求方程根的近似方法課件

1、求方程根的近似方法 f(x)=0=0的根的根( (或或f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn)) )，當(dāng)，當(dāng)f(x)復(fù)雜時(shí)，很難求復(fù)雜時(shí)，很難求（需要找到有效簡(jiǎn)單的近似方法去求）。（需要找到有效簡(jiǎn)單的近似方法去求）。 第二章第二章 求方程根的近似方法求方程根的近似方法2.1 2.1 二分法二分法理理 論論: : f(x) Ca,b, Ca,b, 單調(diào)單調(diào), , f(a)f(b)0 0 f(x)=0=0在在(a,b)(a,b)中有惟一根。中有惟一根。求方程根的近似方法abx1x2ab何時(shí)停下來(lái)?11xxkk 2)(xf 或或不能保證不能保證 x 的精的精度度x* 2xx*求方程根的近似方法解解： f(1)=-50

2、-(1,2)+ x1=1.5 f(1.5)0 (1,1.5) x2=1.25 f(1.25)0 (1.25,1.375) x4=1.313 f(1.313)0 (1.313,1.375) x5=1.344 f(1.344)0 (1.344,1.375) x6=1.360 f(1.360)0 (1.360,1.368) x8=1.364 例例2.1.12.1.1 用二分法求用二分法求 在在(1,2)(1,2)內(nèi)內(nèi) 的根，要求絕對(duì)誤差不超過(guò)的根，要求絕對(duì)誤差不超過(guò)010423 xx21102。求方程根的近似方法*21 |10 , 822nnbaxxn：。先先驗(yàn)驗(yàn)估估計(jì)計(jì)解解出出等等分分次次數(shù)數(shù)*8

3、1.364xx若 取 近 似 根*211|(1.3681.360)0.0041022xx8，則則 （事后估計(jì)事后估計(jì)）誤差誤差 分析：分析：第第1步產(chǎn)生的步產(chǎn)生的21bax 有誤差有誤差21abx*|x 第第 k 步產(chǎn)生的步產(chǎn)生的 xk 有誤差有誤差kkabx*|x2 對(duì)于給定的精度對(duì)于給定的精度 , 可估計(jì)二分法所需的步數(shù)可估計(jì)二分法所需的步數(shù) k ： lnln2ln 2kbabak 求方程根的近似方法缺點(diǎn)：收斂速度慢，缺點(diǎn)：收斂速度慢， 不易求偶數(shù)重根不易求偶數(shù)重根. . 如圖如圖用二分法求根，最好先給出用二分法求根，最好先給出 f (x) 草圖以確定根的大草圖以確定根的大概位置?；蛴盟阉?/p>

4、程序，將概位置?；蛴盟阉鞒绦?，將a, b分為若干小區(qū)間，對(duì)每一分為若干小區(qū)間，對(duì)每一個(gè)滿足個(gè)滿足 f (ak)f (bk) 0 的區(qū)間調(diào)用二分法程序，可找出區(qū)的區(qū)間調(diào)用二分法程序，可找出區(qū)間間a, b內(nèi)的多個(gè)根，且不必要求內(nèi)的多個(gè)根，且不必要求 f (a)f (b) 0 。yx優(yōu)點(diǎn)：條件和方法簡(jiǎn)單優(yōu)點(diǎn)：條件和方法簡(jiǎn)單( (只要求只要求f(x)連續(xù)即可連續(xù)即可) )，方法收斂；，方法收斂；求方程根的近似方法 ( )0 ( )(f xxxf 改改寫寫成成， 連連續(xù)續(xù)）1 1. . 建建立立: :把把 ,.,., 121，nnx xxx 則則產(chǎn)產(chǎn)生生數(shù)數(shù)列列若若此此數(shù)數(shù)列列收收斂斂，不不妨妨設(shè)設(shè)極極

5、限限為為則則 一一. 迭代法的建立與收斂性迭代法的建立與收斂性01 () (0, 1, 2,.)nnxxxn 取取 定定 初初 值值 1limlim (), i.e., ( )nnnnxx 所以所以, 為為f的根的充要條件是的根的充要條件是 為為 的不動(dòng)點(diǎn)。的不動(dòng)點(diǎn)。2.2 2.2 迭代法迭代法求方程根的近似方法 1( )0nf xnx 即即 是是當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)為為。的的根根，故故充充分分大大, ,可可作作的的近近似似值值.Newton( )3335 31011習(xí)題，第一種方法，另一種方法用迭代法，在1,2收斂，初值取1.5：。xxxxxxx 形形式式不不唯唯一一， 我我們們?cè)撛撛踉鯓訕尤∪∷?？?/p>

6、或如如 3103101 1.51 1.5 nnnnxxxxxx取取取取前者收斂前者收斂：1.5; 1.35721; 1.33086; 1.32588; 1.32494; 1.32476; 1.32473; 1.32472; 1.32472;后者發(fā)散后者發(fā)散: : 1.5; 2.375; 12.39; 問(wèn)題：何時(shí)收斂？問(wèn)題：何時(shí)收斂？求方程根的近似方法xyy = xxyy = xxyy = xxyy = x y= (x)y= (x)y= (x)y= (x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1求方程根的近似方法2.2.收斂定理收斂定理 (2)1, , , |

7、( )|.Lxa bxL 存存在在常常數(shù)數(shù)使使得得有有 ( ) ( ) ;1 (3) 1 (4) 011101() , 2 , ,(,|.1nnnnnnnxxa bxa bxxxxxLLxxxL 則則：方方程程在在上上有有唯唯一一根根；）收收斂斂到到 1 , ( );xa baxb （） ，有有( ) , xa b 設(shè)設(shè)在在上上滿滿足足下下列列兩兩項(xiàng)項(xiàng)條條件件定理定理2.2.12.2.1求方程根的近似方法注1：L L越小，收斂越快。越小，收斂越快。由定理結(jié)論由定理結(jié)論(3)(3)或或(2.2.2)(2.2.2)，只要前后兩次迭代值的差值足，只要前后兩次迭代值的差值足 夠小，就可使近似值夠小，就

8、可使近似值 達(dá)到任意的精度。在實(shí)際計(jì)算達(dá)到任意的精度。在實(shí)際計(jì)算 中，一般用中，一般用 來(lái)控制迭代過(guò)程結(jié)束來(lái)控制迭代過(guò)程結(jié)束。1nx1|nnxx定理?xiàng)l件非必要條件，可將定理?xiàng)l件非必要條件，可將a, b縮小，定義縮小，定義局部收斂性局部收斂性：定義定義2.2.1 若存在若存在 的某的某 鄰域鄰域 B = x | | x | , 使使由由 x0 B 開(kāi)始的迭代都收斂開(kāi)始的迭代都收斂, 則稱迭代法具有則稱迭代法具有局部收斂性局部收斂性。定理定理2.2.2 設(shè)設(shè)(x)在在 的某的某 鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)， 且且 | ( ) | 1， 則迭代法則迭代法xn+1 = (xn)

9、具有局部收斂性具有局部收斂性。證明證明 省略省略。求方程根的近似方法3 3編程停機(jī)判斷編程停機(jī)判斷 nnxx1時(shí)，由（時(shí)，由（2.2.22.2.2）式知）式知 L11 nx 比較小，此時(shí)停機(jī)，比較小，此時(shí)停機(jī)，1n x )(1nnxx （取定初值（取定初值x0）計(jì)算，當(dāng)）計(jì)算，當(dāng) 由由求方程根的近似方法二二. .迭代法的收斂階迭代法的收斂階( (收斂速度收斂速度) )1| (0), |limnpnnxCCx 則稱則稱xn p階收斂階收斂, ,相應(yīng)的迭代法稱為相應(yīng)的迭代法稱為p階方法階方法. . 特別特別, , p=1=1時(shí)叫線性收斂時(shí)叫線性收斂, ,此時(shí)要求此時(shí)要求00C1;0,0,使使 定義

10、定義2.2.22.2.2: : 設(shè)設(shè)求方程根的近似方法定理定理2.2.32.2.3 設(shè)設(shè)(x)在在 的某鄰域的某鄰域 內(nèi)有充分多階連續(xù)內(nèi)有充分多階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則迭代法導(dǎo)數(shù)，則迭代法xn+1 = (xn)為為p階收斂階收斂的充要條件是的充要條件是 ( ) = ( ) = = (p-1)( ) =0， (p)( ) 0.證明證明 利用利用Taylor展開(kāi)式（略）展開(kāi)式（略）求方程根的近似方法 2.32.3牛頓（牛頓（NewtonNewton）法）法)( )( )()()(! 2)()( )( )()(2nnnnnnnnxxxfxfxfxxxfxxxfxfxf TaylorTaylor展開(kāi)線性化展開(kāi)線

11、性化0)( xf近似于近似于0)()( )( nnnxxxfxf 1()- (0, 1, 2,)(2.1)()nnnnf xxxnfx 將將f(x)在在xn點(diǎn)點(diǎn)TaylorTaylor展開(kāi)展開(kāi) 解出解出 記為記為，則則1 nxx一一. Newton . Newton 迭代法迭代法 1.1.迭代公式的建立：迭代公式的建立：求方程根的近似方法2.Newton2.Newton迭代法的幾何意義迭代法的幾何意義)()( )(nnnxxxfxfy 與與 0 y求交點(diǎn)，解出求交點(diǎn)，解出1nxx , 則則1()()nnnnf xxxfx ) )(,(nnxfx 的切線的切線 過(guò)過(guò)求方程根的近似方法3. New

12、ton3. Newton迭代法的收斂定理（迭代法的收斂定理（定理定理 2.3.12.3.1）（1 1）)(),( xfxf連續(xù)，且分別不變號(hào)；連續(xù)，且分別不變號(hào)；則則 Newton Newton 迭代法（迭代法（2.12.1）產(chǎn)生的數(shù)列）產(chǎn)生的數(shù)列 1 nx收斂到根收斂到根 。0)( xf在在 a,b 上有根上有根 , , 且且)(xf在在 a,b 上滿足上滿足設(shè)設(shè)0,xa b , ,使使（2 2） 取初值取初值0)()(00 xfxf求方程根的近似方法 解：設(shè)解：設(shè), 0,2 cxcx則則取取cxxf 2)(，則由（，則由（2.12.1）)(21221nnnnnnxcxxcxxx 例例2.3.12.3.1(0).cc 用用 Newton Newton 迭代法求迭代法求求方程根的近似方法4.Newton4.Newton迭代法的收斂階迭代法的收斂階( (收斂速度收斂速度) )（定理定理 2.3.22.3.2） ( )0則則單單的的N Ne ew wt to on n迭迭代代法法如如果果收收斂斂, ,其其收收斂斂至至少少是是二二階階的的。求的根f x 0)( xf在在 a,b 有單根有單根 ，且，且)(xf 在在 a,b 上有上有設(shè)設(shè)直到二階的連