平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示

1、oxyijaa(x, y)a兩者相同兩者相同3兩個向量相等的充要條件，利用坐標如何表示？兩個向量相等的充要條件，利用坐標如何表示？坐標（坐標（x ，y）一一 一一 對對 應(yīng)應(yīng)向量向量a1以原點以原點o為起點作為起點作oa=a，點，點a的位置由誰確定的位置由誰確定?2點點a的坐標與向量的坐標與向量a 的坐標有的坐標有什么關(guān)系？什么關(guān)系？由由a 唯一確定唯一確定a=b x1=x2且且y1=y2已知已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你，你能得出能得出a + +b， a - -b，a的坐標嗎？的坐標嗎？兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標

2、的和（差）應(yīng)坐標的和（差）解：解： a + + b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j ）a + + b =（x1+x2，y1+y2）即即同理可得同理可得a - - b =（x1- -x2，y1- -y2）=（x1+x2）i+（y1+y2）j實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向?qū)崝?shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標量的相應(yīng)坐標a=（x1，y1）即即a =（x1i+y1j）=x1i+y1j例例1如圖，已知如圖，已知a（x1，y1），），b（x2，y2），求），求ab的坐標的坐標oxya(x1，y1)b(x2，y2)=(x2，y2)- -(x1- - y1)=(x2- -x

3、1，y2 - -y1)解：解： ab=ob- -oa一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標點的坐標減去始點的坐標例例2已知已知a=(2，1)，b=(- -3，4) ，求，求a+ +b，a- -b， 3a+ +4b的坐標的坐標. 解：解：=（6，3）+ +（- -12，16）=（- -6，19）a- -b=（2，1）- -（- -3，4）=（5，- -3）；a+ +b=（2，1）+ +（- -3，4）=（- -1，5）；3a+ +4b=3（2，1）+ +4（- -3，4）例例3如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形abcd的三

4、個頂點的三個頂點a、b、c的坐標分別是的坐標分別是(- -2，1)、(- -1，3) 、(3，4)，試求頂，試求頂點點d的坐標的坐標. yxo11abcd解法解法1：設(shè)頂點設(shè)頂點d的坐標為（的坐標為（x，y）(1，2)=(3- -x，4- -y) 1=3- -x2=4- -yx=2y=2頂點頂點d的坐標為（的坐標為（2，2） ab=(- -1- -(- -2)，3- -1)=(1，2)， dc=(3- -x，4- -y)，由由ab=dc，得，得解法解法2：如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知頂點頂點d的坐標為（的坐標為（2，2）=(- -2- -(- -1)

5、，1- -3)+ +(3- -(- -1)，4- -3) bd=ba+ +ad=ba+ +bc=(2，2) 而而 od=ob+ +bd=(- -1，3)+ +(3，- -1)yxo11abcd=(3，- -1)，如何用坐標表示兩個共線向量？如何用坐標表示兩個共線向量？a=b向量向量a與非零向量與非零向量b平行平行(共線共線)的充要條件是有且的充要條件是有且只有一個實數(shù)只有一個實數(shù)，使得，使得(x1，y1)=(x2，y2)即即x1=x2，y1=y2消去消去后得：后得： x1y2- -x2y1=0 這就是說，當且僅當這就是說，當且僅當x1y2- -x2y1=0設(shè)設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y

6、2)，其中，其中b0則由則由a=b，有有時，向量時，向量a、b（b0）共線）共線例例4已知已知a=(4，2)，b=(6，y)，且，且ab，求，求y. 解：解： ab ， 4y- -26=0. y=3. 例例5已知已知a(- -1，- -1)、 b(1，3)、c(2，5)，試判，試判斷斷a、 b、c三點之間的位置關(guān)系三點之間的位置關(guān)系 解：解：在平面直角坐標系中作出在平面直角坐標系中作出a、 b、c三點（如三點（如下圖），觀察圖形，猜想下圖），觀察圖形，猜想a、 b、c三點共線三點共線yxo 1abc又又 26- -34=0. 直線直線ab、直線、直線ac有公共點有公共點a， a、 b、c三點共

7、線三點共線ab=(1- -(- -1)，3- -(- -1)=(2，4)，ac=(2- -(- -1)，5- -(- -1)=(3，6)， abac，例例6設(shè)點設(shè)點p是線段是線段p1p2上的一點，上的一點，p1、p2的坐標的坐標分別是分別是(x1，y1)、(x2，y2) （1）當點）當點p是線段是線段p1p2的中點時，求點的中點時，求點p的坐標；的坐標；yxopp1p2解：解：如圖，由向量的線性運如圖，由向量的線性運算可知算可知所以，點所以，點p的坐標是的坐標是( ， )x1+ +x22y1+ +y22op=(op1+ +op2)=( ， )12x1+ +x22y1+ +y22（2）當點）當點

8、p是線段是線段p1p2的一個三等分點時，求點的一個三等分點時，求點p的坐標的坐標如圖，當點如圖，當點p是線段是線段p1p2的一個三等分點時，有兩的一個三等分點時，有兩種情況，即種情況，即p1p= pp2或或p1p=2pp2 12xyopp1p2yxopp1p2xyopp1p2如果如果p1p= pp2 (如圖如圖)，那么，那么12 op=op1+ +p1p=op1+ + p1p213=op1+ + (op2- -op1)13= op1+ + op22313=( ， )2x1+ +x232y1+ +y23即點即點p的坐標是的坐標是( ， )2x1+ +x232y1+ +y23同理，如果同理，如果p

9、1p=2pp2，那么點，那么點p的坐標是的坐標是( ， )x1+ +2x23y1+ +2y23（2）當點）當點p是線段是線段p1p2的一個三等分點時，求點的一個三等分點時，求點p的坐標的坐標如圖，當如圖，當p1p=pp2時，點時，點p的坐的坐標是什么？標是什么？yxopp1p2點點p的坐標是：的坐標是：( ， )x1+ +x21+ +y1+ +y21+ +練習(xí)練習(xí)1.已知向量已知向量a、b的坐標，求的坐標，求a+ +b，a- -b的坐標：的坐標：a+ +b=（3，6）a- -b=（- -7，2）a- -b=（7，- -5）a+ +b=（1，11）a+ +b=（0，0）a- -b=（4，6）a-

10、 -b=（3，- -4）a+ +b=（3，4）（1）a=（- -2，4），），b=（5，2）；）；（2）a=（4，3），），b=（- -3，8）；）；（3）a=（2，3），），b=（- -2，- -3）；）；（4）a=（3，0），），b=（0，4）.練習(xí)練習(xí)2.已知平行四邊形已知平行四邊形abcd的頂點的頂點a(- -1，- -2)、 b(3，- -1)、c(5，6)，求頂點，求頂點d的坐標的坐標頂點頂點d的坐標為（的坐標為（1，5）所以所以2x3- -6=解得解得 x=- -4 練習(xí)練習(xí)3. x為何值時，為何值時，a=(2，3)與與b=(x，- -6)共線？共線？解：由向量解：由向量a，b共線得共線得 (2，3) =(x，- -6)，如果存在，求出如果存在，求出x、y、z的值；如果不存在，說明的值；如果不存在，說明理由理由(2，3)=x(3，1)+ +y(2，2)+ +z(- -1，5)=(3x+ +2y- -z，x+ +2y+ +5z)則則3x+ +2y- -z=2x+ +2y+ +5z=3x+ +y+ +z=1消消z得得4x+ +3y=34x+ +3y=2方程組顯