特殊數(shù)列求和

1、12 .) 1(212)(:n. 1:.11ndnnnaaanSann項(xiàng)和的前等差數(shù)列公式法一) 1(11)1 () 1(S:n. 2111nqqqaaqqaqnann項(xiàng)和等比數(shù)列前) 1(21:. 31nnnkSnk正整數(shù)數(shù)列的求和) 12)(1(61:. 412nnnnkSnk正整數(shù)平方和公式222113n) 1(41)(:. 5nnkkSnknk正整數(shù)立方和公式3數(shù)列求和的方法之一數(shù)列求和的方法之一: :倒序相加法倒序相加法例例1. 求和：求和：.110108339221011222222222222 對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可運(yùn)對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可運(yùn)用倒序相加法求其前用倒

2、序相加法求其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .即：如果一個(gè)數(shù)列的前即：如果一個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等等距離的兩項(xiàng)之和都相等，那么可使用倒序相加距離的兩項(xiàng)之和都相等，那么可使用倒序相加法求數(shù)列的前法求數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .4 111222121211421211221*m,.xnmmnfxPxyPxyfxP PPaafafmmmmafafmNammmS練習(xí)：已知函數(shù)點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ，求證：點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為定值.在數(shù)列中，若求數(shù)列的前項(xiàng)和3112m=mS5數(shù)列求和的方法之二數(shù)列求和的方法之二: :分組求和法分組求和法分組法求和分組法求和: :將數(shù)列

3、的每一項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱謱?shù)列的每一項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱趾笤俜纸M，可組成幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，后再分組，可組成幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)行求和進(jìn)行求和. .22222n)1()1()1(:nnxxxxxxS求和思考提示提示: :通過(guò)分析通項(xiàng)通過(guò)分析通項(xiàng), ,分組選用公式求和分組選用公式求和, ,但要但要注意分注意分xx1 1和和x=x=1 1兩種情況討論兩種情況討論. .211 111 1111.1, , , .n例 求數(shù)列， 的前 項(xiàng)和6練習(xí)練習(xí): :求以下各數(shù)列前求以下各數(shù)列前n n項(xiàng)的和項(xiàng)的和SnSn：(1)(1)1(2)1,1 2,1 2 4,1 2 42 ,n 22122nnnnSnSn

4、221n1111234248161,，7數(shù)列求和的方法之三數(shù)列求和的方法之三: :并項(xiàng)求和并項(xiàng)求和法法在數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和是同一常數(shù)在數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和是同一常數(shù)或有規(guī)律可循時(shí)，采用或有規(guī)律可循時(shí)，采用并項(xiàng)求和法并項(xiàng)求和法. . 3121.,.nnnnaannS 例 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為求其前 項(xiàng)和,=, nn nSnn為奇數(shù)為偶數(shù)811223,.nnnnnaaaananS練習(xí)：已知數(shù)列滿足求數(shù)列的前 項(xiàng)和2232362, ,nnnnSnnn為偶數(shù)為奇數(shù)9111(2)12231nn例例4. 4. 求和：求和：111(1)11212312n典型例題典型例題1n2n11n10數(shù)列求和的

5、方法之四數(shù)列求和的方法之四: :裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消法求和：將數(shù)列的通項(xiàng)分解將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩項(xiàng)之差，從而在求和時(shí)產(chǎn)生相消成兩項(xiàng)之差，從而在求和時(shí)產(chǎn)生相消為零的項(xiàng)的求和方法為零的項(xiàng)的求和方法. .11351.(1)(2); 2.41 (2)312(2)nnnnnnnn，(1)11111 32 43 52+ +n n(2)44 77 10(32) 3111111+ +n-n1.求和：求和：21232.,nnnnaannanS數(shù)列通項(xiàng)公式為求數(shù)列的前項(xiàng)和我想試一試:1213數(shù)列求和的方法之五數(shù)列求和的方法之五: :錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法: :主要運(yùn)用于等差

6、數(shù)列與等比數(shù)主要運(yùn)用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積列的積. .14 解：解： 例例5.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列為為,求此數(shù)列前求此數(shù)列前n項(xiàng)和。項(xiàng)和。 na1324 ,3 ,2 , 1nnxxxx0 xnnnnxxnxxxxS1321321324321nnnxxxxSnnnnxxxxSx1211nnnnxxxSxx1111時(shí)，當(dāng)xnxxnnn111121111xnxxnSnnn2143211nnnSxn時(shí)，當(dāng)( (錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法) ) 15(1)122438n2n=n13572n1(2)248162n 1(n-1).2+2求和：求和：我也會(huì)做我也會(huì)做! !n13 (2n3( )2）16設(shè)設(shè)anan為等比數(shù)

7、列為等比數(shù)列,Tn,Tnna1+(nna1+(n一一1)a2+2an-1+an1)a2+2an-1+an， T1T11 1，T2T24 4(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列anan的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)(2)求數(shù)列求數(shù)列TnTn的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式n 1nn 1n(1)2(2)T2n2a能力提升能力提升1701114,( ,)(, ,)( ).nnxnnnnanSnNn Sybr bbb rna1.等比數(shù)列的前 項(xiàng)和為已知對(duì)任意的點(diǎn)在函數(shù)是常數(shù) 的圖象上求r的值(2)當(dāng)b=2時(shí),記b =,求數(shù)列b 的前n項(xiàng)和高考題選：高考題選：182.已知數(shù)列已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為其前

8、為其前n項(xiàng)和項(xiàng)和，對(duì)于任意的對(duì)于任意的nN*滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式2Sn3an3.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是bn前前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為T(mén)n,求證求證:對(duì)于任意的正數(shù)對(duì)于任意的正數(shù)n,總有總有Tn1.133loglog1nnaa193.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 an n 滿足滿足a1 13 3a2 23 32 2a3 33 3n n1 1an n ， nNnN* *. .(1)求數(shù)列求數(shù)列 an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)設(shè)b bn n ，求數(shù)列求數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn. .n3nna20【解析解析】(1)(1)a1 13 3a2

9、23 32 2a3 33 3n n1 1an n 當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)，時(shí)，a1 13 3a2 23 32 2a3 33 3n n2 2an n1 1 得得3 3n n1 1an n ，an n . .在中，令在中，令n n1 1，得，得a1 1 ，適合，適合an n ，an n . .n3n-1313n1313n13n1321(2)b(2)bn n ，b bn nn n3 3n n. .SSn n3 32 23 32 23 33 33 3n n3 3n n 3S3Sn n3 32 22 23 33 33 33 34 4n n3 3n n1 1 得得2S2Sn nn n3 3n n1 1(3(33

10、32 23 33 33 3n n) )，即即2S2Sn nn n3 3n n1 1 ，S Sn n nnan3(1-3 )1-3n 1(2n1)33.44224.已知數(shù)列 an n 的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn, ,滿足滿足S Sn n=2=2an n-2n-2n, ,(1)求證求證:數(shù)列數(shù)列 an n+2+2為等比數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若數(shù)列若數(shù)列 b bn n 滿足滿足b bn n=log=log2 2( (an n+2),T+2),Tn n為數(shù)列為數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和,求證求證:Tn .nn+2ba1223【自主解答自主解答】(1)(1)當(dāng)當(dāng)nN*時(shí)時(shí),S,Sn n=2=2an n-2

11、n -2n 則當(dāng)則當(dāng)n2,nN*時(shí)時(shí),S,Sn-1n-1=2=2an-1n-1-2(n-1) -2(n-1) -，得，得an n=2=2an n-2-2an-1n-1-2-2，即即an n=2=2an-1n-1+2,+2,an n+2=2(+2=2(an-1n-1+2), =2,+2), =2,當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí)，S S1 1=2=2a1 1-2,-2,則則a1 1=2.=2.an n+2+2是以是以a1 1+2=4+2=4為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列.nn-1+2+2aa242526課堂小結(jié)課堂小結(jié): :(1)(1)公式法公式法: :直接運(yùn)用等差數(shù)列直接運(yùn)用等差數(shù)列, ,等比數(shù)列求和公式等比數(shù)列求和公式; ;(2)(2)分組轉(zhuǎn)化法分組轉(zhuǎn)化法: :將數(shù)列的求和問(wèn)題化為等差數(shù)列將數(shù)列的求和問(wèn)題化為等差數(shù)列, ,等等比數(shù)列求和問(wèn)題；比數(shù)列求和問(wèn)題；(3)(3)倒序相加法倒序相加法: :對(duì)前后項(xiàng)有對(duì)稱性的數(shù)列求和；對(duì)前后項(xiàng)有對(duì)稱性的數(shù)列求和；(4)(4)錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法: :等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和(5)(5)裂項(xiàng)求和法裂項(xiàng)求和法: :將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩項(xiàng)之