第七章 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差

1、第七章第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正線性離散系統(tǒng)的分析與校正第五節(jié)第五節(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 在采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，可以在采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，可以從從s平面和平面和z平面之間的關(guān)系中，找出分平面之間的關(guān)系中，找出分析采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。析采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。 一、一、 z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件平面內(nèi)的穩(wěn)定條件 二、二、 z平面和平面和s平面的關(guān)系平面的關(guān)系 三、三、 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù) 四、四、 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 z變量和變量和s變量的關(guān)系為變量的關(guān)系為: 其中其中s是復(fù)變量是復(fù)變量: Z平面和平面和S平面的對應(yīng)關(guān)系：平面的對應(yīng)關(guān)系： 一

2、、一、 z平面和平面和s平面的關(guān)系平面的關(guān)系第五節(jié)第五節(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差z=eTsS=+jz=eTs=eTejT=zejz =eT=T系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定0=00z1 s平面和平面和z平面的穩(wěn)定域平面的穩(wěn)定域0jS平面平面穩(wěn)定區(qū)穩(wěn)定區(qū)0ImRez平面平面穩(wěn)定區(qū)穩(wěn)定區(qū)第五節(jié)第五節(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 二、二、 z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件平面內(nèi)的穩(wěn)定條件 采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的條件： 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點均位于閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點均位于z平平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)。即面上以原點為圓心

3、的單位圓內(nèi)。即zi1 若閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有位于單位圓若閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有位于單位圓外的極點，則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。外的極點，則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 例例 采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 r(t)e(t)c(t)G(s)TC(s)R(s)G(s)=S(S+4)1T=0.25 s解：解： G(z)=Z S(S+4)1 41S1S+41( - )=Z = 41z-1zz-e-4Tz( - )(1-e-4T)z/4(z-1)(1-e-4T)=(z-1)(1-e-4T)+(1-e-4T)z/4(1-e-4T)z/4G(z)1+G(z)(

4、z)= 特征方程式為特征方程式為z2-1.21z+0.368=0z1,2=0.605j0.04444141(z-1)(1-e-4T)+ (1-e-4T)z=0即即 所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。z1=z20u0u=0z=x2+y2 =1z=x2+y2 1 將將Z Z平面上的特征方程式經(jīng)過平面上的特征方程式經(jīng)過ZWZW變換，就可變換，就可應(yīng)用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)應(yīng)用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。定性。第五節(jié)第五節(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差例例 已知采樣控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式已知采樣控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解： D(z)=45

5、z3-117z2+119z-39=045( w+1w-1w+1w-1w+1w-1 )3-117( )2+119( )-39=0 45(w+1)3-117(w+1)2(w-1)+119(w+1)(w-1)2-39(w-1)3=0 將將ZWZW變換變換代入特征方程式：代入特征方程式： 經(jīng)整理得經(jīng)整理得 w3+2w2+2w+40=0列勞斯表列勞斯表 w3w2w1w00040240-1821 有二個根在有二個根在w右半平面右半平面,即有兩即有兩個根在個根在Z 平面上的平面上的單位圓外，故系統(tǒng)單位圓外，故系統(tǒng)為不穩(wěn)定。為不穩(wěn)定。第五節(jié)第五節(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差四四 穩(wěn)態(tài)

6、誤差的分析穩(wěn)態(tài)誤差的分析 穩(wěn)態(tài)誤差是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的一穩(wěn)態(tài)誤差是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的一個重要性能指標(biāo)，通過對連續(xù)系統(tǒng)的分析個重要性能指標(biāo)，通過對連續(xù)系統(tǒng)的分析可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號輸入信號的大小的大小和形式、和形式、系統(tǒng)的型別系統(tǒng)的型別以及以及開環(huán)增益開環(huán)增益有關(guān)。有關(guān)。這一結(jié)論同樣也適用于采樣系統(tǒng)。這一結(jié)論同樣也適用于采樣系統(tǒng)。 第五節(jié)第五節(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差G(s)-e(t)Te*(t)E(z)c(t)c*(t)C(z)Tr(t) 單位反饋采樣系統(tǒng)的單位反饋采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖E(z)=R(z)-C(z)=R(z)1+

7、G(z) 閉環(huán)穩(wěn)定的采樣控制系統(tǒng)，由終值定閉環(huán)穩(wěn)定的采樣控制系統(tǒng)，由終值定理可求得其穩(wěn)態(tài)誤差。理可求得其穩(wěn)態(tài)誤差。R(z)1+G(z)e*()=lim(z-1)E(z)=lim(z-1)z1z1 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與輸入輸入R(z)有關(guān)，又與系統(tǒng)的開環(huán)有關(guān)，又與系統(tǒng)的開環(huán)脈沖脈沖傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)及及采樣周期采樣周期T有關(guān)有關(guān)。 系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)一般表達(dá)式：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)一般表達(dá)式：G(z)=Kr(z-zi)mi=1n-v(z-1)v(z-pj)j=1下面分別討論不同輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差下面分別討論不同輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 第五節(jié)第五節(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤

8、差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差1、單位階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差、單位階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)系統(tǒng)的輸入為設(shè)系統(tǒng)的輸入為 R(z)=z-1z=11+limG(z)z111+G(z)e*()=lim(z-1) z1 z-1z定義系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)定義系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)： Kp=limG(z)z1e*()=1+Kp1則有則有 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不同，根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不同，分幾種情況討論。分幾種情況討論。e*()=1+Kp1(1) v=0z1limKp= Kr(z-zi)mi=1(z-pj)nj=1 =常數(shù)常數(shù)(2) v=1e*()=0z1limKp= Kr(z-zi)mi=1(

9、z-1)(z-pj)j=1n-1=e*()=0(3) v=2z1limKp= Kr(z-zi)mi=1(z-1)2(z-pj)j=1n-2=第五節(jié)第五節(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差2、單位斜坡輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差、單位斜坡輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差(z-1)2TzR(z)=11+G(z)e*()=lim(z-1) z1(z-1)2Tz z1limT1(z-1)G(z)1=設(shè)系統(tǒng)的輸入為設(shè)系統(tǒng)的輸入為 定義系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)定義系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)： 則有則有 e*()=KvT(z-1)G(z)z1limKv= 下面按系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)分成下面按系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)分

10、成幾種情況討論。幾種情況討論。(1) v=0e*()=z1Kv= lim (z-1)Kr(z-zi)mi=1(z-pj)nj=1 =0(2) v=1e*()=KvTKr(z-zi)mi=1z1limKv= (z-1)(z-pj)n-1j=1 (z-1) =常數(shù)常數(shù)e*()=0(3) v=2z1limKv= Kr(z-zi)mi=1(z-1)2(z-pj)j=1n-2 (z-1) =第五節(jié)第五節(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差3、單位加速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差、單位加速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第六節(jié)第六節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析2(z-1)3T2

11、z(z+1)R(z)= z1 limT21 (z-1)2G(z)111+G(z)e*()=lim(z-1) z12(z-1)3T2z(z+1) 定義系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：定義系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：e*()=KaT2e*()=(1) v=0z1j=1Ka= Kr(z-zi)mi=1(z-pj)n lim(z-1)2 =0 z1 lim(z-1)2G(z)Ka=(2) v=1e*()=0z1Ka= Kr(z-zi)mi=1(z-1)(z-pj)j=1n-1lim (z-1)2 (3) v=2=常數(shù)常數(shù)e*()=KaT2z1lim(z-1)2 Kr(z-zi)mi=1(z-1)2(z-pj)

12、j=1n-2Ka= 不同型別單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不同型別單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別系統(tǒng)型別位置誤差位置誤差速度誤差速度誤差加速度誤差加速度誤差0型型I型型0II型型00III型型000)( 1)(ttr ttr )(221)(ttr pK11vKTaKT2例：例：設(shè)某閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知采樣周期設(shè)某閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知采樣周期T為為0.1(s)，當(dāng)輸入，當(dāng)輸入r(t)=1(t)和和t時，求離散系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。時，求離散系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。r(t)e (t)c(t)C(z)e(t)E(z)c*(t)1s(0.1s+1)解：解：)10(10)()( sss

13、GzG)(1()1(11 ezzze所以，系統(tǒng)為所以，系統(tǒng)為I型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。 當(dāng)輸入當(dāng)輸入r(t)=1(t) 時，時，e( )=0。當(dāng)輸入當(dāng)輸入r(t)=t 時，時，)()1(lim1zGzKzv 1 1 . 011 . 0)( vKTeTC(s)R(s)例例2:第四節(jié)第四節(jié) 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Gh (S)Gp (S)1( )TsheGss( )(1)pKGss s圖中：21( )( )( )(1).(1)TshpG sGs GsKess開環(huán)脈沖傳函：121( )( )( )(1).(1)(1)(1)(1)()hpTTTTG zZ G zG GzKzZsseTzeTeKzze閉環(huán)環(huán)脈沖傳函：2( )( )( )( )1( )(1)(1)(1)(1)(1)TTTTTTTTC zG zzR zG zeTzeTeKzK eTezKeTee單位負(fù)反饋采樣控制系統(tǒng)框圖單位負(fù)反饋采樣控制系統(tǒng)框圖誤差脈沖傳函：( )1( )( )1( )eE zzR zG z系統(tǒng)響應(yīng)：( ) ( )( )( ) ( )1( )G z R zC zz R zG z穩(wěn)態(tài)誤差：11(1) ( )()lim *( )lim(1)( ) ( )lim1( )etzzzR zeetzz R zG z 1）穩(wěn)定性分析）