高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編(四)

1、高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編（四）課堂教學(xué)改革的目的，一是要打破傳統(tǒng)教學(xué)束縛學(xué)生手腳的陳舊做法；二是要遵循現(xiàn)代教育以人為本的的觀念，給學(xué)生發(fā)展以最大的空間；三是能根據(jù)教材提供的基本知識(shí)，把培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力作為教學(xué)的重點(diǎn)。數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)是以學(xué)生探究為基本牲的一種教學(xué)活動(dòng)形式。具體是指在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)和合作討論為前提，以學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以現(xiàn)行教材為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑嘗試活動(dòng)，自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的一種教學(xué)活動(dòng)形式。它可使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和掌握科學(xué)方法

2、，為學(xué)生終身學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。探究性試題有助于數(shù)學(xué)思維的提高。31在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)、，若點(diǎn)滿足（），點(diǎn)的軌跡與拋物線：交于、兩點(diǎn).（）求證：；（）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過原點(diǎn)。若存在，請(qǐng)求出的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（）由（）知點(diǎn)的軌跡是、兩點(diǎn)所在的直線，故點(diǎn)的軌跡方程是：即.2分由故.6分（）解：存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn)由題意知：弦所在的直線的斜率不為零7分故設(shè)弦所在的直線方程為：代入得故以為直徑的圓都過原點(diǎn).10分設(shè)弦的中點(diǎn)為則弦的中點(diǎn)的軌跡方程為：消

3、去得.14分32設(shè)函數(shù)R.（I）求函數(shù)的最值；（）給出定理：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且有，那么，函數(shù)2 / 17在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在.運(yùn)用上述定理判斷，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn).解：（I）令2分由知f（x）無最大值.6分（）函數(shù)f（x）在m，2m上連續(xù).上遞增.8分由10分又根據(jù)定理，可判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m）上存在零點(diǎn).12分33已知數(shù)列an有a1=a，a2=p(常數(shù)p>0)，對(duì)任意的正整數(shù)n，Sn=a1+a2+an，并有Sn滿足。(1)求a的值；(2)試確定數(shù)列an是否是等差數(shù)列，若是，求出其通項(xiàng)公式，若不是，說明理由；(3)對(duì)于數(shù)列bn，假如存在一個(gè)常數(shù)b使得對(duì)任

4、意的正整數(shù)n都有bn<b，且，則稱b為數(shù)列bn的“上漸進(jìn)值”，令，求數(shù)列p1+p2+pn-2n的“上漸進(jìn)值”。解：（1），即（2）是一個(gè)以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。（3），又，數(shù)列的“上漸近值”為。34已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過點(diǎn),數(shù)列為等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)問:是否存在自然數(shù)m和M,使得不等式恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)由題意得即.令,則令,則令,則(3分)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則(5分).(6分)(2)由(1)知:.n為奇數(shù)時(shí),(7分)(9分)由得:(10分)設(shè),隨n的增加而減小.又隨n的增大而減小,為n的增函數(shù).(12分

5、)當(dāng)時(shí),而(13分)由此易知:使恒成立的m的最大值為0,M的最小值為2,Mm的最小值為2.(14分)35已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bn（nN*），Snb1b2bn，是否存在最大的整數(shù)t，使得任意的n均有Sn總成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（）由題意得（a1d）（a113d）=（a14d）2，2分整理得2a1dd2a11，解得（d0舍），d24分an2n1（nN*）6分（）bn（），Snb1b2bn（1）（）（）（1）10分假設(shè)存在整數(shù)t滿足Sn總成立.又Sn+1Sn

6、0，數(shù)列Sn是單調(diào)遞增的12分S1為Sn的最小值，故，即t9又tN*，適合條件的t的最大值為814分36已知數(shù)列滿足：，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求使不等式成立的所有正整數(shù)、的值解（）由2an+1=3anan1（n2），得2（an+1an）=anan1，因此數(shù)列anan1是以a2a1=1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，4分于是an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=6分（）由不等式，得，即，8分所以2（4m）·2n82n為正偶數(shù)，4m為整數(shù)，（4m）·2n=4，或（4m）·2n=6，或或或解得或或或經(jīng)檢驗(yàn)使不等式成立的所有正整數(shù)m、n的值為（m，n）

7、=（1，1）或（2，1）或（3，2）12分說明問題（1）的歸納做法是：由已知可得，于是37已知圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足.（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.解：（1）Q為PN的中點(diǎn)且GQPNGQ為PN的中垂線|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，短半軸長(zhǎng)b=2，點(diǎn)G的軌跡方程是（2）因?yàn)?，所以四邊形OASB為平行四邊形若存在l使

8、得|=|，則四邊形OASB為矩形若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由矛盾，故l的斜率存在.設(shè)l的方程為把、代入存在直線使得四邊形OASB的對(duì)角線相等.38設(shè)無窮數(shù)列an具有以下性質(zhì)：a1=1；當(dāng)（）請(qǐng)給出一個(gè)具有這種性質(zhì)的無窮數(shù)列，使得不等式對(duì)于任意的都成立，并對(duì)你給出的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證（或證明）；（）若，其中，且記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Bn，證明：解：（）令，則無窮數(shù)列an可由a1=1，給出.顯然，該數(shù)列滿足，且6分（）8分又39.已知拋物線，過C上點(diǎn)M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線。若C在點(diǎn)M的法線的斜率為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（）；設(shè)為C對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)

9、的法線通過點(diǎn)P？若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒有，請(qǐng)說明理由。解（1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)上點(diǎn)處切線的斜率，因?yàn)檫^點(diǎn)的法線斜率為，所以，解得，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為。（2）設(shè)為C上一點(diǎn)，若，則C上點(diǎn)處的切線斜率，過點(diǎn)的法線方程為，此法線過點(diǎn)；若，則過點(diǎn)的法線方程為：若法線過，則，即若，則，從而，將上式代入，化簡(jiǎn)得：，若與矛盾，若，則式無解。綜上，當(dāng)時(shí)，在C上有三點(diǎn)及，在這三點(diǎn)的法線過，其方程分別是：。當(dāng)時(shí)，在C上有一點(diǎn)，在這點(diǎn)的法線過點(diǎn)，其方程為：。40已知函數(shù)（1）求函數(shù)f(x)是單調(diào)區(qū)間；（2）如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值集合；（3）是否存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的

10、實(shí)數(shù)根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說明理由.解：（1）函數(shù)的定義域是對(duì)求導(dǎo)得（2分）由由因此是函數(shù)的增區(qū)間；（1，0）和（0，3）是函數(shù)的減區(qū)間（5分）（2）解法一：因?yàn)樗詫?shí)數(shù)m的取值范圍就是函數(shù)的值域（6分）對(duì)令當(dāng)x=2時(shí)取得最大值，且又當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，無限趨近于無限趨近于0，進(jìn)而有無限趨近于.因此函數(shù)的值域是即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（9分）解法二：方程有實(shí)數(shù)根等價(jià)于直線與曲線y=lnx有公共點(diǎn)，并且當(dāng)直線與曲線y=lnx相切時(shí)，m取得最大值.（6分）設(shè)直線相切，切點(diǎn)為求導(dǎo)得解得所以m的最大值是。而且易知當(dāng)與曲線y=lnx總有公共點(diǎn)。因此實(shí)數(shù)m的取值集合是（9分）（3）結(jié)論：這樣的正數(shù)k不存在。（10分）下面采用反證法來證明：假設(shè)存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程