空間直線與平面位置關系的判斷與證明

1、空間直線空間直線 與平面位置與平面位置關系的判斷與證明關系的判斷與證明第一課時：第一課時：基本問題基本問題第一課時：第一課時：基本問題基本問題 課前導引課前導引 第一課時：第一課時：基本問題基本問題 課前導引課前導引 1. 用一個平面去截一個正方形得到用一個平面去截一個正方形得到的多邊形，可以是的多邊形，可以是_(將可能的將可能的序號都填上，其中：序號都填上，其中： 三角形；三角形； 四邊四邊形；形； 五邊形；五邊形； 六邊形；六邊形； 七邊形七邊形) 簡評簡評 本問題涉及到直線與平面位本問題涉及到直線與平面位置關系的判定與性質(zhì)置關系的判定與性質(zhì), ,學生應能根據(jù)所學學生應能根據(jù)所學立體幾何知

2、識熟練畫出正方體的各種截立體幾何知識熟練畫出正方體的各種截面，并能說清楚截面與正方體各表面的面，并能說清楚截面與正方體各表面的交線是如何畫出的交線是如何畫出的. . 簡評簡評 本問題涉及到直線與平面位本問題涉及到直線與平面位置關系的判定與性質(zhì)置關系的判定與性質(zhì), ,學生應能根據(jù)所學學生應能根據(jù)所學立體幾何知識熟練畫出正方體的各種截立體幾何知識熟練畫出正方體的各種截面，并能說清楚截面與正方體各表面的面，并能說清楚截面與正方體各表面的交線是如何畫出的交線是如何畫出的. .答案：答案： 2. 一個二面角的兩個面與另一個二一個二面角的兩個面與另一個二面角的兩個面分別垂直，則這兩個二面面角的兩個面分別垂

3、直，則這兩個二面角角 ( )a. 相等相等 b. 互補互補c. 相等或互補相等或互補 d. 大小關系不能確定大小關系不能確定 2. 一個二面角的兩個面與另一個二一個二面角的兩個面與另一個二面角的兩個面分別垂直，則這兩個二面面角的兩個面分別垂直，則這兩個二面角角 ( )a. 相等相等 b. 互補互補c. 相等或互補相等或互補 d. 大小關系不能確定大小關系不能確定 簡評簡評 要多從運動的角度來研究直要多從運動的角度來研究直線與直線、直線與平面、平面與平面的線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關系的空間形象各種位置關系的空間形象. 2. 一個二面角的兩個面與另一個二一個二面角的兩個面與另一個

4、二面角的兩個面分別垂直，則這兩個二面面角的兩個面分別垂直，則這兩個二面角角 ( )a. 相等相等 b. 互補互補c. 相等或互補相等或互補 d. 大小關系不能確定大小關系不能確定 簡評簡評 要多從運動的角度來研究直要多從運動的角度來研究直線與直線、直線與平面、平面與平面的線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關系的空間形象各種位置關系的空間形象.d 考點搜索考點搜索 考點搜索考點搜索 1. 畫圖是一個基本功畫圖是一個基本功. 要能熟練畫要能熟練畫出水平放置的平面圖形的直觀圖，畫出出水平放置的平面圖形的直觀圖，畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置空間兩條直線、直線和平面的各種位置關系的圖形

5、，能夠根據(jù)圖形想像它們的關系的圖形，能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關系位置關系. 2. 熟練掌握線線、線面、面面平行熟練掌握線線、線面、面面平行與垂直的各種判定方法以及性質(zhì)與垂直的各種判定方法以及性質(zhì). 3. 會用反證法證明簡單的問題會用反證法證明簡單的問題. 4. 能夠有選擇地使用向量方法和非能夠有選擇地使用向量方法和非向量方法解決空間直線與平面位置關系向量方法解決空間直線與平面位置關系的問題的問題. 鏈接高考鏈接高考 鏈接高考鏈接高考 ) ( ,2 , , ,)2007( 為則平行條棱與平面得該棱柱恰有使中取一點作為、從心的重為的中點、分別為、點中在三棱柱年湖北卷ppefpbghkabcgcb

6、bacbackhfecbaabc 例例11 d. c. b. a.bghk 鏈接高考鏈接高考 ) ( ,2 , , ,) 為則平行條棱與平面得該棱柱恰有使中取一點作為、從心的重為的中點、分別為、點中在三棱柱湖北卷ppefpbghkabcgcbbacbackhfecbaabc 例例11 d. c. b. a.bghkc所成角的大??；與平面求直線時當；平面求證：底面的中點、別是分、點中在三棱錐如圖浙江卷pbcpakpabodabcoppcacdokpabcababcp,21 )2( / ) 1 ( ., , )( 例例22的的重重心心？的的射射影影恰恰好好為為內(nèi)內(nèi)在在平平面面取取何何值值時時當當p

7、bcpbcok , )3( ./ (1)可得可得由由paod的的重重心心？的的射射影影恰恰好好為為內(nèi)內(nèi)在在平平面面取取何何值值時時當當pbcpbcok , )3( 法一法一 ./ (1)可得可得由由paod的的重重心心？的的射射影影恰恰好好為為內(nèi)內(nèi)在在平平面面取取何何值值時時當當pbcpbcok , )3( 法一法一 ., (2) 所所成成的的角角平平面面與與是是則則連連結結于于作作平平面面則則連連結結中中點點取取pbcododfdffpeofpoebcpeebc .30210arcsin,30210sin, .,/成角為成角為所所與平面與平面中中在在的大小等于的大小等于所成角所成角與平面與平

8、面又又pbcpaodofodfodfrtodfpbcpapaod , ,.,:(2) (3) bdpcpcobbdpbcobdfbpbcfpcdpbcofpbcof 內(nèi)的射影為直線內(nèi)的射影為直線在平面在平面直線直線三點共線三點共線、則則的重心的重心是是若若的中點的中點是是內(nèi)的射影內(nèi)的射影在平面在平面是是平面平面知知由由.,1,. 1,的重心的重心內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為在平面在平面正三棱錐正三棱錐為為三棱錐三棱錐時時當當反之反之即即pbcpbcopbcokkbcpb ),0 , 0 ,22(),0 ,22, 0(),0 , 0 ,22(,),(, acabaaaabxyzoxopo 則則設設如圖如

9、圖建立空間坐標系建立空間坐標系軸軸為非負為非負射線射線為原點為原點以以 法二法二 )., 0 , 0(,hphop則則設設 ./,/,21), 0 ,22(),21, 0 ,22( (1) pabodpaodpaodhapahaod平面平面又又 npanpanpanpbcaapaahapak ),cos(),71, 1, 1(),27, 0 ,22(,27,2,21 (2) 向量向量的法的法可求得平面可求得平面則則.30210arcsin,30210),cos(sin,.30210所成的角為所成的角為面面與平與平則則所成角為所成角為與平面與平面設設pbcpanpapbcpa ),22, 0(,

10、),31,62,62(),31,62,62( (3) hapbpbocpbcoghaaoghaagpbc 又又平面平面的重心的重心.,1, . 1,22, 031612222的重心的重心射影為射影為內(nèi)的內(nèi)的為平面為平面正三棱錐正三棱錐為為三棱錐三棱錐時時當當反之反之即即pbcpbcopbcokkahoapaahhapboc 方法論壇方法論壇 方法論壇方法論壇 1. 如何證兩條異面直線相互垂如何證兩條異面直線相互垂直：直：(1) 證明兩條異面直線所成角證明兩條異面直線所成角為為90；(2) 證明兩條異面直線的方證明兩條異面直線的方向向量相互垂直向向量相互垂直. 2. 如何證直線和平面相互平行：如

11、何證直線和平面相互平行：(1) 證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；相互平行；(2) 證明這條直線的方向向證明這條直線的方向向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行,或者這條直線的方向向量可以用這個或者這條直線的方向向量可以用這個平面內(nèi)的兩個向量的線性組合來表示平面內(nèi)的兩個向量的線性組合來表示;(3) 證明這條直線的方向向量和這個平證明這條直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直面的法向量相互垂直. 3. 如何證直線和平面垂直：如何證直線和平面垂直：(1)證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直；直；(2)

12、證明直線的方向量與這個平證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直；面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直；(3) 證明直線的方向量與這個平面的法向證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行量相互平行. 4. 如何證平面和平面相互垂直：如何證平面和平面相互垂直：(1)證明這兩個平面所成二面角的平面證明這兩個平面所成二面角的平面角為角為90；(2) 證明一個平面內(nèi)的一條證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面；直線垂直于另外一個平面；(3) 證明兩證明兩個平面的法向量相互垂直個平面的法向量相互垂直. 5. 如何證平面和平面互相平行：如何證平面和平面互相平行：(1) 證明一個平面內(nèi)兩相交直線都與另證

13、明一個平面內(nèi)兩相交直線都與另一個平面平行；一個平面平行；(2) 證明兩個平面的法證明兩個平面的法向量互相平行向量互相平行. 6. 如何做關于空間線面位置關系如何做關于空間線面位置關系的選擇題：工具演示、空間想象、邏的選擇題：工具演示、空間想象、邏輯推理相結合輯推理相結合. 長郡演練長郡演練 長郡演練長郡演練 1. 下列命題正確的是下列命題正確的是 ( ) a. 過平面外一點作此平面的垂面是過平面外一點作此平面的垂面是唯一的唯一的 b. 過直線外一點作此直線的平行平過直線外一點作此直線的平行平面是唯一的面是唯一的 c. 過直線外一點作此直線的垂線是過直線外一點作此直線的垂線是唯一的唯一的 d.

14、過平面的一條斜線作此平面垂面過平面的一條斜線作此平面垂面是唯一的是唯一的 長郡演練長郡演練 1. 下列命題正確的是下列命題正確的是 ( ) a. 過平面外一點作此平面的垂面是過平面外一點作此平面的垂面是唯一的唯一的 b. 過直線外一點作此直線的平行平過直線外一點作此直線的平行平面是唯一的面是唯一的 c. 過直線外一點作此直線的垂線是過直線外一點作此直線的垂線是唯一的唯一的 d. 過平面的一條斜線作此平面垂面過平面的一條斜線作此平面垂面是唯一的是唯一的d2. a, b異面異面, 則過則過a與與b垂直的平面垂直的平面( )a. 有且只有一個有且只有一個b. 可能存在可能不存在可能存在可能不存在c.

15、 有無數(shù)個有無數(shù)個d. 一定不存在一定不存在2. a, b異面異面, 則過則過a與與b垂直的平面垂直的平面( )a. 有且只有一個有且只有一個b. 可能存在可能不存在可能存在可能不存在c. 有無數(shù)個有無數(shù)個d. 一定不存在一定不存在 若存在若存在, 則必有則必有a與與b異面垂直異面垂直, 即若即若a與與b不垂直則不存在過不垂直則不存在過a與與b垂直的平面垂直的平面.2. a, b異面異面, 則過則過a與與b垂直的平面垂直的平面( )a. 有且只有一個有且只有一個b. 可能存在可能不存在可能存在可能不存在c. 有無數(shù)個有無數(shù)個d. 一定不存在一定不存在b 若存在若存在, 則必有則必有a與與b異面

16、垂直異面垂直, 即若即若a與與b不垂直則不存在過不垂直則不存在過a與與b垂直的平面垂直的平面.第二課時：第二課時：綜合問題綜合問題 課前導引課前導引 第二課時：第二課時：綜合問題綜合問題 課前導引課前導引 第二課時：第二課時：綜合問題綜合問題 1. 右圖是正方體的平面展開圖右圖是正方體的平面展開圖. 在這在這個個正方體正方體中，中，bm與與ed平行平行 cn與與be是異面直線是異面直線 cn與與bm成成60角角 dm與與bn垂直垂直以上四個命題中，正確命題的序號是以上四個命題中，正確命題的序號是( )a. b. c. d. 課前導引課前導引 第二課時：第二課時：綜合問題綜合問題 1. 右圖是正

17、方體的平面展開圖右圖是正方體的平面展開圖. 在這在這個個正方體正方體中，中，bm與與ed平行平行 cn與與be是異面直線是異面直線 cn與與bm成成60角角 dm與與bn垂直垂直以上四個命題中，正確命題的序號是以上四個命題中，正確命題的序號是( )a. b. c. d.c pmnlpnmlnlpmlmnpnlpm 2. 下列下列5個正方體圖形中，個正方體圖形中，l是正方體是正方體的一條對角線，點的一條對角線，點m、n、p分別為其所分別為其所在棱的中點，能得出在棱的中點，能得出l面面mnp的圖形的的圖形的序號是序號是 （寫出所有符合要求的圖（寫出所有符合要求的圖形序號）形序號） 解析解析 這是這

18、是2003年的一道高考題年的一道高考題.我們可以先畫出一個與我們可以先畫出一個與l 垂直的正六邊垂直的正六邊形截面，然后檢查過哪三點的截面就是形截面，然后檢查過哪三點的截面就是這個截面；而對于其他情況，要么畫出這個截面；而對于其他情況，要么畫出截面與正方體各表面的交線然后用三垂截面與正方體各表面的交線然后用三垂線定理判斷，要么建立空間直角坐標系線定理判斷，要么建立空間直角坐標系用向量法計算用向量法計算. 解析解析 這是這是2003年的一道高考題年的一道高考題.我們可以先畫出一個與我們可以先畫出一個與l 垂直的正六邊垂直的正六邊形截面，然后檢查過哪三點的截面就是形截面，然后檢查過哪三點的截面就是

19、這個截面；而對于其他情況，要么畫出這個截面；而對于其他情況，要么畫出截面與正方體各表面的交線然后用三垂截面與正方體各表面的交線然后用三垂線定理判斷，要么建立空間直角坐標系線定理判斷，要么建立空間直角坐標系用向量法計算用向量法計算.答案答案: 考點搜索考點搜索 考點搜索考點搜索 1. 探索性問題是近年來高考立體幾探索性問題是近年來高考立體幾何題的熱點題何題的熱點題. 通常要求考生探索在某平通常要求考生探索在某平面或某直線上是否存在一點滿足一定的面或某直線上是否存在一點滿足一定的條件條件. 2. 折疊問題經(jīng)常在高考卷中出現(xiàn)折疊問題經(jīng)常在高考卷中出現(xiàn). 3. 要求能夠證明三點共線和三線共要求能夠證明

20、三點共線和三線共點問題點問題. 鏈接高考鏈接高考 鏈接高考鏈接高考 例例11 (2006全國卷全國卷)正方體正方體abcd-a1b1 c1d1中中, p、q、r分別是分別是ab、ad、b1 c1的中點的中點. 那么正方體的過那么正方體的過p、q、r的截面圖形是的截面圖形是 ( ) (a)三角形三角形 (b)四邊形四邊形 (c)五邊形五邊形 (d)六邊形六邊形 鏈接高考鏈接高考 例例11 (2005全國卷全國卷)正方體正方體abcd-a1b1 c1d1中中, p、q、r分別是分別是ab、ad、b1 c1的中點的中點. 那么正方體的過那么正方體的過p、q、r的截面圖形是的截面圖形是 ( ) (a)

21、三角形三角形 (b)四邊形四邊形 (c)五邊形五邊形 (d)六邊形六邊形d 例例22 (2007年湖南卷年湖南卷)如圖如圖, 在底面是菱在底面是菱形的四棱錐形的四棱錐pabcd中中, 點點e在在pd上上, 且且pe:ed= 2: 1. (i) 證明證明pa平面平面abcd; (ii) 求以求以ac為棱為棱, eac與與dac為面的二面角為面的二面角的大小的大小: (iii) 在棱在棱pc上是否存在上是否存在一點一點f, 使使bf/平面平面aec ? 證明你的結論證明你的結論.,60 abc,2,apdpbaacpa 法一法一 (i)由由paab及及paad可得可得.(ii) 用三垂線法求得二面

22、角用三垂線法求得二面角 =30.() 證法一：先猜想證法一：先猜想f為棱為棱pc中點時，有中點時，有bf平面平面aec，然后證明，然后證明. 可取可取pe中點中點m，連連fm，則，則fmce.設設ac交交bd于于o，易證，易證bmoe，于是平面，于是平面bfm平面平面aec，則得，則得bf平平面面aec. 法二法二 decdaddpcdadcpbcbf2321 2121 acaeadaeacadad21232321 所以所以 共面共面, 則則bf/平面平面aec.acaebf, 法三法三 以以a為原點，直線為原點，直線ad、ap分別為分別為y軸、軸、z軸，過軸，過a點且垂直于平面點且垂直于平面

23、pad的直的直線為線為x軸建立空間直角坐標系，寫出各相軸建立空間直角坐標系，寫出各相關點坐標，然后設關點坐標，然后設 ，寫出向，寫出向量量 的坐標的坐標.pcpf bf./,23,21,21,aecbfpcfyxaeyacxbf平平面面中中點點時時為為所所以以易易得得當當可可求求得得令令 例例33 （2006年全國高考題）如圖，已年全國高考題）如圖，已知平行六面體知平行六面體abcda1b1c1d1的底面的底面abcd是菱形是菱形, 且且c1cb=c1cd=bcd, (1) 證明：證明：c1cbd；.?, )2( 111出出證證明明請請給給平平面面能能使使為為多多少少時時的的值值當當bdcca

24、cccd 第一類證法第一類證法(非向量方法非向量方法)：(1) 證明：連結證明：連結a1c1、ac和和bd交于交于o，連結，連結c1o.四邊形四邊形abcd是菱形，是菱形，,111111111bdocobdodcbcdccbccccccdccbcccdbcbdac 又又.,.,11111bdccacccacbdoocacbdac 平平面面又又平平面面但但(2).,1111bdccacccd平平面面能能使使時時當當 .,. 1:2:, 1:2:,/., 11111111111111111111bdccabdccgbdcgbdbdcocgogcoccaaccagoccabdccdcbcbdcdcb

25、cdcccdbccccd平面平面即即平面平面的中心的中心正三角形正三角形是是點點邊上的高和中線邊上的高和中線的的形形是正三角是正三角又又且且相交于相交于與與設設是正三棱錐是正三棱錐三棱錐三棱錐由此可推出由此可推出又又 .,.,1.,)1(11111111111bdccabbcbdcabccabdcccdcabdaccaacbc平平面面又又可可得得的的證證法法同同六六個個面面是是全全等等的的菱菱形形平平面面六六面面體體的的時時當當平平面面平平面面知知由由 法二法二 第二類證法（向量法）本題的向量第二類證法（向量法）本題的向量解法大體上有兩類：解法大體上有兩類： 法一：確定三個知其模及兩夾角的法一

26、：確定三個知其模及兩夾角的向量為空間向量的一個基底向量為空間向量的一個基底. 對于平行對于平行六面體來說，通常選擇從同一頂點出發(fā)六面體來說，通常選擇從同一頂點出發(fā)的三條棱表示的向量為基底的三條棱表示的向量為基底. 如設：如設：:,1則則cccbcdacb . 10, )2( . 0, )1( 11111111111 xdccacbadccadccabdcabdccaaxcdacccbabdcc可可得得由由表表示示用用將將故故只只需需由由于于已已經(jīng)經(jīng)有有面面平平要要使使設設計計算算其其數(shù)數(shù)量量積積為為從從而而表表示示用用不不難難將將 法二：如圖建立空間直角坐標系法二：如圖建立空間直角坐標系. 并并設底面菱形邊長為設底面菱形邊長為a，側棱長為，側棱長為b.,0 ,23, 0,33cos,coscoscos, )1( 1111 acaccdccaccdcaacc別別為為則則各各點點坐坐標標分分是是可可求求得得于于且且上上在在底底面面的的射射影影在在由由已已知知,36,2333, 01 babc0),0 , 0 ,(,0 , 0 ,21,0 , 0 ,21;36,33, 011 bdccabdadabbbcc可可得得則則所所以以同同時時則則;1bdcc 所所以以);36,333, 0(,36,3323, 0 )2( 11bbacabbaa 由由.: