公務(wù)員考試數(shù)學(xué)問題各種題型匯總

1、目 錄一、年齡問題2二、排列組合問題i3三、雞兔同籠10四、“兩數(shù)之差”的問題14五、從“三”到“二”19六、容斥問題23七、行程問題28八、推理原理33九、數(shù)字推理題型及講解i38十、數(shù)的運算問題43十一、平均數(shù)問題46十一、部分平均與全體平均51十二、從平均數(shù)求個別數(shù)56十三、工程問題60十四、兩個人的問題62十五、多人的工程問題69十六、水管問題75十七、牛吃草問題80十八、概率原理83十九、抽屜原理96二十、百分數(shù)與配比問題98二十一、濃度和配比107二十二、整數(shù)的問題114二十三、分解質(zhì)因數(shù)122二十四、余數(shù)129二十五、上樓梯的問題138二十六、時鐘問題142二十七、植樹與方陣問題

2、143一、年齡問題解年齡問題，一般要抓住以下三條規(guī)律：（1）不論在哪一年，兩個人的年齡差總是確定不變的；（2）隨著時間向前（過去）或向后（將來）推移，兩個人或兩個以上人的年齡一定減少或增加相等的數(shù)量；（3）隨著時間的變化，兩個人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系一定會改變?！纠?】媽媽今年 43歲，女兒今年11歲，幾年后媽媽的年齡是女兒的3倍？幾年前媽媽的年齡是女兒的5倍？【分析】無論在哪一年，媽媽和女兒的年齡總是相差43-11=32（歲）當(dāng)媽媽的年齡是女兒的3倍時，女兒的年齡為（43-11）（3-1）=16（歲）16-11=5（歲） 說明那時是在5年后。同樣道理，由 11-（43-11）（5-1）=3（年）

3、可知，媽媽年齡是女兒的5倍是在3年前?！纠?】今年，父親的年齡是女兒的4倍，3年前，父親和女兒年齡的和是49歲。父親、女兒今年各是多少歲？【分析】從3年前到今年，父親、女兒都長了3歲，他們今年的年齡之和為49+32=55（歲）由“55 （4+1）”可算出女兒今年11歲，從而，父親今年44歲?！纠?】陳輝問王老師今年有多少歲，王老師說：“當(dāng)我像你這么大時，你才3歲；當(dāng)你像我這么大時，我已經(jīng)42歲了?！眴柾趵蠋熃衲甓嗌贇q？【分析】我們先要明白：如果我比你大a歲，那么“當(dāng)我像你這么大時”就是在a年前，“當(dāng)你像我這么大時”就在a年后。這樣便可根據(jù)題意畫出下圖：從圖上可看出，a=13，進一步推算得王老師

4、今年29歲。二、排列組合問題i一、知識點：1分類計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法2.分步計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有種不同的方法 3排列的概念：從個不同元素中，任取（）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列4排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號

5、表示5排列數(shù)公式：（）6階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定7排列數(shù)的另一個計算公式：=8組合的概念：一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合9組合數(shù)的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)用符號表示10組合數(shù)公式：或11組合數(shù)的性質(zhì)1：規(guī)定：； 2：+ 二、解題思路：解排列組合問題，首先要弄清一件事是“分類”還是“分步”完成，對于元素之間的關(guān)系，還要考慮“是有序”的還是“無序的”，也就是會正確使用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用

6、的解題方法：特殊優(yōu)先法對于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法.例如：用0、1、2、3、4這5個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有_個.（答案：30個）科學(xué)分類法對于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對各種不同情況，進行科學(xué)分類，以便有條不紊地進行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生例如：從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任取5臺，其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺，則不同的選取法有_種.（答案：350）插空法解決一些不相鄰問題時，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決例

7、如：7人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數(shù)是_.(答案:3600)捆綁法相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當(dāng)成“一個”元素進行排列，然后再局部排列例如：6名同學(xué)坐成一排，其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法是_種.（答案：240）排除法從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.b、排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時，要注意使用相關(guān)知識對答案進行取舍.例如：從集合0，1，2，3，5，7，11中任取3個元素分別作為直線方程ax+by+c=0中的a、b、c，所得的經(jīng)過坐標原點的直

8、線有_條.（答案：30）三、講解范例：例1 由數(shù)字、組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)(1）求三個偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)的個數(shù)；（2）求三個偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)的個數(shù)解 (1)：因為三個偶數(shù)、必須相鄰，所以要得到一個符合條件的七位數(shù)可以分為如下三步：第一步將、四個數(shù)字排好有種不同的排法；第二步將、三個數(shù)字“捆綁”在一起有種不同的“捆綁”方法; 第三步將第二步“捆綁”的這個整體“插入”到第一步所排的四個不同數(shù)字的五個“間隙”(包括兩端的兩個位置)中的其中一個位置上,有種不同的“插入”方法根據(jù)乘法原理共有720種不同的排法所以共有720個符合條件的七位數(shù)解（2）：因為三個偶數(shù)、互不相鄰，所以要得到符合條件的七位數(shù)

9、可以分為如下兩步：第一步將、四個數(shù)字排好，有種不同的排法；第二步將、分別“插入”到第一步排的四個數(shù)字的五個“間隙”（包括兩端的兩個位置）中的三個位置上，有種“插入”方法根據(jù)乘法原理共有1440種不同的排法所以共有1440個符合條件的七位數(shù)例 將、分成三組，共有多少種不同的分法？解：要將、分成三組，可以分為三類辦法：（）分法、（）分法、（）分法下面分別計算每一類的方法數(shù)：第一類（）分法，這是一類整體不等分局部等分的問題，可以采用兩種解法解法一：從六個元素中取出四個不同的元素構(gòu)成一個組，余下的兩個元素各作為一個組，有種不同的分法解法二：從六個元素中先取出一個元素作為一個組有種選法，再從余下的五個元

10、素中取出一個元素作為一個組有種選法，最后余下的四個元素自然作為一個組，由于第一步和第二步各選取出一個元素分別作為一個組有先后之分，產(chǎn)生了重復(fù)計算，應(yīng)除以所以共有15種不同的分組方法 第二類（）分法，這是一類整體和局部均不等分的問題，首先從六個不同的元素中選取出一個元素作為一個組有種不同的選法，再從余下的五個不同元素中選取出兩個不同的元素作為一個組有種不同的選法，余下的最后三個元素自然作為一個組，根據(jù)乘法原理共有60種不同的分組方法 第三類（）分法，這是一類整體“等分”的問題，首先從六個不同元素中選取出兩個不同元素作為一個組有種不同的取法，再從余下的四個元素中取出兩個不同的元素作為一個組有種不同

11、的取法，最后余下的兩個元素自然作為一個組由于三組等分存在先后選取的不同的順序，所以應(yīng)除以，因此共有15種不同的分組方法 根據(jù)加法原理，將、六個元素分成三組共有：15601590種不同的方法例 一排九個坐位有六個人坐，若每個空位兩邊都坐有人，共有多少種不同的坐法？解：九個坐位六個人坐，空了三個坐位，每個空位兩邊都有人，等價于三個空位互不相鄰，可以看做將六個人先依次坐好有種不同的坐法，再將三個空坐位“插入”到坐好的六個人之間的五個“間隙”（不包括兩端）之中的三個不同的位置上有種不同的“插入”方法根據(jù)乘法原理共有7200種不同的坐法排列組合問題ii一、相臨問題整體捆綁法 例17名學(xué)生站成一排，甲、乙

12、必須站在一起有多少不同排法？解：兩個元素排在一起的問題可用“捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有 種。捆綁法:要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.一般地: 個人站成一排,其中某 個人相鄰,可用“捆綁”法解決，共有 種排法。練習(xí)：5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法? 分析 此題涉及到的是排隊問題,對于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個元素來解決問題.解

13、 因為女生要排在一起,所以可以將3個女生看成是一個人,與5個男生作全排列,有 種排法,其中女生內(nèi)部也有 種排法,根據(jù)乘法原理,共有 種不同的排法.二、不相臨問題選空插入法 例2 7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為： 種 . 插入法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.若 個人站成一排，其中 個人不相鄰，可用“插空”法解決，共有 種排法。練習(xí)： 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個學(xué)生

14、，4個老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？分析 此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.解 先排學(xué)生共有種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有 種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為 種.三、復(fù)雜問題總體排除法或排異法有些問題直接法考慮比較難比較復(fù)雜，或分類不清或多種時，而它的反面往往比較簡捷，可考慮用“排除法”，先求出它的反面,再從整體中排除.解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構(gòu)成元素的限制。例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點共7個

15、點，以其中3個點為頂點的三角形共有個.解：從7個點中取3個點的取法有 種，但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點三點共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角形共有 332個.練習(xí)： 我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?分析 此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計算中也是非常的簡便.這樣就可以簡化計算過程.解 43人中任抽5人的方法有 種,正副班長,團支部書記都不在內(nèi)的抽法有 種,所以正副班長,團支部書記至少有1人在內(nèi)的

16、抽法有 種.四、特殊元素優(yōu)先考慮法 對于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。 例4 (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法種解：先考慮特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個位置上任選一個位置，有 種，而其余學(xué)生的排法有 種，所以共有 72種不同的排法.例5（2000年全國高考題）乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能

17、安排主力隊員，有 種排法，而其余7名隊員選出2名安排在第二、四位置，有 種排法，所以不同的出場安排共有 252種.五、多元問題分類討論法 對于元素多，選取情況多，可按要求進行分類討論，最后總計。例6（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（a ）a42b30c20d12解：增加的兩個新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有a62種；2.相臨：共有a22a61種。故不同插法的種數(shù)為：a62 +a22a61=42 ，故選a。例7（2003年全國高考試題）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，

18、現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答） 解：區(qū)域與其他四個區(qū)域相鄰，而其他每個區(qū)域都與三個區(qū)域相鄰，因此，可以涂三種或四種顏色 用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有 =48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72. 六、混合問題先選后排法 對于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進行排列的策略 例8（2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有（ ）a 種b 種c 種d 種解：本試題屬于均分組問題。則12名同學(xué)均分成3組共有 種方法,分配到

19、三個不同的路口的不同的分配方案共有： 種，故選a。 例9（2003年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（） a24種 b18種 c12種 d6種 解:先選后排,分步實施. 由題意，不同的選法有: c32種,不同的排法有: a31a22,故不同的種植方法共有a31c32a22=12，故應(yīng)選c. 七相同元素分配檔板分隔法 例10把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學(xué)生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？本題考

20、查組合問題。解：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的7本書進行分配，保證每個閱覽室至少得一本書，這相當(dāng)于在7本相同書之間的6個“空檔”內(nèi)插入兩個相同“i”（一般可視為“隔板”）共有 種插法，即有15種分法。八轉(zhuǎn)化法:對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想,將其化歸為簡單的、具體的問題來求解.例11 高二年級8個班,組織一個12個人的年級學(xué)生分會,每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?分析 此題若直接去考慮的話,就會比較復(fù)雜.但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題,就會顯得比較清楚,方法簡單,結(jié)果容易理解.解： 此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個相同的白球分成8份,有多少

21、種不同的分法問題,因此須把這12個白球排成一排,在11個空檔中放上7個相同的黑球,每個空檔最多放一個,即可將白球分成8份,顯然有 種不同的放法,所以名額分配方案有 種.九剩余法:在組合問題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對應(yīng)的,因此,當(dāng)求取法困難時,可轉(zhuǎn)化為求剩法.例12 袋中有5分硬幣23個,1角硬幣10個,如果從袋中取出2元錢,有多少種取法?分析 此題是一個組合問題,若是直接考慮取錢的問題的話,情況比較多,也顯得比較凌亂,難以理出頭緒來.但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話,就會很容易解決問題.解 把所有的硬幣全部取出來,將得到0.0523+0.1010=2.15元,所以比2元

22、多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3個5分或1個5分與1個1角,所以共有 種取法.十對等法:在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.例13 期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?分析 對于任何一個排列問題,就其中的兩個元素來講的話,他們的排列順序只有兩種情況,并且在整個排列中,他們出現(xiàn)的機會是均等的,因此要求其中的某一種情況,能夠得到全體,那么問題就可以解決了.并且也避免了問題的復(fù)雜性.解 不加任何限制條件,整個排法有 種,“語文安排在數(shù)學(xué)之前考”,與“數(shù)學(xué)安排在語文之前考”的排法是相等的, 所以

23、語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有 種.十平均分組問題:例146本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分為三份，每份2本；（3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本。 解：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理得到：種；（2）分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有種方法根據(jù)分步計數(shù)原理可得：，所以因此，分為三份，每份兩本一共有15種方法。（3）這是“不均勻分組”問題，

24、一共有種方法（4）在（3）的基礎(chǔ)上再進行全排列，所以一共有種方法（5）可以分為三類情況：“2、2、2型”即（1）中的分配情況，有種方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情況，有種方法；“1、1、4型”，有種方法，所以，一共有90+360+90540種方法總之，排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類為加，分步為乘。具體說，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：（1）以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。（2）以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。（3）先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列組合數(shù)。三、雞兔

25、同籠一、基本問題 “雞兔同籠”是一類有名的中國古算題.最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法-“假設(shè)法”來求解.因此很有必要學(xué)會它的解法和思路.例1 有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只？解：我們設(shè)想，每只雞都是“金雞獨立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是2442=122（只）.在122這個數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88=34，有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只.答：有兔子34只，雞5

26、4只.上面的計算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù)2-總頭數(shù)=兔子數(shù).上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的.做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2，4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時，“腳數(shù)”就不一定是4和2，上面的計算方法就行不通.因此，我們對這類問題給出一種一般解法.還說例1.如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有488只腳，比244只腳多了884-244=108（只）.每只雞比兔子少（4-2）只腳，所以共有雞（884-244）（4-2）= 54（只）.說明我們設(shè)想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式 雞數(shù)=（兔腳

27、數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是“雞”，那么共有腳288=176（只），比244只腳少了244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，682=34（只）.說明設(shè)想中的“雞”，有34只是兔子，也可以列出公式兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.上面兩個公式不必都用，用其中一個算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個數(shù).假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為“假設(shè)法”.現(xiàn)在，拿一個具體問題來試試上面的公式.例2 紅鉛筆每支0.19元，藍鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元.問紅、藍鉛筆各買幾支？

28、解：以“分”作為錢的單位.我們設(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個頭，280只腳.現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有 藍筆數(shù)=（1916-280）（19-11）=248=3（支）.紅筆數(shù)=16-3=13（支）.答：買了13支紅鉛筆和3支藍鉛筆.對于這類問題的計算，常常可以利用已知腳數(shù)的特殊性.例2中的“腳數(shù)”19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8（11+19）=240.比280少40.40（19-11）=5.就知道設(shè)想中的8只“雞”應(yīng)少5只，也就是“雞”（藍鉛筆）數(shù)是

29、3.308比1916或1116要容易計算些.利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計算.實際上，可以任意設(shè)想一個方便的兔數(shù)或雞數(shù).例如，設(shè)想16只中，“兔數(shù)”為10，“雞數(shù)”為6，就有腳數(shù)1910+116=256.比280少24.24（19-11）=3， 就知道設(shè)想6只“雞”，要少3只.要使設(shè)想的數(shù)，能給計算帶來方便，常常取決于你的心算本領(lǐng).下面再舉四個稍有難度的例子.例3 一份稿件，甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成，現(xiàn)在甲單獨打若干小時后，因有事由乙接著打完，共用了7小時.甲打字用了多少小時？解：我們把這份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時打306=5（份）

30、，乙每小時打3010=3（份）.現(xiàn)在把甲打字的時間看成“兔”頭數(shù)，乙打字的時間看成“雞”頭數(shù)，總頭數(shù)是7.“兔”的腳數(shù)是5，“雞”的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.根據(jù)前面的公式 “兔”數(shù)=（30-37）（5-3）=4.5，“雞”數(shù)=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了4.5小時，乙打字用了2.5小時.答：甲打字用了4小時30分.例4 今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年后（2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時，是公元哪一年？解：4年后，兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和

31、是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作“雞”頭數(shù)，弟的年齡看作“兔”頭數(shù).25是“總頭數(shù)”.86是“總腳數(shù)”.根據(jù)公式，兄的年齡是（254-86）（4-3）=14（歲）.1998年，兄年齡是14-4=10（歲）.父年齡是（25-14）4-4=40（歲）.因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時，兄的年齡是（40-10）（3-1）=15（歲）.這是2003年.答：公元2003年時，父年齡是兄年齡的3倍.例5 蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀.現(xiàn)在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀.每種小蟲各幾只？解：因為蜻蜓和蟬都有6條腿，所以從腿的

32、數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成“8條腿”與“6條腿”兩種.利用公式就可以算出8條腿的蜘蛛數(shù)=（118-618）（8-6）=5（只）.因此就知道6條腿的小蟲共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對翅膀.再利用一次公式蟬數(shù)=（132-20）（2-1）=6（只）.因此蜻蜓數(shù)是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬.例6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對181道題，已知每人至少做對1道題，做對1道的有7人，5道全對的有6人，做對2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對4道的人數(shù)有多少人？解：對2道、3道、4道題的人共有52-7-6=39（人）.他們共做對181-1

33、7-56=144（道）.由于對2道和3道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對2.5道題的人（2+3）2=2.5）.這樣兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5，總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39.對4道題的有（144-2.539）（4-1.5）=31（人）.答：做對4道題的有31人.四、“兩數(shù)之差”的問題雞兔同籠中的總頭數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？例7 買一些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張？解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.（680-840）（8+4）=30（張），這就知道，余

34、下的郵票中，8分和4分的各有30張.因此8分郵票有40+30=70（張）.答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張.也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法.解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分.以“分”作為計算單位，此時郵票總值是420+860=560.比680少，因此還要增加郵票.為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是（680-420-860）（4+8）=10（張）.因此4分有20+10=30（張），8分有60+10=70（張）.例8 一項工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：類

35、似于例3，我們設(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法，晴天有（150-83）（10+8）= 7（天）.雨天是7+3=10天，總共7+10=17（天）.答：這項工程17天完成.請注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個.這說明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系.總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？例9 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只？解一：假如再補上28只雞腳，也就是再有雞282=14（只

36、），雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳42=2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.兔的只數(shù)是（100+282）（2+1）=38（只）.雞是100-38=62（只）.答：雞62只，兔38只.當(dāng)然也可以去掉兔284=7（只）.兔的只數(shù)是（100-284）（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法.解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50（只）.此時腳數(shù)之差是450-250=100，比28多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了（雞數(shù)少了）.為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只（千萬注意，不是2）.因此要減少的兔數(shù)是（100-28）（4+2）=12

37、（只）.兔只數(shù)是50-12=38（只）.另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”.例10 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字.有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字數(shù)卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首.解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時字數(shù)相差1354+20=280（字）.每首字數(shù)相差74-54=8（字）.因此，七言絕句有28（28-20）=35（首）.五言絕句有35+13=48（首）.答：五言絕句48首，七言絕句35首.解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字

38、數(shù)分別是2023=460（字），2810=280（字），五言絕句的字數(shù)，反而多了460-280=180（字）.與題目中“少20字”相差180+20=200（字）.說明假設(shè)詩的首數(shù)少了.為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字數(shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加2008=25（首）.五言絕句有23+25=48（首）.七言絕句有10+25=35（首）.在寫出“雞兔同籠”公式的時候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對于例7、例9和例10三個問題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè).現(xiàn)在來具體做一下，把列出的計算式子與“雞兔同籠”公式對照一下，就會發(fā)現(xiàn)非常有趣的事.例7，假設(shè)都是8分郵票，4

39、分郵票張數(shù)是（680-840）（8+4）=30（張）.例9，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是（1004-28）（4+2）=62（只）.10，假設(shè)都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是（2013+20）（28-20）=35（首）.首先，請讀者先弄明白上面三個算式的由來，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個算式只是有一處“-”成了“+”.其奧妙何在呢？當(dāng)你進入初中，有了負數(shù)的概念，并會列二元一次方程組，就會明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事.例11 有一輛貨車運輸2000只玻璃瓶，運費按到達時完好的瓶子數(shù)目計算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運費，還要每只賠償1元.結(jié)果得到運費379.6元，問

40、這次搬運中玻璃瓶破損了幾只？解：如果沒有破損，運費應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2（元）.因此破損只數(shù)是（400-379.6）（1+0.2）=17（只）.答：這次搬運中破損了17只玻璃瓶.請你想一想，這是“雞兔同籠”同一類型的問題嗎？例12 有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1題得5分，答錯（包含不答）1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分？解一：如果小明第一次測驗24題全對，得524=120（分）.那么第二次只做對30-24=6（題）得分是86-2（1

41、5-6）=30（分）.兩次相差120-30=90（分）.比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得5+1=6（分），而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16（分）.（90-10）（6+10）=5（題）.因此，第一次答對題數(shù)要比假設(shè)（全對）減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對30-19=11（題）.第一次得分519-1（24- 9）=90.第二次得分811-2（15-11）=80.答：第一次得90分，第二次得80分.解二：答對30題，也就是兩次共答錯24+15-30=9

42、（題）.第一次答錯一題，要從滿分中扣去5+1=6（分），第二次答錯一題，要從滿分中扣去8+2=10（分）.答錯題互換一下，兩次得分要相差6+10=16（分）.如果答錯9題都是第一次，要從滿分中扣去69.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了69+10.因此，第二次答錯題數(shù)是（69+10）（6+10）=4（題）第一次答錯 9-4=5（題）.第一次得分 5（24-5）-15=90（分）.第二次得分 8（15-4）-24=80（分）.五、從“三”到“二” “雞”和“兔”是兩種東西，實際上還有三種或者更多種東西的類似問題.在第一節(jié)例5和例6就都有三種東西.從這兩個例子的解法

43、，也可以看出，要把“三種”轉(zhuǎn)化成“二種”來考慮.這一節(jié)要通過一些例題，告訴大家兩類轉(zhuǎn)化的方法.例13 學(xué)校組織新年游藝晚會，用于獎品的鉛筆、圓珠筆和鋼筆共232支，共花了300元.其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元，圓珠筆每支2.7元，鋼筆每支6.3元.問三種筆各有多少支？解：從條件“鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍”，這兩種筆可并成一種筆，四支鉛筆和一支圓珠筆成一組，這一組的筆，每支價格算作（0.604+2.7）5=1.02（元）.現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成價格為1.02和6.3兩種筆.用“雞兔同籠”公式可算出，鋼筆支數(shù)是（300-1.02232）（6.3-1.02）=12（支）.鉛筆和圓珠筆共232

44、12220（支）.其中圓珠筆220（4+1）=44（支）.鉛筆220-44=176（支）.答：其中鋼筆12支，圓珠筆44支，鉛筆176支.例14 商店出售大、中、小氣球，大球每個3元，中球每個1.5元，小球每個1元.張老師用120元共買了55個球，其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個？解：因為總錢數(shù)是整數(shù)，大、小球的價錢也都是整數(shù)，所以買中球的錢數(shù)是整數(shù)，而且還是3的整數(shù)倍.我們設(shè)想買中球、小球錢中各出3元.就可買2個中球，3個小球.因此，可以把這兩種球看作一種，每個價錢是（1.52+13）（2+3）=1.2（元）.從公式可算出，大球個數(shù)是（120-1.255）（3-1.2）

45、=30（個）.買中、小球錢數(shù)各是（120-303）2=15（元）.可買10個中球，15個小球.答：買大球30個、中球10個、小球15個.例13是從兩種東西的個數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系，例14是從兩種東西的總錢數(shù)之間相等關(guān)系（倍數(shù)關(guān)系也可用類似方法），把兩種東西合井成一種考慮，實質(zhì)上都是求兩種東西的平均價，就把“三”轉(zhuǎn)化成“二”了.例15是為例16作準備.例15 某人去時上坡速度為每小時走3千米，回來時下坡速度為每小時走6千米，求他的平均速度是多少？解：去和回來走的距離一樣多.這是我們考慮問題的前提.平均速度=所行距離所用時間去時走1千米，要用20分鐘；回來時走1千米，要用10分鐘.來回共走2千米，用了3

46、0分鐘，即半小時，平均速度是每小時走4千米.千萬注意，平均速度不是兩個速度的平均值：每小時走（6+3）2=4.5千米.例16 從甲地至乙地全長45千米，有上坡路、平路、下坡路.李強上坡速度是每小時3千米，平路上速度是每小時5千米，下坡速度是每小時6千米.從甲地到乙地，李強行走了10小時；從乙地到甲地，李強行走了11小時.問從甲地到乙地，各種路段分別是多少千米？解：把來回路程452=90（千米）算作全程.去時上坡，回來是下坡；去時下坡回來時上坡.把上坡和下坡合并成“一種”路程，根據(jù)例15，平均速度是每小時4千米.現(xiàn)在形成一個非常簡單的“雞兔同籠”問題.頭數(shù)10+11=21，總腳數(shù)90，雞、兔腳數(shù)

47、分別是4和5.因此平路所用時間是（90-421）（5-4）=6（小時）.單程平路行走時間是62=3（小時）.從甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小時）行走路程是45-53=30（千米）.又是一個“雞兔同籠”問題.從甲地至乙地，上坡行走的時間是（67-30）（6-3）=4（小時）.行走路程是34=12（千米）.下坡行走的時間是7-4=3（小時）.行走路程是63=18（千米）.答：從甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.做兩次“雞兔同籠”的解法，也可以叫“兩重雞兔同籠問題”.例16是非常典型的例題.例17 某種考試已舉行了24次，共出了426題.每次出的題數(shù)，有25題，或者1

48、6題，或者20題.那么，其中考25題的有多少次？解：如果每次都考16題，1624=384，比426少42道題.每次考25道題，就要多25-16=9（道）.每次考20道題，就要多20-16=4（道）.就有9考25題的次數(shù)+4考20題的次數(shù)=42.請注意，4和42都是偶數(shù)，9考25題次數(shù)也必須是偶數(shù)，因此，考25題的次數(shù)是偶數(shù)，由96=54比42大，考25題的次數(shù)，只能是0，2，4這三個數(shù).由于42不能被4整除，0和4都不合適.只能是考25題有2次（考20題有6次）.答：其中考25題有2次.例18 有50位同學(xué)前往參觀，乘電車前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下鐵路前往每人6元.這些同學(xué)共

49、用了車費110元，問其中乘小巴的同學(xué)有多少位？解：由于總錢數(shù)110元是整數(shù)，小巴和地鐵票也都是整數(shù)，因此乘電車前往的人數(shù)一定是5的整數(shù)倍.如果有30人乘電車110-1.230=74（元）.還余下50-30=20（人）都乘小巴錢也不夠.說明假設(shè)的乘電車人數(shù)少了.如果有40人乘電車110-1.240=62（元）.還余下50-40=10（人）都乘地下鐵路前往，錢還有多（62610）.說明假設(shè)的乘電車人數(shù)又多了.30至40之間，只有35是5的整數(shù)倍.現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”了：總頭數(shù) 50-35=15，總腳數(shù) 110-1.235=68.因此，乘小巴前往的人數(shù)是（615-68）（6-4）=11.答：

50、乘小巴前往的同學(xué)有11位.在“三”轉(zhuǎn)化為“二”時，例13、例14、例16是一種類型.利用題目中數(shù)量比例關(guān)系，把兩種東西合并組成一種.例17、例18是另一種類型.充分利用所求個數(shù)是整數(shù)，以及總量的限制，其中某一個數(shù)只能是幾個數(shù)值.對幾個數(shù)值逐一考慮是否符合題目的條件.確定了一個個數(shù)，也就變成“二”的問題了.在小學(xué)算術(shù)的范圍內(nèi)，學(xué)習(xí)這兩種類型已足夠了.更復(fù)雜的問題，只能借助中學(xué)的三元一次方程組等代數(shù)方法去求解.六、容斥問題一、知識點1、集合與元素：把一類事物的全體放在一起就形成一個集合。每個集合總是由一些成員組成的，集合的這些成員，叫做這個集合的元素。如：集合a=0，1，2，3，9，其中0，1，2

51、，9為a的元素。2、并集：由所有屬于集合a或集合b的元素所組成的集合，叫做a，b的并集，記作ab，記號“”讀作“并”。ab讀作“a并b”，用圖表示為圖中陰影部分表示集合a，b的并集ab。例：已知6的約數(shù)集合為a=1，2，3，6，10的約數(shù)集合為b=1，2，5，10，則ab=1，2，3，5，6，103、交集：a、b兩個集合公共的元素，也就是那些既屬于a，又屬于b的元素，它們組成的集合叫做a和b的交集，記作“ab”，讀作“a交b”，如圖陰影表示：例：已知6的約數(shù)集合a=1，2，3，6，10的約數(shù)集合b=1，2，5，10，則ab=1，2。4、容斥原理（包含與排除原理）：（用|a|表示集合a中元素的個

52、數(shù)，如a=1，2，3，則|a|=3）原理一：給定兩個集合a和b，要計算ab中元素的個數(shù)，可以分成兩步進行：第一步：先求出a+b（或者說把a，b的一切元素都“包含”進來，加在一起）；第二步：減去ab（即“排除”加了兩次的元素）總結(jié)為公式：|ab|=a+b-ab原理二：給定三個集合a，b，c。要計算abc中元素的個數(shù)，可以分三步進行：第一步：先求a+b+c；第二步：減去ab，bc，ca；第三步：再加上abc。即有以下公式：abc=a+b+c-ab-bc- |ca|+|abc二、例題分析：例1 求不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個。分析：設(shè)a=20以內(nèi)2的倍數(shù)，b=20以內(nèi)3的倍

53、數(shù)，顯然，要求計算2或3的倍數(shù)個數(shù)，即求ab。解1：a=2，4，6，20，共有10個元素，即|a|=10b=3，6，9，18，共有6個元素，即|b|=6ab=既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)=6，12，18，共有3個元素，即|ab|=3所以ab=a+b-ab=10+6-3=13，即ab中共有13個元素。解2：本題可直觀地用圖示法解答如圖,其中,圓a中放的是不超過20的正整數(shù)中2的倍數(shù)的全體;圓b中放的是不超過20的正整數(shù)中3的倍數(shù)的全體,其中陰影部分的數(shù)6,12,18是既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)(即ab中的數(shù))只要數(shù)一數(shù)集合ab中的數(shù)的個數(shù)即可。例2 某班統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得90分上的有25人；語文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人？解：設(shè)a=數(shù)學(xué)成績90分以上的學(xué)生b=語文成績90分以上的學(xué)生那么，集合ab表示兩科中至少有一科在90分以上的學(xué)生，由題意知，a=25，b=21，ab=38現(xiàn)要求兩科均在90分以上的學(xué)生人數(shù)，即求ab，由容斥原理得ab=a+b-ab=25+21-38=8點評：解決本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合a，b，并且會表示ab，ab，再利用容斥原理求解。例3 某班同學(xué)中有39人打籃球，37人跑步，25人既