平行四邊形培優(yōu)講義新打印版

1、平行四邊形培優(yōu)講義新打印版01 / 22平邊四邊形知識點.知識框架.知識概念平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點 連成的線段叫做它的對角線。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，對角相等,對角線互相平分。 平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對

2、角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形, 有兩條對稱軸）矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形 （根據(jù)定義）。對角線相等的平行四邊形是矩形。 四個角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。 菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 四條邊都相等的四邊形是菱形。S菱形=1/2X ab （a b為兩條對角線）或底x高正方形的定

3、義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸）正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形;鄰邊相等的矩形是正方形；平行四邊形培優(yōu)講義新打印版對角線互相垂直的矩形；對角線相等的菱形； 梯形的定義： 一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。 直角梯形的定義：有一個角是直角的梯形 等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。 等腰梯形判定定理：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。梯形常用輔助線：17 / 22平行四邊形的判定及性質(zhì)鞏固練習(xí)題1、

4、如圖，已知在四邊形 ABCD中, AD=BCZ D=Z DCE求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.2、3、有一個四邊形的四邊長分別是a, b, c, d,且有a2+b2+c2+d2=2 （ac+bd）.求證：此四邊形是平行四邊形.4、 ABCD中 ,AC、BD交于點 O, AE=CF 求證：BE=DF5、（變式練習(xí) 2） ABCD中 ,AC、BD交于點O, AE=CF BM=DN求證：四邊形MFNE!平行四邊形如圖，在 口ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且 AE / CF , AE與CF相等嗎？說明理由6、（變式練習(xí)3）如圖，平行四邊形 ABCD中, E、F是AC上兩點，且 AE=C

5、F又點M N分別在AB CD上 , 且MF/ EN MN交AC于O。求證：EF與MN互相平分。7、（變式練習(xí)4）如圖所示，口ABCD的對角線 AC、BD交于O, EF過點0交AD于E，交BC于F , G是 0A的中點，H是0C的中點，四邊形 EGFH是平行四邊形，說明理由8 （變式練習(xí)）口 ABCD中, DE平分/ ADC交BC的延長線于 E, BF平分/ ABC交AB的延長線于F,求證：四邊形 DEBF是平行四邊形9、（變式練習(xí)1）如圖所示，平行四邊形 ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，連結(jié)AN、DN、BM、CM ,且AN、BM交于點P, CM、DN交于點Q.四邊形MGNP是平行四邊

6、形嗎？為什么?10、（變式練習(xí)2）如圖，E、F分別為口 ABCD的邊AD BC的中點。求證：（1） BE=DF（2） O為GH的中點。11、 ABCD中, E在 AB上, F 在 CD上，且 AE=CF,M為 DE中點，N為 FB 中點，求證：FM=NE ME=NFC12、已知如圖：在 _ABCD中，延長 AB到E,延長CD到F,使BE=DF , 則線段AC與EF是否互相平分？說明理由.13、如圖所示，已知點D是厶ABC的邊AB上的中點，點 E是AC上的一點，DF/ BE,EF/ AB,證明：AE、DF互相平分A二/- F上EBLC14、如圖,結(jié)AE,已知人。是厶ABC的邊BC上的中線，求證：

7、DE=AC15、如圖，在 口ABCD中，/ DAB=60 求證：四邊形 AFCE是平行四邊形.，點E、F分別在 CD AB的延長線上，且 AE=AD CF=CB16、如圖所示，某城市部分街道示意圖，AF / BC , EC丄BC, BA / DE , BD / AE , EF=FC，甲、乙兩人同時從B站乘車到F站，甲乘1路車，路線是 BtAtEtF,乙乘2路，路線是 B宀D宀C宀F,假設(shè)兩車速度相同，途中耽誤時間相同，那么誰先到達F站，請說明理由17、在平行四邊形 ABCD中，BN = DM , BE = DF，求證：四邊形 MENF是平行四邊形BE C18、如圖，在一 ABCD 中，AB=2

8、AD，延長 AD至U F,使DF=AD,再延長 DA至U E,使AE=AD,求證:BF丄CE.BFABD，等邊三角形 BCE ,19、如圖19- 1 30,分別以 ABC的三邊為邊長，在 BC的同側(cè)作等邊三角形 等邊三角形ACF，連接DE , EF。求證：四邊形 ADEF是平行四邊形。20、如圖3，在 ABC中，D是BC邊的中點，F(xiàn) , E分別是AD及其延長線上的點， CF / BE ,連結(jié)BF, CE，試判斷四邊形 BECF是何種特殊四邊形，并說明理由。21、如圖2,平行四邊形 ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點，且 AE = CF, BG = DH，試說明:EF與GH相互平分.囲

9、2矩形拓展題1、如圖，四邊形 ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（）A . AB = CDB. AD = BCC. AB= BCD . AC= BDD2、如圖，矩形 ABCD AB=12cm AD=16cm現(xiàn)將其按下列步驟折疊： （1）將厶BAD對折，使AB落在AD上, 得到折痕AF,如圖（2）將厶AFB沿BF折疊，AF與DC交點G,如圖則所得梯形 BDGF勺周長等于（）D.12+4A.12+2 . 2B.24+2,2C.24+43、如圖，邊長為（m+3）的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個矩形 （不重疊無縫隙），若拼成的矩形一邊長為3,則

10、另一邊長是（）A . 2m+3B . 2m+6C. m+3D. m+6CB4、如圖，矩形 ABCD 中，AB AD , AB=a, AN 平分/ DAB , DM 丄 AN 于點M , CN丄AN于點N .貝U DM+CN的值為（用含a的代數(shù)式表示）（）4 J 23A. a Ba C. a D. a5 225、如圖，已知矩形紙片ABCD，點E是AB的中點，點G是BC上的一點,BEG 60 ,現(xiàn)沿直線EG6、矩形紙片 ABCD 中,AB= 3, AD = 4,將紙片折疊，使點B落在邊CD上的B處，折痕為 AE .在折痕將紙片折疊，使點 B落在紙片上的點 H處，連接AH，則與 BEG相等的角的個數(shù)

11、為D.1AE上存在一點P到邊CD的距離與到點B的距離相等，則此相等距離為 7小明嘗試著將矩形紙片 ABCD （如圖，ADCD）沿過A點的直線折疊，使得 B點落在AD邊上的點F 處，折痕為AE （如圖）；再沿過D點的直線折疊，使得 C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上 的點M處，折痕為DG （如圖）.如果第二次折疊后， M點正好在/ NDG的平分線上，那么矩形 ABCD長與寬的比值為M8如右上圖，將矩形ABCD紙片沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D重合，若BC=8 , CD=6，則CF= 0) 過點D作DF丄BC于點F，連接DE、EF.(1) 求證：AE=DF ;(2) 四邊形AEFD能夠

12、成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由(3) 當(dāng)t為何值時， DEF為直角三角形？請說明理由平行四邊形培優(yōu)講義新打印版正方形練習(xí)題1、 正方形ABCD的邊長為1，它的兩條對角線相交于點 0,則厶ABO的周長為，面積為2、 如圖，E是正方形 ABCD 邊BC延長線上一點， EC=AC，AE交CD于F,則/ AFC=2題圖3題圖6題圖19 / 22D3、如圖，在正方形ABCD 中，AB=8 , AE=2, EF= 2亦點 E 在 AB 上，點 F 在 AD 上，貝U CF=4、在正方形ABCD中，E是BC上一點，AE把正方形分成兩部分，且 S abe : S梯形aecd 1： 5

13、, AB=6,則AE=15、 若正方形面積縮小為原來的-，則它的邊長是原來邊長的 36、 如圖，ABCD是正方形，M是BC中點，將正方形折起，使點 A與點M重合，設(shè)折痕為 EF,若正方形 面積為64,那么 AEM的面積是7、 如圖，以正方形 ABCD的對角線 BD為邊作正三角形 BDE,過E作EF丄AD,交DA的延長線于 F,則/AEF=;若正三角形 BDE的周長是12 J2，正方形面積為 DCBF7題圖8、如圖，在正方形 ABCD中,8題圖10題圖P是AD上任一點，PE丄AC,PF丄BD,點E、F分別是垂足,BD+AC=14 則PE+PF=9、正方形 ABCD邊長為8, M在DC上，且DM=

14、2,N是AC上的一動點，貝U DN+MN勺最小值為 10、如圖，已知邊長為 1的正方形ABCD E為AD中點，P為CE的中點，貝U S BPD = 11、在厶ABC 中，AB=AC , D 是 BC 中點，DE丄AB,DF丄AC,垂足 分別為 E,F,只添加一個條件,使四邊形AEDF為正方形（寫出一個條件即可）12、如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60 ，至正方形 ABCD,則旋轉(zhuǎn)后兩個正方形重疊部分的面積是 CB平行四邊形培優(yōu)講義新打印版13、如圖，在正方形 ABCD中，M為BC上任一點，N是CD的中點，且 AM=DC+CM 求證：AN平分/ DAM21 / 2214、

15、已知正方形 ABCD中, M是AB的中點，E是AB延長線上一點， MNL DM且交/ CBE的平分線于 N.求證: MD=MN.若M是AB上任意一點，MD=MNE成立嗎？若成立，請證明之；若不成立，請說明理由。15、如圖，在正方形 ABCD中，E是BC邊上一點，過點G.求證：BE=BG+CFE作AE的垂線分別交 CD、AB的延長線于點F、F16、如圖，在正方形 ABCD中， PAQ是正三角形，設(shè) AB=10,求PB的長17、如圖，在正方形 ABCD中，F(xiàn)是對角線 AC上任一點，BF丄EF,求證：BF=EFF移到什么位置時,18、如圖，正方形 ABCD邊長為1 , E是CD的中點，點F在BC邊上

16、移動試判斷當(dāng)點AE是/ DAF的平分線？19、如圖，在正方形 ABCD中, E是DB延長線上的一點，且/ ECB=15 .求證：EC=BD平行四邊形培優(yōu)講義新打印版四邊形綜合培優(yōu)題1、以厶ABC的邊AB、AC、BC為邊作等邊 ABD、等邊 ACE和等邊 BCF。(1) 求證四邊形 ADFE是平行四邊形.(2) 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時，四邊形 ADFE是矩形；(3) 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時，平行四邊形ADFE不存在；(4) 當(dāng)厶ABC分別滿足什么條件時，平行四邊形是菱形、正方形.2、如圖：正方形ABCD的對角線 AC、BD相交于點 O, E是AC上的一點，連接EB,過點A作AM丄BE , 垂

17、足M , AM交BD于點F. 求證OE=OF 如圖2所示，若點E在AC的延長線上，AM丄EB的延長線于點 M，交DB的延長線于點F,其他條件 都不變，則結(jié)論 OE=O”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.C,AB/CD,M,N 分別是 AB,CD3、如圖，在梯形 ABCD中，/ A+ / B=901的中點，求證：MN= (AB CD).4、已知：如圖，在厶ABC 中, AB=AC, AD丄BC,垂足為點 D , AN是厶ABC外角/ CAM的平分線，CE丄AN ,16 / 22垂足為點E,(1) 求證：四邊形 ADCE為矩形；(2) 當(dāng) ABC滿足什么條件時，四邊形 ADC

18、E是一個正方形？并給出證明.5、在口ABCDK/ BAD的平分線交直線 BC于點E,交直線DC于點F.(1) 在圖1中證明CE= CF；(2) 若/ ABC= 90 , G是EF的中點(如圖2),求/ BDG勺度數(shù)F圖2圖3(3) 若/ ABC= 120, FG/ CE F*CE 分別連結(jié) DB DG(如圖 3),求/ BDG勺度數(shù).6、已知正方形 ABCD點P是對角線AC所在直線上的動點，點 E在DC邊所在直線上，且始終保持 PE= PD17 / 22平行四邊形培優(yōu)講義新打印版（1）如圖1,當(dāng)點P在對角線AC上時，觀察、猜想 PE與PB有怎樣的關(guān)？并證明你的結(jié)論。（2）如圖2,當(dāng)點P運動到C

19、A的延長線上時，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果 不成立，請說明理由；（3）如圖3,當(dāng)點P運動到CA的反向延長線上時，請你利用圖3畫出滿足條件的圖形,并判斷此時PE與PB有怎樣的關(guān)系？并證明你的結(jié)論。7、如圖，梯形 ABCDK AD/ BC / DCB= 45, CD= 2, BD丄 CD 過點 C作 CEL AB于 E,交對角線 BD于 F,點G為BC中點，連結(jié) EG AF.（1 ）求EG的長；（2）求證：CF= AB+ AF.（用兩種方法證明）27 / 228以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、平行四邊形培

20、優(yōu)講義新打印版G、H，順次連結(jié)這四個點，得四邊形EFGH .(1) 如圖1,當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為 矩形時，請判斷：四邊形 EFGH的形狀并說明理由；(2) 如圖3,當(dāng)四邊形 ABCD為一般平行四邊形時，設(shè)/ ADC= (0 V 90, 試用含 的代數(shù)式表示/ HAE : 求證：HE=HG : 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由.# / 229、如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, E、F分別是 AB、DC邊的中點，AB=4，/ B=60 (1)求點E到BC邊的距離；(2)點P為線段EF上的一個動點，過 P作PM丄BC,

21、垂足為M，過點M作MN / AB交線段AD于點N , 連接PN、探究：當(dāng)點 P在線段EF上運動時， PMN的形狀是否發(fā)生變化？若不變，請求出厶 PMN的面 積和周長；若變化，請說明理由.10、將一副三角尺如圖拼接：含30角的三角尺( ABC的長直角邊與含 45角的三角尺( ACD的平行四邊形培優(yōu)講義新打印版斜邊恰好重合已知 AB= 2 .,3 , P是AC上的一個動點.（1）當(dāng)點P運動到/ ABC的平分線上時，連接 DP求DP的長；（2）當(dāng)點P在運動過程中出現(xiàn) PD= BC時，求此時/ PDA勺度數(shù)；Q恰好在邊BC上？求出此時口（3） 當(dāng)點P運動到什么位置時，以 D, P, B, Q為頂點的平行四邊形的頂點 DPBQ勺面積.（備用圖）31 / 22（備用圖）（第 11題圖1）（第 11題圖2）12已知：正方形 ABCD中,MAN 45, MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB, DC （或11、如圖1，在 ABC中, AB= BC= 5, AC=6. ABC沿 BC方向平移得到的，連接 AE AC和BE相交于點Q（1）判斷四邊形 ABCE1怎樣的四邊形，說明理由；（2）如圖2, P是線段BC上一動點（圖2）,（不與點B、