農(nóng)作物施肥效果分析講義

1、農(nóng)作物施肥效果分析（1992年A題）某研究所為了研究N、P、K三種肥料對(duì)于土豆和生菜的作用，分別對(duì)每種作物進(jìn)行了三組實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中將每種肥料的施用量分為10個(gè)水平，在考察其中一種肥料的施用量與產(chǎn)量關(guān)系時(shí)，總是將另二種肥料固定在第7個(gè)水平上，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下列表格所示，其中ha表示公頃，t表示噸，kg表示千克，試建立反映施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的模型，并從應(yīng)用價(jià)值和如何改進(jìn)等方面作出評(píng)價(jià)施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)土豆：NPK施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)015.18033.46018.983421.362432.474727.356

2、725.724936.069334.8610132.297337.9614038.5213534.039841.0418638.4420239.4514740.0927937.7325943.1519641.2637238.4333643.4624542.1746543.8740440.8329440.3655842.7747130.7534242.7365146.22生菜NPK施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)011.0206.39015.752812.70499.484716.765614.569812.469316

3、.898416.2714714.3814016.2411217.7519617.1018617.5616822.5929421.9427919.2022421.6339122.6437217.9728019.3448921.3446515.8433616.1258722.0755820.1139214.1168524.5365119.40一、符號(hào)說明：W：農(nóng)作物產(chǎn)量.x：施肥量.N、P、K：氮、磷、鉀肥的施用量.CW：農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格.CN, CP, CK：氮、磷、鉀肥的價(jià)格.a,b,b0,b1,b2,c,c0,c1,c0,c1：常數(shù)（對(duì)特定肥料，特定農(nóng)作物而言）二、模型假設(shè)1. 研究所的實(shí)驗(yàn)是在相

4、同的正常實(shí)驗(yàn)條件（如充足的水分供應(yīng)，正確的耕作程序）下進(jìn)行的，產(chǎn)量的變化是由施肥量的改變引起的，產(chǎn)量與施肥量之間滿足一定的規(guī)律。在實(shí)驗(yàn)中，除施肥量，其它影響因子（如環(huán)境條件、種植密度等）均處于同等水平。2. 土壤本身已含有一定數(shù)量的氮、磷、鉀肥，即具有一定的天然肥力（從數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)各種養(yǎng)分的施肥量都為0時(shí)，產(chǎn)量并不為0）。3. 每次實(shí)驗(yàn)是獨(dú)立進(jìn)行的，且對(duì)于N、P、K施用量來說無系統(tǒng)誤差，模型的誤差項(xiàng)均服從同分布的正態(tài)分布。三、 問題分析題目要求建立反映施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的模型，顯然這是一個(gè)回歸分析的問題，但是什么樣的回歸模型能體現(xiàn)施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系呢？這就需要從問題的實(shí)際背景出發(fā)來考察。

5、一元回歸分析理論（1-17頁）及其實(shí)現(xiàn)（25-30頁）農(nóng)學(xué)規(guī)律表明，施肥量與產(chǎn)量一般滿足這樣的關(guān)系：它分成三個(gè)不同的區(qū)段，在第一區(qū)段，當(dāng)施肥量比較小時(shí)，作物產(chǎn)量隨施肥量的增加而迅速增加，第二區(qū)段，隨著施肥量的增加，作物產(chǎn)量平緩上升，第三區(qū)段，施肥量超過一定限度后，產(chǎn)量反而隨施肥量的增加而下降在長(zhǎng)期的實(shí)踐中，農(nóng)學(xué)家們已經(jīng)總結(jié)出關(guān)于作物施肥效果的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，并建立了相應(yīng)的理論1. Nicklas和Miller理論：設(shè)h為達(dá)到最高產(chǎn)量時(shí)的施肥量，邊際產(chǎn)量（即產(chǎn)量W對(duì)施肥量x的導(dǎo)數(shù)）dW/dx與(h-x)成正比例關(guān)系，即 dW/dx=a(h-x) (1)從而 W=b0+b1x+b2x2 (2)2. 米采

6、利希學(xué)說：只增加某種養(yǎng)分時(shí)，引起產(chǎn)量的增加與該種養(yǎng)分供應(yīng)充足時(shí)達(dá)到的最高產(chǎn)量A與現(xiàn)在產(chǎn)量W之差成正比，即dW/dx=c(A-W) (3)從而 W=A（1-exp(-cx)） (4)考慮到土壤本身的天然肥力，上式可修正為W=A（1-exp(-cx+b)） (5)3. 英國(guó)科學(xué)家博伊德發(fā)現(xiàn)，在某些情況下，將施肥對(duì)象按施肥水平分成幾組，則各組的效應(yīng)曲線就呈直線形式。若按水平分成二組，可以用下式表示（其中xi表示分組值）： (6)四、模型與結(jié)果為考察氮、磷、鉀三種肥料對(duì)作物的施肥效果，我們以氮、磷、鉀的施用量為自變量，土豆和生菜的產(chǎn)量為因變量描點(diǎn)作散點(diǎn)圖（見圖1，圖2）。圖1 土豆產(chǎn)量和三種肥料施肥量

7、之間的散點(diǎn)圖圖2 生菜產(chǎn)量和三種肥料施肥量之間的散點(diǎn)圖從圖中看出，氮肥對(duì)于作物產(chǎn)量的貢獻(xiàn)大致呈多項(xiàng)式關(guān)系，磷肥對(duì)于作物產(chǎn)量的關(guān)系大致為分段直線形式，至于鉀肥，對(duì)土豆而言，大致呈指數(shù)關(guān)系。對(duì)生菜而言，隨著施用量的增加，產(chǎn)量的上升幅度很小.這樣，我們得到了對(duì)施肥效果的定性認(rèn)識(shí)。我們建立了一元肥料效應(yīng)回歸模型，并在回歸分析之前，用Chauvenent準(zhǔn)則進(jìn)行修正，剔除異常值.根據(jù)對(duì)問題的初步分析，氮肥的施肥效果應(yīng)滿足Nicklas和Miller理論所描述的關(guān)系，運(yùn)用二次多項(xiàng)式回歸，得到氮肥對(duì)土豆的回歸方程：W=14.74+0.197N-0.00034N2 （7）氮肥對(duì)生菜的回歸方程：W=10.23+

8、0.101 N -0.00024 N 2 （8）（shifeidata.m）磷肥的施用對(duì)作物產(chǎn)量的增加表現(xiàn)為分段直線形式，運(yùn)用線性回歸，得到磷肥對(duì)土豆的回歸方程： （9）磷肥對(duì)生菜的回歸方程： （10）從鉀肥對(duì)土豆的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)施用量超過一定限度后，產(chǎn)量的增加很不明顯，因此用（5）式來描述其施肥效果是合理的，用指數(shù)回歸分析得到鉀肥對(duì)土豆的回歸方程：W=42.17(1-exp(-0.01K-0.641) (11)對(duì)生菜來說，鉀肥的施用對(duì)產(chǎn)量的影響很小.通過線性回歸得到鉀肥對(duì)生菜的回歸方程：W =16.2269+0.00395 K (12)可以得到每種肥料的最佳施用量，這無疑為生產(chǎn)提供了極

9、為重要的信息.此外，模型的建立并不依賴于任何特殊條件，這種方法可以適用于任何地區(qū)，考察任意一種肥料對(duì)于作物產(chǎn)量的效應(yīng)，具有一定的推廣價(jià)值五、多元回歸模型和交互效應(yīng)的討論從實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的角度來看，該研究所采用的設(shè)計(jì)方案是因素輪換法，即在考察每一種肥料的效應(yīng)時(shí)，總將另二種肥料的施用量固定在第7個(gè)水平上. 而此問題中三種肥料用量共同作用于農(nóng)作物產(chǎn)量，因此僅僅建立一元回歸模型是不行的，必須通過多元回歸模型來反映慮農(nóng)作物產(chǎn)量和施肥量之間的關(guān)系。從上述分析可知，農(nóng)作物產(chǎn)量和各種施肥量之間一般都不能用線性模型來描述，因此有必要考慮非線性回歸模型。此外因?yàn)槿魏喂饣暮瘮?shù)都可用足夠高階的多項(xiàng)式來近似，所以針對(duì)這個(gè)問

10、題，我們可以建立三元多次多項(xiàng)式模型。又由農(nóng)業(yè)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)知，可以采用三元二次多項(xiàng)式來描述.下面以土豆為例進(jìn)行說明。（一）全回歸模型的形式為 為了對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行重新整理后，觀測(cè)方程為其中，序號(hào)產(chǎn)量NPK序號(hào)產(chǎn)量NPK115.1801963721640.09259147372221.36341963721741.26259196372325.72671963721842.17259245372432.291011963721940.36259294372534.031351963722042.73259342372639.452021963722118.982591960743.15259

11、1963722227.3525919647843.463361963722334.8625919693940.834041963722438.522591961401030.754711963722538.442591961861133.4625903722637.732591962791232.47259243722738.432591963721336.06259493722843.872591964651437.96259733722942.772591965581541.04259983723046.22259196651可以用回歸的方法，求出回歸系數(shù)，但對(duì)本題而言，下列處理表明，交互

12、系數(shù)是無法確定的. 由于所給出的實(shí)驗(yàn)全都分布于三條平行于坐標(biāo)軸的直線上，并且這三條直線交于公共點(diǎn)（n0,p0,k0），以n=N-n0,p=P-p0,k=K-k0作為現(xiàn)的變量，稱為相對(duì)施肥量，則相對(duì)產(chǎn)量W()可表示為：w(n,p,k)=b0+bnn+bpp+bkk+bnnn2+bppp2+bkkk2+bnpnp+bnknk+bkpkp在新的坐標(biāo)系中，所有的試驗(yàn)點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，至少有兩個(gè)坐標(biāo)為0，這樣所有的交叉項(xiàng)全消失了(資料矩陣后三列全為0)，即不可能由實(shí)驗(yàn)結(jié)果來確定交互系數(shù)，因而試驗(yàn)方法本身注定了交互效應(yīng)是無法求出的（也可從直觀的角度看出交互效應(yīng)是無法從數(shù)據(jù)計(jì)算的。若bnp=0，當(dāng)n變?yōu)閚+，

13、則響應(yīng)變量w(n,p,k)的改變只依賴于n，而不依賴于其它自變量；反之，若bnp¹0，當(dāng)n變?yōu)閚+，則響應(yīng)變量w(n,p,k)的改變依賴于n和其它自變量）因此我們只能建立不包含交互效應(yīng)的模型多元回歸分析理論（18-22頁）及其實(shí)現(xiàn)（30-47頁） (13)從輸出的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量可知，模型擬合得很好，而且各個(gè)參數(shù)在顯著性水平0.05下都是現(xiàn)在顯著的.為了消除量綱對(duì)模型的影響，在建立模型之前，我們最好先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即 這樣新的模型為 (14)（二）逐步回歸在回歸模型里面，并不是所有的自變量對(duì)模型都有顯著的影響，這個(gè)時(shí)候我們就需要通過一些方法來篩選變量，最常用的方法是逐步回歸法逐步回歸理

14、論及其實(shí)現(xiàn)（逐步回歸講義）六、實(shí)驗(yàn)方法的建議（響應(yīng)曲面法與設(shè)計(jì)）響應(yīng)曲面法（或RSM法），是數(shù)學(xué)方法和統(tǒng)計(jì)方法相結(jié)合的產(chǎn)物，是用來對(duì)所感興趣的相應(yīng)受多個(gè)變量影響的問題進(jìn)行建模和分析的，其目的是優(yōu)化這個(gè)響應(yīng)。響應(yīng)和自變量之間是一種函數(shù)關(guān)系，它們所描繪出來的曲面就叫做響應(yīng)曲面。如果曲面有彎曲，一般這種函數(shù)關(guān)系多采用二階多項(xiàng)式模型。RSM的最終目的是確定系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)行條件或確定因素空間中滿足運(yùn)行規(guī)范的區(qū)域。本題中為了估計(jì)肥料的交互效應(yīng)，我們通過響應(yīng)曲面法設(shè)計(jì)了一個(gè)正交試驗(yàn)表，將氮、磷、鉀肥的用量以第7個(gè)水平為中心等問題分為五個(gè)水平，作一個(gè)五水平三因子的正交表，總共需進(jìn)行15次實(shí)驗(yàn)，將所得數(shù)據(jù)運(yùn)用直觀分析和方差分析，可以方便地得到氮、磷