數(shù)量關(guān)系講義第二部分

1、第三講 平均數(shù)、方陣與植樹基礎(chǔ)知識與經(jīng)典例題一、平均數(shù)總和平均數(shù)個數(shù)等差數(shù)列中：平均數(shù)=中位數(shù)=（首數(shù)+尾數(shù)） 2注意：平均數(shù)是一個非常小的模塊，但是在很多題目里都有所體現(xiàn)?！纠?】一個房間里有10個人，平均年齡是27歲。另一個房間里有15個人，平均年齡是37歲。兩個房間的人合在一起，他們的平均年齡是多少歲？（ ）A.30 B.31 C.32 D.33【參考答案】D【解析】方法一：直接算。（1027+1537）/(10+15)=33方法二：運用十字交叉原理計算。請同學們嘗試著用十字交叉原理進行口算【例2】某單位2011年招聘了65名畢業(yè)生，擬分配到該單位的7個不同部門。假設(shè)行政部門分得的畢業(yè)生

2、人數(shù)比其他部門都多，問行政部門分得的畢業(yè)生人數(shù)至少為多少名？A.10B.11C.12D.13【參考答案】B【例3】為估算湖中鯉魚的數(shù)量，某人撒網(wǎng)捕到鯉魚300條，并對這300條魚作了標記后又放回湖中，過了一段時，他又撒網(wǎng)一次捕到鯉魚200條，發(fā)現(xiàn)其中鯉魚有5條有標記，由此他估算湖中鯉魚的數(shù)量約為： A.1200條 B.12000條 C.30000條 D.300000條【解析】300條做了標記，那么有標記的魚占總數(shù)的比例為300/X，而下一次捕到的200條中有5條帶標記，則有300/X=5/200,得到x=12000。此題的意思相當于，平均40條有一條帶標記，那么300條帶標記的魚占總數(shù)的比例。

3、【例4】甲、乙、丙、丁四人，其中每三個人的歲數(shù)之和分別是55、58、62、65。這四個人中年齡最小的是（ ）。A.7歲 B10歲 C15歲 D18歲【解析】將55、58、62、65直接相加，可知其值等于原來四個數(shù)之和的3倍，于是得到(55+58+62+65)/3=80，所以最小的數(shù)字就是80-65=15?！纠?】某班一次期末數(shù)學考試成績，平均分為95.5分，后來發(fā)現(xiàn)小林的成績是97分，被誤寫成79分，再次計算后，該班平均成績是95.95分，則該班人數(shù)是： A.30人 B.40人 C.50人 D.60人【解析】增加的分數(shù)不過是被全體同學平均分配罷了，那么有，（97-79）/人數(shù)=95.95-95

4、.5,那么有人數(shù)=40【例6】小王和小李一起到加油站給汽車加油，小王每次加50升93#汽油，小李每次加200元93#汽油，如果汽油價格有升有降，那么給汽車所加汽油的平均價格較低的是： A小王 B小李 C一樣的 D無法比較【解析】小王每次加50升，平均價格等于總錢數(shù)，除以單位提及，那么(50a+50b+50c+.)/50n=a+b+c+.,其中abc表示第一次，第二次，第三次加油時候的價格，而n表示總的次數(shù)。這是算術(shù)平均數(shù)。小王每次200元，那么有200n/(200/a+200/b+200/c+.)，這稱之為幾何平均數(shù)。請同學們記住一個結(jié)論，算術(shù)平均數(shù)總是大于或者等于幾何平均數(shù)，且只有在全部數(shù)字

5、相等的時候取等號。換一個角度，我們用十字交叉法的原理來理解，對于小王，他加高價格和低價格的油的數(shù)量是一樣多的（都是50升），而對于小李，加高價格的油自然少于低價格的油，所以平均價格較低。所以此題選B。練習一下：1、某項射擊資格賽后的統(tǒng)計表明，某國四名運動員中，三名運動員的平均環(huán)數(shù)加上另一運動員的環(huán)數(shù)，計算后得到的環(huán)數(shù)分別為92、114、138、160，則此國四名運動員資格賽的平均環(huán)數(shù)是: A.63 B.126 C.168 D.2522、某一天節(jié)秘書發(fā)現(xiàn)辦公桌上的臺歷已經(jīng)有9天沒有翻了，就一次翻了9張，這9天的日期加起來，得數(shù)恰好是108，問這一天是幾號？（ ）A.14 B.13 C.17 D.

6、193、某人購買A、B兩種調(diào)料的單價分別為20元/千克、30元/千克。假設(shè)購買這兩種調(diào)料所花費的錢數(shù)額一樣，則由A、B兩種調(diào)料混合后的新調(diào)料每千克的成本是： A.23元 B.24元 C.25元 D.26元二、方陣方陣實際上就是一個等差數(shù)列，每一層就是一項，每一層邊長之差為2，人數(shù)之差為8。周長=邊長4-4=（邊長-1）4；方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（面積）；方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)4）+1；方陣每相鄰兩層人數(shù)之差為8；去掉m行、n列的矩陣，人數(shù)減少=列邊長m+行邊長n-mn；如果是增加，視為負數(shù)即可。【例1】某部隊閱兵，上級要求其組成一個正方形隊列。預(yù)演時上級要求將現(xiàn)有隊形

7、減少一行一列，這樣將有 35人被裁減。那么原定參加閱兵士兵多少人？A.289 B.324 C.256 D.361【解析】方法一：代入法。答案應(yīng)滿足是完全平方數(shù)，且選項減去35也是完全平方數(shù)。只有B（對于完全平方數(shù)的熟悉有助于迅速得到答案）。方法二：設(shè)方陣最外層每邊人數(shù)為n，則減少一行一列，人數(shù)減少：n+n-1=35,n=18,總?cè)藬?shù)為182=324【例2】有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是（ ）A.296人 B.308人 C.324人 D.348人【解析】方法一：中間一層共有44人，中間一層層數(shù)=總?cè)藬?shù)，則總?cè)藬?shù)是11的倍數(shù)，只有B。方法

8、二：直接計算，（68-44）/8=3，則共有7層?？?cè)藬?shù)為447=308方法三：直接枚舉，每層差8人，則有68，60，52，44，36,28,20加起來即可。【例3】一些解放軍組成一個長方陣，經(jīng)一次隊列變換后，增加了6行，減少了10列，恰組成一個方陣，一個人也不多，一個人也不少。則原長方形陣共有（ ）人A.196 B. 225 C.256 D.289【參考答案】B【解析】方法一：直接代入，增加6行，減少10列之后人數(shù)不變，則選項中方陣減少6行，增加10列，人數(shù)不變。只有B。方法二：設(shè)方陣最外層每邊人數(shù)為n，由該方陣變?yōu)殚L方陣，相當于減少了6行，增加了10列，則人數(shù)變化為：6n+(-10)n-6

9、（-10）=0，n=15，共有人數(shù)152=225人。練習一下：鮮花隊準備排成一個正方形隊列，由于服裝不夠，只好減少 27 人，使橫豎各減少了一排，鮮花隊現(xiàn)在的人數(shù)是：A169人 B144 人 C196 人 D225 人四、植樹植樹問題主要有兩種基本類型：非封閉問題和封閉問題。在非封閉問題里，樹木的數(shù)量=間隔+1，即要計算端點位置的數(shù)目，在封閉問題里，樹木的數(shù)量=間隔，因為起點和終點重合。注意：與此類似的，還有數(shù)字的數(shù)量=數(shù)字的間隔+1，日期的數(shù)量=日期的間隔+1等等，都是類似的原理?！纠?】長度為250米的馬路上每隔5米植樹一棵，則該條路上共有樹木幾棵？A.50棵 B.51棵 C.52棵 D.

10、53棵【參考答案】B【例2】在一周長為50m的花壇周圍種樹，如果每隔5m種一顆，共要種多少棵樹？（ ）A.9 B.10 C.11 D.12【參考答案】B【例3】某單位購買一批樹苗計劃在一段路兩旁植樹。若每隔5米種1棵樹，可以覆蓋整個路段，但這批樹苗剩20棵。若每隔4米種1棵樹且路尾最后兩棵樹之間的距離為3米，則這批樹苗剛好可覆蓋整個路段。這段路長為( )。A.195米 B.205米 C.375米 D.395米【解析】方程法。設(shè)路程為s，則2s/5+2+20=2（s+1）/4+2,s=195【例4】某單位計劃在通往兩個比賽場館的兩條路的( 不相交 )兩旁栽上樹，現(xiàn)運回一批樹苗，已知一條路的長度是

11、另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗（ ）。A.8500棵 B.12500棵C.12596棵 D.13000棵【解析】方法一：方程法。設(shè)共有樹苗x，根據(jù)路長相等，可以得到相等關(guān)系：(x+2754-4)4=（x-396-4）5，x=13000方法二：比例法，路的間隔數(shù)與間隔長成反比（因為路長是一樣的，不變的）。間隔長度為4:5 間隔數(shù)為5:4 （2754+396）/15+4-2754=13000【提醒】比例法中，間隔數(shù)間隔長度為定值，間隔長度與間隔數(shù)（非樹棵樹）成反比，間隔數(shù)=樹棵樹-4（兩條路，四條邊）和例3一樣，路長是

12、建立等式的關(guān)鍵，而行測的數(shù)量關(guān)系，大部分題目也不過是如此，找到合適的相等關(guān)系，設(shè)立合理的未知數(shù)。課后練習1、某成衣廠對9名縫紉工進行技術(shù)評比，9名工人的得分一給好成等差數(shù)列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少?（ ） A.602 B.623 C.627 D.6312、學校用從A到Z的順序給班級編號，再按照班級號碼在后面加01、02、03的順序給學生編號，已知從AK每個班級是按照15的數(shù)量依次遞增1人，之后依次遞減2人，那么第256名同學的編號是多少?A.M12 B.N11 C.N10 D.M133、100個人參加7個活動，每人只能參加一個活動

13、，并且每個活動的參加人數(shù)都不一樣，那么參加人數(shù)第四多的活動最多有多少人?A.22 B.21 C.24 D.234、假設(shè)五個相異正整數(shù)的平均數(shù)是15，中位數(shù)是18，則此五個正整數(shù)中的最大數(shù)的最大值可能為（）。A24 B32 C35 D405、現(xiàn)有21朵鮮花分給5人，若每個人分得的鮮花數(shù)各不相同，則分得鮮花最多的人至少分得（）朵鮮花。A7 B8 C9 D106、一個細胞1小時分裂為3個，9個小時可以把一個容器裝滿。請問要使分裂的細胞能裝到容器的九分之一，需要多少時間？A.5小時 B.6小時 C.7小時 D.8小時7、某班一次期末數(shù)學考試成績，平均分為 95.5分，后來發(fā)現(xiàn)小林的成績是97分誤寫成7

14、9分。再次計算后，該班平均成績是95.95分。則該班人數(shù)是（ ）。A.30人 B.40人 C.50人 D.60人8、某校學生剛好排成一個方陣，最外層人數(shù)112人，問這個學校共有學生多少人？A.800人 B.841人 C.925人 D.1000人9、一條路長400米，從距離起點 192米的地方開始在路的兩旁植樹，每四米一棵，直至路的末端，共要植樹多少棵？A.106 B.53 C.50 D.10010、一張考試卷共有10道題，后面的每一道題的分值都比其前面一道題多2分。如果這張考卷的滿分為100分，那么第八道題的分值應(yīng)為多少？( )。 A.9 B.14 C.15 D.1611、一小圓形場地的半徑為

15、100米，在其邊緣均勻種植200棵樹木，然后又在其任兩條直徑上，每隔2米栽種一顆樹木，問至少要種植多少棵樹木？A397 B398 C399 D40012、一個邊長為8的正立方體，由若干個邊長為1的正立方體組成，現(xiàn)在要將大立方體表面涂漆，請問一共有多少個小立方體被涂上了顏色？A.296 B.324 C.328 D.384第四講 容斥原理,抽屜原理以及最不利原則基礎(chǔ)知識與經(jīng)典例題容斥原理也是公考的一個?？贾R點，解題主要利用公式與文氏圖。根據(jù)原理列出等式后，通常都可以考慮利用尾數(shù)法來判斷選項。1、容斥原理的基本思想先不考慮重疊的情況，把包含于某一內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目計算出來，然后再把計數(shù)時重復計

16、算的數(shù)目再減去，使得計算的結(jié)果既無重復也無遺漏。2、兩集合容斥原理公式：AB =A+B（AB）（A或B的個數(shù)A的個數(shù) +B的個數(shù)A且B的個數(shù)）3、三集合容斥原理公式：ABC=A+B+C（AB+BC+CA）+（ABC）4、分類方法：將總?cè)藬?shù)分為只參與一種，參與兩種與參與三種（不用考慮到底參加哪兩種）。參加一種的人數(shù)*1+參加兩種的人*2+參加三種的人數(shù)*3=總?cè)舜危粎⒓右环N的人數(shù)+參加兩種的人數(shù)+參加三種的人數(shù)=總?cè)藬?shù)。簡單例題：如圖所示，X、Y、Z分別是面積為64、180、160的三個不同形狀的紙片，覆蓋住桌面的總面積是290，其中X與Y、Y與Z、Z與X重疊部分的面積依次是24、70、36，那

17、么陰影部分的面積是：A.15 B.16 C.14 D.18【例1】現(xiàn)有50名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有（ ）。A.27人 B.25人 C.19人 D.10【解析】設(shè)兩種實驗都做對的人數(shù)為x，則有40+31-x+4=50，解得x=25（尾數(shù)法速算，選B）?！纠?】某單位派60名運動員參加運動會開幕式，他們著裝白色或黑色上衣，黑色或藍色褲子。其中有12人穿白上衣藍褲子，有34人穿黑褲子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑褲子的有多少人？（ ）A.12 B.14 C.15 D.29【解析】設(shè)穿黑上衣黑褲子的

18、人數(shù)為x，則29+34-x+12=60，解得x=15（尾數(shù)法速算，選C）【提醒】兩元容斥。黑上衣+黑褲子-黑上衣且黑褲子+既非黑上衣又非黑褲子（白上衣藍褲子）=總?cè)藬?shù)【例3】小明和小強參加同次考試，如果小明答對的題目占題目總數(shù)的 3/4 小強答對了 27 道題，他們兩人都答對的題目占題目總數(shù)的2/3 ，那么兩人都沒有答對的題目共有： A.3道 B.4道 C.5道 D.6道【解析】采取假設(shè)法，根據(jù)3/4和2/3，可以知道，題目的總數(shù)為12的倍數(shù)，而小強答對了27，可以假設(shè)題目總數(shù)為36?！纠?】某高校對一些學生進行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考

19、試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學生共有多少人？ A.120 B.144 C.177 D.192【解析】選擇兩種考試參加，不包含選擇三種考試的人數(shù)。63+89+47-46-242+15=總?cè)藬?shù)，計算的時候可以只計算尾數(shù)（為什么？因為選項尾數(shù)不同！），選A。【例5】某大學的文藝社團中，會跳舞的、會吹口琴的會彈古箏的共有38人，其中只會跳舞的有10人，只會吹口琴的有7人，既能彈古箏又會吹口琴的有6人，既會跳舞又會吹口琴的有5人，既會跳舞又會彈古箏的有9人，三種都會的有3人，則只會

20、彈古箏的有多少人？（ ）A.4人 B.6人 C.7人 D.11人【解析】注意，在會兩樣的人中，都包含了會三樣的人，所以，會兩樣或三樣的人應(yīng)該是：6+5+9-3*2=14人（計算了三次，所以減去兩次），那么只會古箏的人就是38-10-7-14=7人【例6】外語學校有英語、法語、日語教師共27人，其中只能教英語的有8人，只能教日語的有6人，能教英、 日語的有5人，能教法、日語的有3人，能教英、法語的有4人，三種都能教的有2人，則只能教法語的有多少人（ ）A.4人 B.5人 C.6人 D.7人【解析】能教英語或者日語的有：8+6+5+3+4-22=22（其中三種都能教的加多加了兩次，所以需要減去）則

21、只能教法語的有27-22=5【提醒】此類問題可以結(jié)合圖畫的方法進行理解，“只”字題目通常采用逆向思維。如本題：總?cè)藬?shù)-能教英語或者日語=只能教法語?！纠?】某通訊公司對3542個上網(wǎng)客戶的上網(wǎng)方式進行調(diào)查，其中1258個客戶使用手機上網(wǎng)，1852個客戶使用有線網(wǎng)絡(luò)上網(wǎng)，932個客戶使用無線網(wǎng)絡(luò)上網(wǎng)。如果使用不只一種上網(wǎng)方式的有352個客戶，那么三種上網(wǎng)方式都使用的客戶有多少個?（ ）A.148 B.248 C.350 D.500【解析】容斥原理的核心是要減去重復計算的部分。設(shè)三種上網(wǎng)方式都使用的有x個，則使用兩種上網(wǎng)方式的客戶有352-x個，前者重復計算了2次，后者重復計算了1次。得到方程，1

22、258+1852+932-2x-(352-x)=3542，解得x=148。注意：使用不只一種上網(wǎng)方式的客戶數(shù)=使用兩種+使用三種【例8】在一次國際會議上，人們發(fā)現(xiàn)與會代表中有10人是東歐人，有6人是亞太地區(qū)的，會說漢語的有6人。歐美地區(qū)的代表占了與會代表總數(shù)的2/3以上，而東歐代表占了歐美代表的2/3以上。由此可見，與會代表人數(shù)可能是（）。A.22人 B.21人 C.19人 D.18人【解析】10人是東歐人，東歐代表占了歐美代表的2/3以上，則歐美代表不足15人（最多14人）。歐美代表占了與會代表總數(shù)的2/3以上，則與會代表不足21人（最多20人）。又歐美代表占了與會代表的2/3以上，則亞太地

23、區(qū)代表不足1/3,則總?cè)藬?shù)大于18人（至少19人）。所以總?cè)藬?shù)是19或20人，選C。【提醒】這題考查了逆向思維。題眼就是我們要盡可能的把題目中給的數(shù)字與不等式結(jié)合起來?！纠?】小趙，小錢，小孫一起打羽毛球，每局兩人比賽 ，另一人休息，三人約定每一局的輸方下一局休息，結(jié)束時算了一下，小趙休息了2局，小錢共打了8局，小孫共打了5局，則參加第9局比賽的是：A.小錢和小孫 B.小趙和小錢C.小趙和小孫 D.以上皆有可能【解析】小趙休息了2局，則小錢與小孫對打了2局，則總局數(shù)為：8+5-2=11又小孫打了5局，則小孫休息了6局，由于小孫不能連著休息，則小孫只能在第1、3、5、7、9、11局的時候休息。則

24、第9局比賽的是小錢和小趙。【例10】一個讀書小組共有趙、錢、孫、李、周、吳6位書友，現(xiàn)有6本書，書名分別是A、B、C、D、E、F。他們每人至少讀過其中一本書，已知趙、錢、孫、李、周分別讀過其中的2、2、4、3、5本書，圖書A、B、C、D、E分別被小組的1、4、2、2、2位書友讀過，問吳一定讀過的書是哪本?A. 書A B. 書B C. 書F D. 無法確定【解析】趙錢孫李周一共讀過16本書，而ABCDE被11人讀過，又每人至少讀過其中一本，那么趙錢孫李周吳一共至少讀過17本，書F被讀過至少6次，一共有6人，說明每人都讀過F。思考一下：學術(shù)會議正在舉行分組會議，某一組有8人出席，分組會主席問大家原

25、來各自認識與否。結(jié)果是全組中僅有一個人認識小組中的三個人，有三個人認識小組中的兩個人，有四個人認識小組中的一個人。 若以上統(tǒng)計是真實的，則最能得出以下哪項結(jié)論?A會議主席認識小組的人最多，其他人相互認識的少。 B此類學術(shù)會議是第一次召開，大家都是生面孔。 C有些成員所說的認識可能僅是在電視上或報告會上見過而已。 D雖然會議成員原來的熟人不多，但原來認識的都是至交。 抽屜原理 基礎(chǔ)知識與經(jīng)典例題抽屜原理模型：現(xiàn)在有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，我們會發(fā)現(xiàn)至少會有一個抽屜里面至少放兩個蘋果。這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”。 關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的抽屜，根據(jù)題目要求將小球（蘋果

26、）放進去。知識點：將抽屜構(gòu)造好后，開始鋪被子（即每個抽屜一個，視為一層，每個抽屜兩個，視為兩層，以此類推），然后，觀察剩余小球如何放置。與此同時，要注意抽屜的容量是否到達上限。 【例1】任意400人中至少有幾個人的生日相同？A.2 B.3 B.35 D.36 【例2】在所有的自然數(shù)中，至少任意取幾個不同的自然數(shù)，就能保證兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)？A.2 B.13 C.7 D.8【例3】籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有81個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友拿的水果是相同的？A.6 B.14 C.9 D.12【例4】小學生數(shù)學競賽，共20道題，有20分基礎(chǔ)分，答對一題

27、給3分，不答給1分，答錯一題倒扣1分，若有1978人參加競賽，問至少有多少人得分相同。 A.49 B.48 C.50 D.51【例5】五年級有47名學生參加一次數(shù)學競賽，成績都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學生的成績在60分以下，其余學生的成績均在7595分之間。問：至少有幾名學生的成績相同？A.3 B.4 C.21 D.33【例6】小明、小剛和小紅三人一起參加一次英語考試，已知考試共有100道題，且小明做對了68題，小剛做對了58題，小紅做對了78題。問三人都做對的題目至少有幾題？A.4題 B.8題 C.12題 D.16題【參考答案】A【解析】方法一： 68+58+78-1002，算尾數(shù)，

28、選A。方法二：畫圖法【提醒】方法一原理：相當于求把68+58+78=204個蘋果（做對204題次）放到100個抽屜（100道題）里面去，每個抽屜最多放三個蘋果，放三個蘋果的抽屜最少為多少個。顯然，每個抽屜盡可能的放兩個蘋果，可以放200個蘋果。多余的204-200=4個蘋果必須也放4個抽屜，這4個抽屜，每個就有三個蘋果。【例7】共有100個人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，15題分別有80人，92人，86人，78人，和74人答對，答對了3道和3道以上的人員能通過考試，請問至少有多少人能通過考試？A.30 B.55 C.70 D.74【參考答案】C【解析】方法一：正向思考。做對題的總?cè)?/p>

29、次是80+92+86+78+74=410，要使得通過考試的人最少，則沒通過考試的人做對的題盡可能多，每人做對2道，可以做對2100=200道，多出410-200=210，要使得通過考試的人最少，則通過考試的人做對的題盡可能多，210=703，所以至少有70人通過考試。方法二：逆向思考。總共做錯500-410=90道題，要使得通過考試的人最少，則沒有通過考試的人盡可能多，則沒通過考試的每人做錯題盡可能少90=330,100-30=70方法三：做對且僅做對1、2、3、4、5、0道題的人數(shù)各為A、B、C、D、E、X，則有A+B+C+D+E+X=100A+2B+3C+4D+5E=80+92+86+78

30、+74=410要使得C+D+E最小，則讓B盡量大，則A=X=0，B+C+D+E=100，C+2D+3E=210，210=703方法四：通過畫圖進行理解和解答。 【例8】共有100個人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，15題分別有80人，92人，86人，78人，和59人答對，答對了3道和3道以上的人員能通過考試，請問至少有多少人能通過考試？ A.65 B.66 C.67 D.68【參考答案】D【解析】方法一：正向思考。總做對人次80+92+86+78+59=395，395-1002=195195=593+92通過考試的有59+9=68方法二：逆向思考?？傋鲥e題次500-395=105,1

31、00-59=41105=411+322則共有100-32=68人能通過考試方法三：設(shè)做對且僅做對1、2、3、4、5、0道題的人數(shù)依次為A、B、C、D、E、X，則A+B+C+D+E+X=100，A+2B+3C+4D+5E=80+92+86+78+59=395C+D+E盡可能小，則B得盡可能大，A、X取0則B+C+D+E=100，C+2D+3E=195=593+92,59+9=68【提醒】注意題中陷阱?？荚嚱ㄗh采用方法一，正向思考，更容易理解一些。練習一下：三亞舉辦軍演，共有57支隊伍參加，每支隊伍至少參加一個項目，共有4個軍演項目。有20支隊伍沒有參加打飛機，有30支隊伍沒有參加打坦克，40支隊

32、伍沒有參加定點爆破，50支隊伍沒有參加建造溝壑鐵絲網(wǎng)項目。問至少有多少支隊伍參加了不止一個項目與至多有多少支隊伍參加了不止一個項目的差值是多少？ A. 31 B. 12 C. 19 D. 20上題修改一下，又該怎么做？請思考：三亞舉辦軍演，共有57支隊伍參加，共有4個軍演項目。有20支隊伍沒有參加打飛機，有30支隊伍沒有參加打坦克，40支隊伍沒有參加定點爆破，50支隊伍沒有參加建造溝壑鐵絲網(wǎng)項目。問至少有多少支隊伍參加了不止一個項目與至多有多少支隊伍參加了不止一個項目的差值是多少？【例9】一個班里有30名學生，有12人會跳拉丁舞，有8人會跳肚皮舞，有10人會跳芭蕾舞。問至多有幾人會跳兩種舞蹈？

33、A.12人 B.14人 C.15人 D.16人【參考答案】C【例10】某班共有學生60人，其中有40人會游泳，45人會騎自行車，48人會打乒乓球，這三項運動都會的學生有22人，問這個班級最多有多少學生這三項運動都不會？ A.4 B.6 C.7 D.11【解析】方法一：三項運動都不會的最多，則會兩項的最多。先把會三項的減掉40-22=18,45-22=23,48-22=26這樣題目就和上題一樣了，轉(zhuǎn)化成求會兩項的最多有多少。（18+23+26）/2=331余1有一個人會且只會一項運動。33個人會且只會兩項運動，由于18、23、26能組合成三角形，所以是可以實現(xiàn)的。三項都不會的有60-1-33-2

34、2=4方法二：令會且僅會1、2、3、0種運動的人各為A、B、T、X人，則A+B+T+X=60，A+2B+3T=133T=22，整理得A+B+X=38，A+2B=67，要使得X最大，則B盡可能大，B=33，A=1，X=4補充知識點：最不利原則，是指的在最差（最倒霉的情況下），有多少元素才能滿足題目的要求。最不利原則的處理方法很簡單，分為兩種：平均取和極限取。平均取即每一類取一樣多，極限取意味著某一類（最多的一類）全部取出，再取其他。對于簡單題，可以直接判斷是平均取，還是極限取，對于復雜題，可以既平均取，又極限取，取兩者中更大的一個。注意：特殊元素先取例：有一副撲克牌共54張，問：至少摸出多少張才

35、能保證：(1)其中有4張花色相同?(2)四種花色都有?【例1】一個布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？A.4 B.6 C.7 D.9【參考答案】D【解析】此題平均取即可，那么1，2，3，4號各取2塊，然后再取任意一塊都會出現(xiàn)3塊號碼相同?！纠?】有紅、黃、綠三種顏色的襪子各6雙，裝在一個黑色布袋里，從袋子里任意取出襪子來，為確保至少有2雙襪子不同顏色，則至少要取出的襪子只數(shù)是（） A15只 B13只 C12只 D10只【參考答案】A【解析】此題應(yīng)為極限取，即將一種襪子全部取出來，比如紅色12只，然后

36、黃色1只，綠色1只，于是14只之后，任取一只就實現(xiàn)2雙襪子不同色，于是選A?！纠?】在2011年世界產(chǎn)權(quán)組織公布的公司全球?qū)＠暾埮琶校袊信d公司提交了2826項專利申請，日本松下公司申請了2463項，中國華為公司申請了1831項，分別排名前3位，從這三個公司申請的專利中至少拿出多少項專利，才能保證拿出的專利一定有2110項是同一公司申請的專利？A. 6049 B. 6050 C. 6327 D. 6328【參考答案】B【解析】特殊元素先取，那么，華為1831單獨取出來，然后中興和松下平均取2109，得到1831+2109x2+1=6050。從尾數(shù)法角度來看，尾數(shù)必須為0，也可以直接選B。

37、【例3】某盒子內(nèi)裝50只球，其中10只是紅色，10只是綠色，10只是黃色，10只是藍色，其余是白球和黑球各5只，為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球和6只另一種顏色的球，問最少必須從袋中取出多少只球?（）A. 13 B. 33 C. 35 D. 36【參考答案】D【解析】此題較為難，那么我們看平均取，則有5白+5黑+6紅+6黃+6藍+6綠=34，然后任取一個得到35，符合題目要求；再看極限取，則有5白+5黑+10紅+5綠+5黃+5藍=35，然后任取一個得到36，綜合極限取和平均取，應(yīng)該取更大值，所以選D。【例4】從1到100這100個自然數(shù)當中，至少取出多少個數(shù)才能確保有2個自然數(shù)相差8?

38、A.55 B.53 C.52 D.49【參考答案】B【解析】先考慮最不利情況，即最多可以取多少能保證取得的數(shù)中，沒有2個自然數(shù)相差8。1-8可以取出來，9-16則不能再取。所以，可以16個一組，取8個。100/16=64，最后這4個也可以取，總共可以取68+4=52在最不利情況下再取一只，必然能保證有2個自然數(shù)相差8。所以有52+1=53。課后練習1、某單位有78個人，站成一排，從左向右數(shù)，小王是第50個，從右向左數(shù)，小張是第48個，則小王小張之間有多少人?（ ）A.16 B.17 C.18 D.202、對中關(guān)村某影院100名觀眾進行的隨機調(diào)查顯示，喜歡 十月圍城的有57人，同時喜歡十月圍城和

39、阿凡達的有45人，另外有16人表示這兩部影片都不喜歡。請問在調(diào)查中表示喜歡阿凡達的觀眾應(yīng)該為多少人？A.27 B.45 C.72 D.753、某市對52種建筑防水卷材產(chǎn)品進行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達標，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時兩項不合格的有7種，有1種產(chǎn)品這三項都不合格，則三項全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種？A.37 B.36 C.35 D.344、某社團共有46人，其中35人愛好戲劇，30人愛好體育，38人愛好寫作，40人愛好收藏，這個社團至少有多少人以上四項活動都喜歡？（）A.5 B.6 C.7 D.85、高三文科班100名學生參加

40、了5次測驗，這五次測驗及格率分別為94%，86%，67%，89%和65%，每個同學五次測驗至少要有3次及格才不用參加寒假補習，則不用參加寒假補習的同學至少是多少人？( )A. 67 B. 68 C. 69 D. 706、有100人參加運動會的三個比賽項目，每人至少參加一項，其中未參加跳遠的有50人，未參加跳高的有60人，未參加賽跑的有70人。問至少有多少人參加了不止一個項目？A7 B10 C15 D207、一個班里有50名學生，有32人會跳拉丁舞，有38人會跳肚皮舞，有40人會跳芭蕾舞，問至多有多少人會跳兩種舞蹈？（ ）A.38人 B.40人 C.45人 D.50人8、某部門共有82人，其中男

41、性62人，本省籍42人，不是本省籍的女性11人，則本省籍的男性人數(shù)有（）A33 B21 C22 D239、一個布袋里有大小相同，顏色不同的一些小球，其中紅的10個，白的9個，黃的8個，藍的2個，一次至少取多少個球，才能保證4個相同的顏色的（ ）A.12 B.13 C.14 D.1510、某大學生志愿者隊伍下鄉(xiāng)搞支援慰問活動，已知該隊伍中每20個大學生當中至少有13名女生，每25個大學生中至少有6個男生，該大學生志愿者隊伍最多有多少名大學生（）？A.31 B.26 C.45 D.33第五講 統(tǒng)籌與優(yōu)化基礎(chǔ)知識與經(jīng)典例題【例1】某洗車店洗車分外部清潔和內(nèi)部清潔，兩道工序時間均不少于30分鐘，而且同

42、一輛車兩道工序不能同時進行，洗車間同一時間只能容下輛車?，F(xiàn)有輛車需要清洗，汽車進出洗車間的時間可忽略不計，則洗完輛車至少需要的時間為：A.330分鐘 B.300分鐘 C.270分鐘 D.250分鐘【參考答案】C【解析】洗一輛車需要60分鐘。洗兩輛車我們也需要60分鐘。洗甲、乙、丙三輛車我們可以按照如下操作進行： 甲1 乙1 30分鐘 甲2 丙1 30分鐘 乙2 丙2 30分鐘由此可見，洗三輛車只需要90分鐘，平均每輛車30分鐘。因此，當車輛數(shù)大于等于2時，平均每輛車只需要30分鐘。題目中洗9輛車，需要930=270分鐘。練習一下：1、用一個平底鍋煎餅，每次只能放兩個餅，煎一個餅需要2分鐘（假定

43、正、反面各需1分鐘），問煎3個餅至少需要幾分鐘？（） A.3分鐘 B.4分鐘 C.6分鐘 D.5分鐘2、用一個平底鍋煎餅，每次只能放兩個餅，煎一個餅需要3分鐘（假定正面需2分鐘,反面需要1分鐘），問煎3個餅至少需要幾分鐘？（） A.3分鐘 B.4分鐘 C.6分鐘 D.5分鐘【例2】A、B、C、D四人同時去某單位和總經(jīng)理洽談業(yè)務(wù)，A談完要18分鐘，B談完要12分鐘，C談完要25分鐘，D談完要6分鐘。如果使四人留在這個單位的時間總和最少，那么這個時間是多少分鐘? A.91分鐘 B.108分鐘 C.111分鐘 D.121分鐘【參考答案】D【例3】某公司要買100本便簽紙和100支膠棒，附近有兩家超市

44、。A超市的便簽紙0.8元一本，膠棒2元一支且買2送1。B超市的便簽紙1元一本且買3送1，則膠棒1.5元一支，如果公司采購員要在這兩家超市買這些物品，則他至少要花多少元錢? A. 183.5 B. 208.5 C. 225 D. 230【參考答案】B【解析】統(tǒng)籌的目的很簡單，就是實現(xiàn)盡量便宜，A超市膠棒相當于2/3元每只，B超市便簽紙相當于3/4元每本，所以有3/4*100+4/3*99+1.5=208.5【例4】一個車隊有三輛汽車， 擔負著五家工廠的運輸任務(wù)，這五家工廠分別需要 7、9、4、10、6 名裝卸工，共計 36 名；如果安排一部分裝卸工跟車裝卸，則不需要那么多裝卸工，而只需要在裝卸任

45、務(wù)較多的工廠再安排一些裝卻工就能完成裝卸任務(wù)。那么在這種情況下，總共至少需要要（ ）名裝卸工才能保證各廠的裝卸需求？A.26 B.27 C.28 D.29【參考答案】A【解析】對于此類題目，有M輛汽車，而有N家工廠，那么，直接將需要人數(shù)最多的前M家工廠需要的工人相加即可，即：10+9+7=26【提醒】如果把人全部放工廠，就需要五個數(shù)相加，如果我在三輛車上各安排1個人，則可以在五個工廠各減1個人，依次類推。減至只有三個工廠有人時，放車和工廠所需人數(shù)是一樣的，此時所需人數(shù)取得最小值10+9+7=26。當工廠減少至少于三個工廠有人時，如果再減少工廠人數(shù)，則車上增加人數(shù)會更多。【例5】在一條公路上每隔

46、100公里有一個倉庫，共有5個倉庫，一號倉庫存有10噸貨物，二號倉庫存有20噸貨物，五號倉庫存有40噸貨物，其余兩個倉庫是空的?，F(xiàn)在要把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1公里需要0.5元運輸費，則最少需要運費（ ）。A.4500元 B.5000元 C.5500元 D.6000元【參考答案】B【解析】只要觀察倉庫兩端哪端更重，放到哪段就運費更少。由于4010+20，所以放在五號倉庫運費最少。需要運費：（104+203）1000.5=5000【提醒】原理：舉例說明，對比三號倉庫與四號倉庫哪個更省，不管放到三號還是四號倉庫，10噸貨物一號到三號與20噸貨物二號到三號這兩段路程是少不了

47、的，同樣，40噸貨物五號到四號倉庫這段路程也省不了，有差別的就是三號與四號倉庫之間這段。如果放到三號倉庫，相當于要要搬動40噸貨物從四號到三號；如果放到四號倉庫，就相當于要搬10+20=30噸貨物從三號到四號。顯然，放到四號比三號適合。【例6】某服裝廠有甲、乙、丙、丁四個生產(chǎn)組， 甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子?，F(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制(每套為一件上衣和一條褲子)，則7天內(nèi)這四個組最多可以縫制衣服（ ）。A110套 B115套 C120套 D125套【解析】這種題，讓每個人都去做自己最

48、擅長的事情即可。如果都做上衣，每天可以做8+9+7+6=30件，如果都做褲子，每天可以做10+12+11+7=40件。30+40=3:4衣服：褲子，甲=8:103:4；乙=9:12=3:4；丙=7:113:4；丁=6:73:4所以，讓甲丁做衣服，丙做褲子，乙機動。甲丁7天可做衣服（8+6）7=98件丙7天可做褲子117=77件則乙做3天衣服，4天褲子剛好。共可做衣褲98+39=125套【例7】小王和小劉手工制作一種工藝品，每件工藝品由一個甲部件和一個乙部件組成，小王每天可以制作150個甲部件，或者制作75個乙部件；小劉每天可以制作60個甲部件，或者制作24個乙部件。現(xiàn)兩人一起制作工藝品，10天時間做多可以制作該工藝品（ ）件。A. 660 B. 675 C. 700 D. 900【解析】同例6一樣，我們也只需要關(guān)注小王和小劉做什么效率最高，小王做甲乙的效率是2：1，小劉做甲乙的效率是5：2，將2：1看作是4：2，那么，4：2和5：2相比，顯然小劉做甲更合適，那么小王做乙，小劉做甲，10天600個，小王做乙，10天750個，那么兩人一共做600個工藝品，小王還剩下150個乙，而對于小王，一個乙可以換2個甲，于是拿出50個乙取換甲，得到100個甲，而且剩下100個乙