二次齊次多項(xiàng)式不但在幾何中出現(xiàn)

1、第一章 引 言二次齊次多項(xiàng)式不但在幾何中出現(xiàn), 而且在數(shù)學(xué)的其它分支以及物理力學(xué)中也常常會碰到. 設(shè)是一個數(shù)域, 一個系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項(xiàng)式=稱為數(shù)域上的一個元二次型. 二次型的研究起源于解析幾何, 當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與所討論的二次型曲線的中心重合時(shí), 有心二次曲線的一般方程為左端是、的一個二次型. 一般二次曲面的方程左端也有類似的表達(dá)式, 即、 的一個二次型:二次型的理論在數(shù)學(xué), 力學(xué), 物理學(xué)中都有著重要的作用. 而在討論二次型時(shí), 正(負(fù))定二次型所對應(yīng)的正(負(fù))定矩陣在多元函數(shù)的極值問題中又有著重要作用(參見文獻(xiàn)3), 這就更說明了研究二次型的重要性.目前, 有關(guān)數(shù)域上的二次型的矩陣表

2、示，它是否存在標(biāo)準(zhǔn)形, 若標(biāo)準(zhǔn)形存在, 如何通過非退化線性替換化一般的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形, 標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性、正定性等問題都已經(jīng)得到了很好的解決(參見文獻(xiàn)1). 那么對于系數(shù)在環(huán)上如整數(shù)環(huán)上的二次型呢? 在整數(shù)范圍內(nèi)是否可得到相同的結(jié)論? 首先, 我們給出以下定義:定義1 設(shè)是一個整數(shù)環(huán), 一個系數(shù)在中的 的二次齊次多項(xiàng)式=稱為整數(shù)環(huán)上的一個元二次型, 或者簡稱整二次型.我們?nèi)匀幌肜镁仃囘@一工具來研究整二次型. 然而并不是所有的整二次型都有與之相對應(yīng)的整矩陣(定義見第二章), 而只有當(dāng)整二次型中所有的項(xiàng)的系數(shù)都為偶數(shù)時(shí), 才存在與之對應(yīng)的整矩陣. 但對于任意的一個整二次型=我們都可以經(jīng)過非退化整線

3、性替換(定義見第二章), 其中把原整二次型化為=顯然新的整二次型所有項(xiàng)的系數(shù)都為偶數(shù), 此時(shí), 我們就可以通過整矩陣來研究它了. 這樣我們就把對任意一個整二次型的研究歸結(jié)為對所有項(xiàng)的系數(shù)都為偶數(shù)這樣一類整二次型來進(jìn)行研究.在第二至五章中, 我們著重討論了所有項(xiàng)的系數(shù)都為偶數(shù)這樣一類整二次型. 而在第六章, 作為對前面所得結(jié)果的應(yīng)用, 我們給出了一個重要定理的證明.第二章 整二次型的矩陣表示在這一章里, 我們主要來討論整二次型中所有()系數(shù)為偶數(shù)的情形.我們用=,其中 (1)來表示這一類整二次型. 下文中所提到的整二次型都是指的這一類整二次型.在討論這一類整二次型之前, 我們先引入有關(guān)整矩陣的一

4、系列知識(參見參考文獻(xiàn)4). 矩陣 ,其中, 皆為整數(shù), =1, 2, , ; =1, 2, , , 稱為一個行列的整矩陣,或稱為整矩陣, 記為. 若, 則稱為階整矩陣, 記為.類似于數(shù)域上的矩陣, 我們可以定義整矩陣的運(yùn)算（加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算）, 定義方法完全一樣. 若階整矩陣的行列式不為零，即0, 則此方陣稱為非退化矩陣; 否則稱之為退化矩陣. 若=1, 則稱為模方陣, 而行列式等于1的整矩陣稱為正模方陣. 易知兩個模方陣之積仍為一模方陣, 而兩個正模方陣之積仍為一正模方陣.若階整矩陣、, 有, 為單位矩陣, 則稱為的逆矩陣, 記為. 設(shè)是整矩陣中元素的代數(shù)余子式, 矩陣稱為的伴隨矩陣.由

5、行列式按一行(列)展開的公式立即得出:= =, 其中. 若為模方陣, 則有逆矩陣存在, 且=; 反之, 若有逆矩陣, 則為模方陣.要討論整二次型, 我們首先要把數(shù)域上的二次型所對應(yīng)的對稱矩陣, 非退化線性替換推廣到這一類整二次型上.定義2 設(shè); 是兩組文字, 系數(shù)在整數(shù)環(huán)中的一組關(guān)系式 (2) 稱為由 到的一個整線性替換, 或者簡稱整線性替換. 如果系數(shù)行列式 0, 那么整線性替換(2)就稱為非退化的.把(1)的系數(shù)排成一個矩陣, 則整矩陣 它就稱為整二次型(1)的矩陣. 因?yàn)? = 1, 2 , , , 所以= 我們把這樣的矩陣稱為整對稱矩陣. 整二次型的矩陣都是對稱的.令 =類似數(shù)域上的二

6、次型, 1、整二次型(1)也可以用矩陣的乘積表示出來:=且整二次型(1)和它的矩陣是相互唯一確定的.2、類比數(shù)域上的 階矩陣、合同的概念, 我們有以下定義:定義3 整數(shù)環(huán)上階方陣、稱為整合同的, 如果有整數(shù)環(huán)上非退化階方陣, 使, 即若有, 則稱整合同于.命題1 整數(shù)環(huán)上的、兩階方陣間的整合同關(guān)系具有: 反身性: =; 傳遞性: 由 和即得=.注 在整數(shù)環(huán)上我們所定義的兩個矩陣之間的整合同關(guān)系不是一個等價(jià)關(guān)系. 這是因?yàn)樗痪哂袑ΨQ性, 在整數(shù)環(huán)上為非退化矩陣并不等價(jià)于為可逆陣. 因此, 在整數(shù)環(huán)z上階方陣、, 有整合同于, 不一定有整合同于. 所以它不具有對稱性, 從而它不是一個等價(jià)關(guān)系.

7、它也不是一個偏序關(guān)系, 因?yàn)樗粷M足反對稱性. 即由 和 , |c|0, |d|0推不出. 3、經(jīng)過非退化的整線性替換, 原整二次型的矩陣整合同于新整二次型的矩陣.第三章 整二次型在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形整對稱矩陣的三種初等變換: 矩陣的兩行(列)互換位置; 矩陣的某一行(列)乘以非零的整數(shù)倍; 矩陣某一行(列)加另一行(列)的整數(shù)倍.這一章的主要結(jié)果有:定理1 任意一個整二次型 =都能經(jīng)過非退化整線性替換化為如下形式: , = 1, 2 , , ,即任意一個整對稱矩陣都整合同于下列形式的矩陣 其中, r1.證明: 下面的證明實(shí)際上是一個具體地把整二次型化成平方和的方法.所對應(yīng)的整對稱矩陣 =0若

8、全部為0, = 1, 2 , , , 則必存在某一列元素不全為零, 不妨設(shè) 0, , 把第行元素加到第行去, 再把第列元素加到第列. 這時(shí), 第行列元素就變?yōu)?, 再經(jīng)過行列調(diào)動, 把調(diào)到第1行第1列, 則第1行第1列元素即不為0.因此, 我們可以設(shè)0. 由于我們總可以把所有的對角線元素中絕對值最小的那個非零元素找出來, 然后再經(jīng)過行列調(diào)動, 把它調(diào)到第1行第1列去, 因此, 我們不妨設(shè)就是那個對角線上絕對值最小的非零元素. 與可能有以下幾種關(guān)系: |, 則直接用第行減去第1行的倍, 此時(shí), 第行第1列所對應(yīng)元素為0, 接著作相應(yīng)的列變換, 第列第1行元素也變?yōu)?; |, 則把第行乘以倍, 作

9、相應(yīng)的列變換, 第列也乘以倍, 然后再用第行減去第1行, 第列減去第1列, 此時(shí), 第行第1列元素和第列第1行元素都變?yōu)?; 與互相不整除: , , . 第行減去第1行的倍, 得新的, 作一次相應(yīng)的列變換, 第列減去第1列的倍, 得新的=; 接著, 第行乘以倍, 相應(yīng)地, 第列乘以倍; 然后, 第行減去第1行的倍, 相應(yīng)地, 第列減去第1列的倍, 此時(shí), 第行第1列所對應(yīng)元素和第1行第列都為0; 與互相不整除: , =, | r |. 第行乘以倍, 第列也乘以倍, 接著, 第行減去第1行得新的=, 相應(yīng)地, 第列減去第1列, 得新的=; 然后, 方法如. 最終, 第行第1列所對應(yīng)元素和第1行第

10、列都為0.如此下去, 作一次行變換相應(yīng)的再作一次列變換, 我們就將得到與整合同的形如下的矩陣=,對用同樣的方法, 得到與整合同的=,如此下去, 即得與整合同的 =.由此可得:在整數(shù)環(huán)上, 任意一個整對稱矩陣都整合同于一整對角矩陣, 也就是說, 對于任意一個整對稱矩陣都可以找到一個非退化矩陣, 使得是整對角矩陣. 證畢.整二次型經(jīng)過非退化整線性替換所變成的平方和稱為整二次型的一個標(biāo)準(zhǔn)形.注：(1) 、是數(shù)域上的兩個階方陣,合同于非退化階方陣, 使得=;初等矩陣, 使得, ; 因?yàn)? = =所以, =,即.求非退化陣的方法: , 其中為階單位矩陣.顯然, 對整數(shù)環(huán)上的、方陣, 對, 以上皆成立.

11、但上述“非退化陣”不能改為“可逆陣”. 這是因?yàn)? 在整數(shù)環(huán)上, 非退化矩陣與可逆并不是等價(jià)的, 矩陣是非退化的, 并不一定可逆. (2) 一般地, 不能用配方法來化整二次型為它的標(biāo)準(zhǔn)形. 這是因?yàn)榕c數(shù)域上不同, 在整數(shù)環(huán)上, 環(huán)上一般不可作除法, 所以我們不能像數(shù)域上的二次型一樣, 可以用配方法化整二次型為其標(biāo)準(zhǔn)形.下面是一個簡單的化整二次型為其標(biāo)準(zhǔn)形的例子:例: 化整二次型= 為標(biāo)準(zhǔn)形.解: 利用初等變換法: 整二次型所對應(yīng)的整對稱矩陣 = 所以 綜上, 作非退化整線性變換得=.第四章 唯一性由第三章我們知道, 經(jīng)過非退化整線性替換, 整二次型的矩陣可以化成一個與之整合同的矩陣, 由此我們

12、有以下幾個命題:命題2 整矩陣、整合同, 則它們有相同的秩, 即經(jīng)過非退化整線性替換后, 整二次型的矩陣的秩是不變的.證明: 整矩陣、整合同, 即非退化陣, 使得=. 因?yàn)榫仃嚦艘猿醯染仃嚥桓淖兙仃嚨闹? 而, 為一系列初等矩陣, 所以的秩仍然等于的秩.證畢. 命題3 在一個整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中, 系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個數(shù)是唯一確定的, 與所作的非退化整線性替換無關(guān).證明: 整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所對應(yīng)的矩陣是整對角矩陣, 而整對角矩陣的秩等于它對角線上不為零的個數(shù). 因此, 同數(shù)域上的二次型一樣, 在一個整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中, 系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個數(shù)是唯一確定的, 與所作的非退化整線性替換無關(guān). 證

13、畢.類比數(shù)域上的二次型, 我們也稱整二次型的矩陣的秩為整二次型的秩.至于標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)(如數(shù)域上的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形一樣), 則不是唯一確定的.如: 接上述例中最后一步, 第2行乘以(-2)倍, 第2列也乘以(-2)倍, 則由 如此得 , 作非退化整線性變換, 即得=, 與之前所得標(biāo)準(zhǔn)形不一樣.這就說明, 在整數(shù)環(huán)內(nèi), 整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形也不是唯一的, 而與所作非退化整線性替換有關(guān).與實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域上的二次型不同, 整二次型無規(guī)范形. 這是因?yàn)? 在整數(shù)環(huán)上, 我們不能作除法, 也就不能開平方, 所以也就不存在規(guī)范形.設(shè)是一個整二次型, 由前一章證明, 經(jīng)過某一個非退化整線性替換, 再適當(dāng)排列文字的

14、次序, 變成標(biāo)準(zhǔn)形, 其中0, 1, 2, , , 是的矩陣的秩.類比實(shí)二次型, 我們定義:定義4 在整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中, 正平方項(xiàng)的個數(shù)稱為的正慣性指數(shù); 負(fù)平方項(xiàng)的個數(shù)稱為的負(fù)慣性指數(shù); 它們的差稱為的符號差.雖然整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的, 但是我們知道, 標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個數(shù)是唯一的. 即整二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個數(shù)唯一, 它等于正慣性指數(shù), 系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個數(shù)就等于負(fù)慣性指數(shù).第五章 正定整二次型類比實(shí)二次型中的正定二次型, 我們定義:定義5 整二次型稱為是正定的, 如果對于任意一組不全為零的整數(shù), 如果都有0.顯然, 整二次型是正定的, 因?yàn)橹挥性跁r(shí), 才

15、為零.一般地, 整二次型(, 1, 2, , ,)是正定的當(dāng)且僅當(dāng), 其中0, 1, 2, ,. 不能有一個0. 這是因?yàn)? 假設(shè)有某一個0, 其它都為零, 此時(shí)=0, 且0. 設(shè)整二次型 =, ,都能經(jīng)過非退化整線性替換變成其標(biāo)準(zhǔn)形 =.下面來證明:定理2 設(shè)整二次型=,經(jīng)過非退化整線性替換, 變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形, , 1,2, , 則整二次型是正定的等價(jià)于其標(biāo)準(zhǔn)形是正定的.證明: 1是任一組不全為零的整數(shù), 0.因?yàn)?, 所以也不全為零. 若不然, 即若=0, 則=0, =0與不全為零矛盾. 所以=0, 即標(biāo)準(zhǔn)形也是正定的.2是任一組不全為零的整數(shù), 0,也不全為零. 若=0, 因?yàn)?, 只有零解

16、,與不全為零矛盾, 所以也不全為零, 所以 =0. 證畢. 由此即得定理3 元整二次型正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于.證明: 設(shè)整二次型經(jīng)過非退化整線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形 (4) 上面的討論表明, 整二次型正定當(dāng)且僅當(dāng)(4)是正定的, 而我們知道, 二次型(4)是正定的當(dāng)且僅當(dāng)0, 1, 2, , , 即正慣性指數(shù)是. 證畢.類比實(shí)二次型, 定義:定義6 整對稱矩陣是正定的, 如果整二次型正定.下面來證明: 定理4 正定整矩陣的行列式大于零.證明: 設(shè)是一個正定整矩陣, 整合同于一整對角矩陣, 且上對角線上元素皆大于零, 所以0, 所以有非退化矩陣, 使. 兩邊取行列式就有0因?yàn)?, 所以

17、0. 證畢. 如何判別整二次型的正定性, 有如下:定理5 整二次型=是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零.證明: 先證必要性. 設(shè)整二次型=是正定的, 對于每個, 1n, 令=,我們來證是一個元的正定二次型. 對于任意一組不全為零的整數(shù),有=(, , , 0, , 0)0. 因此是正定的. 由上面的推論，的矩陣的行列式0, = 1, 2 , , .這就證明了矩陣的順序主子全大于零.再證充分性. 我們已知: 實(shí)二次型=是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零; 則當(dāng)?shù)捻樞蛑髯邮饺笥诹銜r(shí), 對于任意一組不全為零的實(shí)數(shù), 有0, 則當(dāng)取任意一組不全為零的整數(shù)時(shí), 0; 而整二次型是

18、一種特殊的實(shí)二次型, 所以當(dāng)?shù)捻樞蛑髯邮饺笥诹銜r(shí)，對于任意一組不全為零的整數(shù), 整二次型0, 充分性即證. 證畢.例: 判別整二次型=是否正定.解: 的矩陣 , 它的順序主子式50, 0, 0, 因此, 正定.類比實(shí)二次型, 與正定性平行, 整二次型還有下面的概念.定義7 設(shè)是一個整二次型, 對于任意一組不全為零的整數(shù), 如果都有0, 那么稱為負(fù)定的;如果都有0, 那么稱為半正定的; 如果都有0, 那么稱為半負(fù)定的; 如果它既不是半正定又不是半負(fù)定, 那么就稱為不定的. 由定理5不難得出負(fù)定整二次型的判別條件. 這是因?yàn)楫?dāng)是負(fù)定時(shí), 就是正定的.至于半正定性, 類似于實(shí)二次型, 我們有定理6

19、 對于整二次型=, 其中是整對稱的, 下列條件等價(jià): 是半正定的, 它的正慣性指數(shù)與秩相等, 有非退化整矩陣, 使=,其中0, 1, 2, , , 的所有主子式皆大于或等于零.證明: (3)與(1)等價(jià)可直接由第三章證明可以得到, 因此下面只證, 分別與等價(jià).首先證:必要性: 用反證法, 若正慣性指數(shù)秩, 則(顯然，不會小于).即 =從而令, ,可得非零解使0, 與所給條件0矛盾，故=.充分性: 由 = 則 =故有 0.現(xiàn)在來證:充分性顯然. 下證必要性: 設(shè)半正定矩陣=, 它的任意一個階主子=然后, 作兩個二次型和. 對任意=0, 有0,其中=由于半正定, 所以0，從而=0. 由的任意性,即

20、證是半正定二次型, 所以0. 證畢. 注 在中, 僅有順序主子式大于或等于零是不能保證半正定性的. 比如 就是一個反例.第六章 應(yīng)用作為前面結(jié)果的應(yīng)用, 我們來討論一類特殊的整二次型:文獻(xiàn)13中稱之為tits型. tits型是一類十分重要的整二次型, 它在lie代數(shù), 線性代數(shù)群及有限維代數(shù)的表示理論中有著廣泛的應(yīng)用. 例如, tits型的正定性可以用來判定有限維代數(shù)的表示型. 下面我們來討論tits型的正定性.一、tits型的圖表示給定tits型,我們作圖. 的頂點(diǎn)集記為, 若, 頂點(diǎn)和頂點(diǎn)之間有條邊, 我們稱圖為tits型所對應(yīng)的圖. 顯然, tits型與圖是一一對應(yīng)的.例: tits型所

21、對應(yīng)的圖如下:定義8 稱二次型是不可分的, 如果不能寫成兩個二次型的和.命題4 tits型是不可分的是連通的.二、tits型的正定性引理1 若整二次型可以寫成個整二次型的和, 即, 則正定都正定, 證明: 充分性顯然. 下證必要性.用反證法: 若存在某個不是正定的, 即存在一組不全為零的整數(shù), 使得0.這時(shí)令其它的變量都為零, 則對來說, 存在一組不全為零的整數(shù), 使得0, 這與是正定的矛盾. 所以假設(shè)不成立, 即證都正定. 證畢.由引理知, 討論整二次型的正定性, 只需考慮不可分整二次型的正定性. 我們有以下主要結(jié)果:定理7 不可分tits型正定它的圖為以下五種情形之一:(1) 型:(2)

22、型:(3) :(4) :(5) :在證明這個定理之前, 我們先來證明一個引理:引理2 以下圖所對應(yīng)的tits型都不是正定的:(1) 兩個頂點(diǎn)之間有條邊, :(2) 階循環(huán)圈:(3)(4)(5) (6) 證明: (1)所對應(yīng)的tits型為, 經(jīng)過非退化整線性替換, , 它所對應(yīng)的整矩陣?yán)玫谌碌姆椒? 求得與整合同的整對角矩陣, 因?yàn)? 所以. 所以此類tits型不是正定的.(2)所對應(yīng)的tits型為,經(jīng)過非退化整線性替換, 其中,它所對應(yīng)的整矩陣為因?yàn)?= = 0所以此類tits型不是正定的.(3)所對應(yīng)的tits型為仿照方法(2), 即可證得此類tits型不是正定的.(4)所對應(yīng)的tits

23、型為,經(jīng)過非退化整線性替換, 其中,它所對應(yīng)的整矩陣為利用第三章的方法, 求得與整合同的整對角矩陣顯然,不是正定矩陣, 因此, 原tits型不是正定的.(5)所對應(yīng)的tits型為仿照(2)或(3)的方法, 我們就可以得到此tits型也不是正定的.(6)所對應(yīng)的tits型為仿照(2)或(3)的方法,我們就可以得到此tits型不是正定的. 證畢.由引理2, 可直接推出以下結(jié)論:推論 任何一個tits型, 若它所對應(yīng)的圖包含以上六種圖中的任意一個為它的子圖, 則此tits型一定不是正定的.證明: 若某個tits型含有以上四種圖的某一種為它的子圖, 這個子圖所對應(yīng)的tits型不是正定的, 即存在一組不

24、全為零的整數(shù)使得這個子圖所對應(yīng)的tits型小于或等于零, 此時(shí), 令tits型中除去子圖所對應(yīng)的變量其它的變量都為零, 則即存在一組不全為零的整數(shù)使得tits型小于或等于零. 即證.有了以上的引理, 我們現(xiàn)在給出定理7的證明.證明: 充分性易證, 仿照引理2的證明, 利用化標(biāo)準(zhǔn)形的方法或者根據(jù)定理5即可證明. 下證必要性.給定一個不可分tits型, 它所對應(yīng)的圖為. 當(dāng)?shù)哪硟蓚€頂點(diǎn)之間的邊的條數(shù)大于或等于2時(shí), 由引理2中情形(1)可知此tits型不是正定的; 當(dāng)中含有循環(huán)圈時(shí), 由引理2中的情形(2)可知此tits型不是正定的; 當(dāng)?shù)娜我鈨蓚€頂點(diǎn)之間最多只有一條邊, 而且沒有循環(huán)圈, 沒有分

25、支時(shí), 此tits型只能是型的; 當(dāng)?shù)娜我鈨蓚€頂點(diǎn)之間最多只有一條邊, 沒有循環(huán)圈, 但有分支時(shí): 若有兩個或兩個以上的分支, 由引理2中的情形(3)可知此tits型不是正定的; 若只有一個分支, 當(dāng)分支上含有兩個或兩個以上的頂點(diǎn)時(shí), 由引理2中的情形(4)可知此tits型不是正定的; 當(dāng)分支上只含有一個頂點(diǎn)時(shí), 此類tits型只可能是, , , 型. 因?yàn)槠渌黷its型都至少含有引理2中(5)、(6)兩種情形中的某一種為它的子圖, 因此這部分tits型都不是正定的. 證畢.致 謝這篇論文的完成，得到了指導(dǎo)老師、同學(xué)以及朋友們無微不至的關(guān)心和幫助.在這里，我要向他們表示衷心的感謝.指導(dǎo)老師徐運(yùn)

26、閣老師從本文的選題、開題到寫作、修改以及審閱定稿都給予了我悉心的指導(dǎo).特別是論文的內(nèi)容和格式方面，徐老師根據(jù)他多次出版書籍和撰寫論文的經(jīng)驗(yàn)一絲不茍地校正論文中的錯誤,這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)作風(fēng)使我深受感染.在徐老師的耐心指導(dǎo)下，我不僅順利圓滿地完成了畢業(yè)論文，而且學(xué)到了許多專業(yè)方面的知識，并對論文撰寫的整個過程有了一個較為清楚的認(rèn)識，為我今后的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ).在這里，我要向徐老師表達(dá)最誠摯的謝意.大學(xué)四年期間，數(shù)學(xué)系的老師們在學(xué)習(xí)中孜孜不倦的教導(dǎo)我，在生活中給了我關(guān)懷和照顧，使我在大學(xué)四年里在知識層次上上了一個臺階，具有了一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)并且身心健康發(fā)展，真正成為了一名合格的大學(xué)生.在此，我要向湖北大學(xué)數(shù)學(xué)系的老師們表示感謝！真心感謝所有關(guān)心、支持和幫助我的同學(xué)和朋友們，在四年難以忘懷的美好時(shí)光里，大家給了我無數(shù)的鼓勵和幫助，在此，我要向他們表示衷心的感謝.最后我要感謝我慈愛樸實(shí)的父母及親人.這么多年來，他們對我傾注了無限的關(guān)愛和支持，他們的寬厚博愛是我順利完成學(xué)業(yè)的巨大動力，并將繼續(xù)激勵我去迎接人生中新一輪的挑戰(zhàn)！參 考 文 獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)(第二版). 高等教育出版社, 19882 蔣爾雄, 高坤敏, 吳景琨. 線性代數(shù). 人民教育出版社, 19783 丘維生. 高等代數(shù)(第二