為的長為d.求庫底與水壩所成二面角的余弦值求庫底與水壩所成二面角的余弦值 例例3如圖，四棱錐如圖，四棱錐pabcd中，中，底面底面abcd為平行四邊形，為平行四邊形，dab60，ab2ad，pd底面底面abcd. (1)證明：證明：pabd； (2)若若pdad，求二面角，求二面角apbc的余弦值的余弦值 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥(1)先由先由bd2ad2ab2得到得到bdad，進(jìn)而證得進(jìn)而證得bd平面平面pad.(2)求出平

8、面求出平面apb的法向量的法向量n，平面，平面pbc的法向量的法向量m，由，由cosm，n求得求得 一點(diǎn)通一點(diǎn)通設(shè)設(shè)n1、n2分別是平面分別是平面、的法向量，則向量的法向量，則向量n1與與n2的夾角的夾角(或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面夾角的大小就是兩個(gè)平面夾角的大小 解題步驟如下：解題步驟如下：4(2012廣東高考廣東高考)如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐pabcd中，中，底面底面abcd為矩形，為矩形，pa平面平面abcd，點(diǎn)，點(diǎn)e在線段在線段pc上，上，pc平面平面bde.(1)證明：證明：bd平面平面pac；(2)若若pa1，ad2，求二面角，求二面角bpca的正切值的正切值解：解：(1)證明：證明：pa平面平面abcd，bd平面平面abcd，pabd.同理由同理由pc平面平面bde可證得可證得pcbd.又又papcp，bd平面平面pac.(2)如圖，分別以射線如圖，分別以射線ab，ad，ap