常系數(shù)齊次微分方程求解

1、山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂 第七節(jié) 常系數(shù)齊次線性微分方程基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂一、定義一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式階常系數(shù)線性微分方程的標準形式)(1)1(1)(xfypypypynnnn 二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式0 qyypy二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)齊次線性微分方程山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-

2、特征方程法特征方程法0 qyypy,rxey 設設將其代入上方程, 得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有02 qprr特征方程特征方程特點特點未知函數(shù)與其各階導數(shù)的線性組合等于未知函數(shù)與其各階導數(shù)的線性組合等于0即函數(shù)和其各階導數(shù)只相差常數(shù)因子即函數(shù)和其各階導數(shù)只相差常數(shù)因子猜想猜想有特解rxey 由此可見 只要r滿足代數(shù)方程r2prq0 函數(shù)yerx就是微分方程的解 山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根特征根為,2421qppr ,2422qppr 兩個線性無關的特解,11xrey ,22xrey 得齊次方程的通解為;2121xrxrececy

3、 1. 當042qp山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂2. 當042qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解)(12xuyy 設另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexccy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂3. 當042qp時, 特征方程有一對共軛復根irir21,這時原方程有兩個復數(shù)解:xiey)(1)sin(cosxi

4、xexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為)sincos(21xcxceyx山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrececy212121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrexccy1)(21ir,21)sincos(21xcxceyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂若特征方程含 k 重復根,ir若特征方程含 k

5、 重實根 r , 則其通解中必含對應項xrkkexcxcc)(121xxcxccekkxcos)( 121sin)(121xxdxddkk則其通解中必含對應項)(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iidc推廣推廣:山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxececy321例例2. 求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解

6、為tetccs)(21利用初始條件得, 41c于是所求初值問題的解為tets)24(22c山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂例例3.xxo解解: 由第七節(jié)例1 (p293) 知, 位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運動,初始求物體的運動規(guī)律 ,0v速度為. )(txx 立坐標系如圖, ,0 xx 設 t = 0 時物體的位置為取其平衡位置為原點建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解問題為自由振動方程 , 山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂方程:22ddtx02xk特征方程:, 022krkir2,1特征根:tk

7、ctkcxsincos21利用初始條件得:,01xc 故所求特解:tkkvtkxxsincos00a)sin(tka0 xkv0方程通解:1) 無阻尼自由振動情況無阻尼自由振動情況 ( n = 0 )kvc020022020tan,vxkkvxa山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂解的特征解的特征:)sin(tkax0 xaaxto簡諧振動 a: 振幅, : 初相,周期: kt2:mck 固有頻率 t0dd00vtxt, 000 xxt下圖中假設(僅由系統(tǒng)特性確定)山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼: n k臨界阻尼:

8、n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tctcextn)(22nk trtrececx2121tnetccx)(21山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: 1) 無振蕩現(xiàn)象; trtrececx2121222,1knnr其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此圖參數(shù): 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 對任何初始條件即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂( n = k ) 臨界阻尼解的特征臨界阻尼解的特征 : 任意常數(shù)由初始條件定, tnetcc

9、x)(21)() 1tx最多只與 t 軸交于一點; 取何值都有無論21,cc)(lim)3txt即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.0)(lim21tntetcc2) 無振蕩現(xiàn)象 ;山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解為xccy21)2sin2cos(43xcxcex例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1cyxc223xc34xcxec5(不難看出, 原方程有特解), 132xexxx山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂02)(22222rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根為),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xcxcxe2)2sin2cos(43xcxc山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂例例7.02)4( yyy解方程