高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

1、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（1）教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教學(xué)過程：一、引入：力做的功：w = |f|×|s|cosq，q是f與s的夾角二、講解新課：1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與，作a，則（0）叫a與的夾角.說明：（1）當(dāng)0時(shí)，a與同向；（2）當(dāng)時(shí)，a與反向；（3）當(dāng)時(shí)，a與垂直，記a；（4）注意在兩向量的夾角定義中

2、，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°q180°2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫a與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。×探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定。（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分。符號“· ”在向量運(yùn)算中不是乘

3、號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實(shí)數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0。因?yàn)槠渲衏osq有可能為0。（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c。但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|oa|，b×c = |b|c|cosa = |b|oa|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在實(shí)數(shù)中，有(a×b)

4、c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線。3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|。4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。5兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向

5、的單位向量。1° e×a = a×e =|a|cosq2° ab Û a×b = 03° 當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a|b|。 特例：a×a = |a|2或4° cosq =5° |a×b| |a|b|三、講解范例：例1 判斷正誤，并簡要說明理由.a·00；0·a0；0；a·a；若a0，則對任一非零有a·0；a·0，則a與中至少有一個(gè)為0；對任意向量a，都有（a·

6、;）a（·）；a與是兩個(gè)單位向量，則a.例2 已知a3，6，當(dāng)a，a，a與的夾角是60°時(shí)，分別求a·.例3 判斷下列命題的真假：（1） 在abc中，若，則abc是銳角三角形；（2） 在abc中，若，則abc是鈍角三角形；（3） abc為直角三角形的充要條件是.例4 試證明：若四邊形abcd滿足則四邊形abcd為矩形.例5 設(shè)正三角形abc的邊長為四、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運(yùn)算律，并能運(yùn)用它們解決相關(guān)的問題課后反思：1.概念辨析：正確理解向量夾角定義對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)

7、角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯(cuò)誤是一些易見的錯(cuò)誤，如：1.已知abc中，°，求·.對此題，有同學(xué)求解如下：解：如圖，°，··cos5×8cos60°20.分析：上述解答，乍看正確，但事實(shí)上確實(shí)有錯(cuò)誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中與兩向量的起點(diǎn)并不同，因此，并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當(dāng)是c的補(bǔ)角120°.2.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律分析：若有（·）·（·），設(shè)、夾角為，、夾角為，則(·)·cos·，·(·

8、)·cos.若，則，進(jìn)而有：（·）·(·)這是一種特殊情形，一般情況則不成立.舉反例如下：已知，與夾角是60°，與夾角是45°，則：(·)·（·cos60°），·(·)（·cos45°）而，故（·）··（·） 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（2）教學(xué)目的：1.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算律解決有關(guān)問題；3.掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題.

9、 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1兩個(gè)非零向量夾角的概念c2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： 3“投影”的概念：定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。5兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量。（1）e×a = a×e =|a|cosq；（2）ab Û a×b = 0（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b =

10、-|a|b|。 特例：a×a = |a|2或（4）cosq = ；（5）|a×b| |a|b|6判斷下列各題正確與否：1°若a = 0，則對任一向量b，有a×b = 0。 ( )2°若a ¹ 0，則對任一非零向量b，有a×b ¹ 0。 ( )3°若a ¹ 0，a×b = 0，則b = 0。 ( )4°若a×b = 0，則a 、b至少有一個(gè)為零。 ( )5°若a ¹ 0，a×b = a×c，則b = c。 ( )6°若

11、a×b = a×c，則b = c當(dāng)且僅當(dāng)a ¹ 0時(shí)成立。 ( )7°對任意向量a、b、c，有(a×b)×c ¹ a×(b×c)。 ( )8°對任意向量a，有a2 = |a|2。 ( )二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律：a × b = b × a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c說明：（1）一般地，(a·)a（·）

12、（2）a··，0a（3）有如下常用性質(zhì)：aa，（a）（）a·a···(a)a2a·三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角。例2 已知|a|=3,|b|=4(且a與b不共線)，當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直？例3 已知a、b是非零向量，設(shè)m=|a+tb|.(1) 求當(dāng)m取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)t的值；(2) 證明當(dāng)m取最小值時(shí)，向量b和a+tb垂直.例4 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和。例5 四邊形abcd

13、中，a，且a····a，試問四邊形abcd是什么圖形?.課后反思：1.常用數(shù)量積運(yùn)算公式在數(shù)量積運(yùn)算律中，有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)的完全平方和(差)公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛.即(ab)aa·bb，（ab）aa·bb上述兩公式以及(ab)(ab)ab這一類似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用.2.應(yīng)用舉例例1已知a，b，a·b，求ab，ab.解：ab（ab）aa·bb×（）ab，（ab）（ab）a2a·bb22×（3）×35，ab例2已知a8，b10，ab16，求a與b的夾角(

14、精確到°).解：（ab）（ab）a2a·bba2a·bb××，°平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（3）教學(xué)目的：1.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算律解決有關(guān)問題；3.掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1兩個(gè)非零向量夾角的概念c2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： 3“投影”的概念：定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b

15、等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。5兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量。(1) e×a = a×e =|a|cosq；(2) ab Û a×b = 0(3) 當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a|b|。 特別的a×a = |a|2或(4) cosq = ；(5) |a×b| |a|b|6.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律：a × b = b × a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c二、例題例1 已知是三個(gè)非零向量，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）（1）（2）（3）（4）a 1 b 2 c 3 d 4 例2 已知|a|=4,|b|=5,