動力學(xué)方程 拉格朗日方程PPT課件

1、0 )(1iiiiinirRFrm 以 點(diǎn)乘上式后，再對 i 取和，得ir 理想約束條件下：0 1iniirR0 )(1iiiinirFrm 則 這是達(dá)朗伯原理與虛功原理的結(jié)合，稱為達(dá)朗伯拉格朗日方程，由于存在約束，各 并不彼此獨(dú)立，因此不能令上式中 前面的所有乘式都等于零，否則就成為自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程了。ir ir 第1頁/共30頁二、基本形式的拉格朗日方程 現(xiàn)在我們從達(dá)朗伯拉格朗日方程出發(fā)，把各并不彼此獨(dú)立的坐標(biāo) 用各彼此獨(dú)立的廣義坐標(biāo) 重新表述，從而導(dǎo)出適用于受理想約束的完整力學(xué)系所遵守的動力學(xué)方程拉格朗日方程。ir), 2, 1(sq 設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)受k個(gè)約束，因是完整約束，體系的自由

2、度數(shù)應(yīng)為 s3nk。以廣義坐標(biāo) 表出ir ) , , , ,(21tqqqrrsiisissiiiiqqrqqrqqrqqrr12211 則代入達(dá)朗伯拉格朗日方程0 )(11saiiiiniqqrFrm 第2頁/共30頁上式中的兩個(gè)取和號互不相關(guān)，故可以互易，則0 )(11saiiiiniqqrFrm 0 111qqrFqrrmsiniiiinii （廣義力） 11qrFQqrrmPiniiiniii 令sqQP10)(則第3頁/共30頁因各 q 互相獨(dú)立，所以 PQ 改寫qrrmPiniii 1 niiiiniiiiqrtrmqrrmt11 dd ddniiiiniiiiqrrmqrrmtP

3、11 dd211221 21 ddiininiiirmqrmqtqrqrtqrqriiii dd , 由 11qrFQqrrmPiniiiniii 第4頁/共30頁niiirmT1221令顯然 T 是體系的動能，則有qTqTtP ddsQqTqTt , ,2 , 1 , dd即 這就是著名的拉格朗日方程，也稱基本形式的拉格朗日方程（或稱第二類拉格朗日方程）。其中廣義坐標(biāo) qq(t)，所以上式是以 t 為自變量的廣義坐標(biāo) q 的s 個(gè)二階常微分方程組。只要我們能寫出以為變量時(shí)體系的動能T和廣義力Q1，Q2，Qs，就可以代入上式，從而得到體系的動力學(xué)方程組，再求解，就可得到體系的運(yùn)動方程。第5頁/

4、共30頁三、廣義動量與廣義力的計(jì)算對于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)來說，動能對某速度分量的導(dǎo)數(shù)是對應(yīng)的動量分量xzyxxxmmT)(21222與此類比，可以定義廣義動量 p 為pqT 注意：廣義動量可以是線動量，也可以是角動量等等，視廣義坐標(biāo)的選擇而定。而廣義力：qrFQinii 1 廣義力可以是力，也可以是力矩等，視廣義坐標(biāo)的選擇而定。計(jì)算廣義力的方法可以有兩種：一種方法是從上定義式直接計(jì)算，另一種方法是從主動力所作的虛功來計(jì)算。第6頁/共30頁1、從主動力所作的虛功來計(jì)算niiirFW1 qqrFsinii 11 sqQ1 如求Q1，令 q2 q3 q s0，則110 11 ) (32qQrFWsqqqnii

5、i ) (10 111132qrFqWQsqqqniii第7頁/共30頁2、從定義式直接計(jì)算qrFQinii 1求任一廣義力Q時(shí) ) ( ,210 1qrFqWQsqniii，第8頁/共30頁jixFyFFPxyrojixFyFFPxyro例3 計(jì)算一自由質(zhì)點(diǎn)取平面極坐標(biāo)的廣義力。設(shè)質(zhì)點(diǎn)P受力，廣義坐標(biāo)q1r，q2 。與此兩廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力為 Q r 和Q 。求 Q r與Q ,用兩種方法。解 方法一：從定義式計(jì)算。將定義式用于極坐標(biāo)，因 粒子數(shù) n1，則rrFQr rFQ又因 x r cos，yr sin 第9頁/共30頁jixFyFFPxyrojixFyFFPxyrosin ,cos r

6、yrx則ryFrxFyx rrFQr ryxFFFsincos可見廣義力的徑向分量就是的徑向分量，說明 Qr 是一個(gè)力。cos ,sin rxrx另外第10頁/共30頁jixFyFFPxyrojixFyFFPxyro xFxFQyx)cossin(yxFFr上式括號中的第一項(xiàng)為 Fx在 方向的投影，第二項(xiàng)是 Fy在 方向的投影。所以兩者之和就是 在 方向的投影 F ，因此Q r F（是力矩）可見廣義力的橫向分量 Q 是力矩。jjFj第11頁/共30頁方法二：從主動力所作的虛功來計(jì)算jixFyFFPxyrojixFyFFPxyrorryrrx sin cos cos sin 00) ( ) (

7、yFxFrFrQWyxrrrFrFrQyxr sin cos ryxrrFFFrWQsincos 則第12頁/共30頁jixFyFFPxyrojixFyFFPxyro00) ( ) ( ryxryFxFrFQWrFFFryx)cossin(rFWQ則兩種方法的結(jié)果一致第13頁/共30頁四、保守力學(xué)系的拉格朗日方程實(shí)際上，在很多情況下我們僅遇見保守力學(xué)系。對于保守力學(xué)系，存在勢能),(222111nnnzyxzyxzyxVV則對任一個(gè)質(zhì)點(diǎn)有VFiikzjyixiiii nizVFyVFxVFiiziiyiix , , 2 , 1 , , ,分量式為第14頁/共30頁現(xiàn)在把廣義力與勢能函數(shù)連系起來

8、qrFQinii 1niiiziiyiixqzFqyFqxF1 niiiiiiiqzzVqyyVqxxV1 sqV , ,2 , 1 代入基本形式的拉格朗日方程，則sqVqTqTt , , 2 , 1 ,dd第15頁/共30頁注意：一般勢能函數(shù)不顯含時(shí)間和速度變量，即VV（x1，y1，z1，x n，y n，z n）V（q1，q2，q s）0qV則令 LTV ，則qTqVTqL)(qVqTqVTqL)(與代入最頂上一式：sqLqLt , , 2 , 1 , 0dd LTV 叫拉格朗日函數(shù)。一般 L 是廣義坐標(biāo)，廣義速度和時(shí)間的函數(shù)。sqVqTqTt , ,2 , 1 ,dd第16頁/共30頁即)

9、;,;,(2121tqqqqqqLLss) , ,(tqqLL簡記為pqTqL而仍是廣義動量。 這就是受理想約束的完整系在保守力作用下的拉格朗日方程。因?yàn)橛玫幂^多，就直接稱它為拉格朗日方程。當(dāng)取廣義坐標(biāo)和廣義速度為獨(dú)立變量時(shí)，只要知道了 L ，就可以求出 q所滿足的動力學(xué)方程，從而可求出體系的全部力學(xué)性質(zhì)。因此，我們說：取廣義坐標(biāo)和廣義速度為變量時(shí)，拉格朗日函數(shù)L是力學(xué)體系的一個(gè)特性函數(shù)。sqLqLt , , 2 , 1 , 0dd第17頁/共30頁五、循環(huán)積分與能量積分 拉格朗日方程是 s 個(gè)二階常微分方程組，我們希望也像牛頓力學(xué)一樣 ，若能首先對微分方程組積分一次 ，找出某些初積分（ 或叫

10、第一積分 ），使我們對某些問題的求解能簡便些 。在某些情況下，部分的第一積分容易得到。1、循環(huán)積分 一般保守力學(xué)系的拉格朗日函數(shù)是全部廣義坐標(biāo)和廣義速度（廣義動量）及時(shí)間 t 的函數(shù)，即) ; , , , ; , , ,(2121tqqqqqqLLss 若L中不顯含某一廣義坐標(biāo) q j ，則稱 q j 為循環(huán)坐標(biāo)（也叫可遺坐標(biāo)）。這時(shí)有第18頁/共30頁代入拉格朗日方程sqLqLt , , 2 , 1 , 0dd則0ddjqLt恒量jjqLp 可見，當(dāng)L函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo) q j 時(shí)，這個(gè) q j 即循環(huán)坐標(biāo)所對應(yīng)的廣義動量 就是守恒量，稱為循環(huán)積分。這表明，對任一循環(huán)坐標(biāo)，都對應(yīng)有一個(gè)循環(huán)

11、積分。jjqLp 0 jqL第19頁/共30頁解 ： 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)，故n1， 自由質(zhì)點(diǎn)只受有心力作用時(shí)，作平面曲線運(yùn)動， 所以 s2，取極坐標(biāo)（r，）為廣義坐標(biāo)，則有rkmVrrmmT)(21212222VTLrkmrrm)(21222),( rrL可見 L 函數(shù)中不含 ，所以 是循環(huán)坐標(biāo)，則恒量 Lp恒量2mrp例4 求一自由質(zhì)點(diǎn)在有心力場中的循環(huán)積分。第20頁/共30頁2、能量積分 體系是否能量守恒的問題。由拉格朗日方程得到能量積分需要一定的條件。（1）若 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的受理想約束的完整系只受保守力作用， 稱為完整的保守的力學(xué)體系。設(shè)其自由度數(shù)為 s ，先求 體系以

12、 q、 表示的動能式。因q ) , , , ,(21tqqqrrsii) , , 2 , 1 , 1nitrqqrrsiii所以則體系的動能niiirmT12)(21第21頁/共30頁niiirmT12)(21211 21trqqrmisiniiqqqrqrmisinii 211112111 21 trmqtrqrminiiisiniiqqqrqrmsniiii 21111 2111 21 trmqtrqrminiisiniii第22頁/共30頁atrmatrqrmaqrqrminiiiiniiiinii2111 aqaqqaTss2121111則 上式中的T2、T1和T0分別是廣義速度的二次

13、、一次、零次函數(shù)。其中a、a、a都仍是廣義坐標(biāo)q（1，2，s）及 t 的函數(shù)，有時(shí)不顯含t，但仍是t的隱函數(shù)，不然就不會出現(xiàn) 了。q 第23頁/共30頁aqaqqaTss2121111sssqqVqqTqqt111 Tdd其中第一項(xiàng)中qqTqqTtqqTt dddd代入上式，得sssqqVqqTqqTqqTt111dd 012TTT兩邊乘 ，再對 求和，得 q 對保守系的拉格朗日方程第24頁/共30頁（2）對于穩(wěn)定約束，而且T、V 不顯含t 的完整保守力學(xué)系 的分析。aqaqqaTss2121111012TTT) , , ,(21siiqqqrr0 tri對穩(wěn)定約束 0 aa2TT 先應(yīng)用一個(gè)

14、結(jié)論 （后面證明）：TTqqTqqTss22 2121第25頁/共30頁因T、V中不顯含ttVqqddVs1sssqqVqqTqqTqqTt111dd tTqqTqqTsdd1 tVtTTtdddd)2(dd0ddddtVtTTVE恒量 這就是力學(xué)體系的能量積分。 可見拉格朗日方程具有能量積分的條件是：受穩(wěn)定的理想約束的完整系，只受保守力而且T、V中不顯含t，這時(shí)體系的能量守恒。第26頁/共30頁（3）對于完整的保守的力學(xué)體系，受不穩(wěn)定約束而且T、V 中不顯含t情況的分析。這時(shí) ), , , , ,(21tqqqrrsii012TTTTsssqqVqqTqqTqqTt111dd ssssqqTqqTqqTqqT10111210212TT)(dd)2(dd01212TTTtTTttVdd0)(dd02VTTtT2T0Vh恒量 第27頁/共30頁下面證明 2122 TqqTssssskksssksskkkkkksskksskkkkqqaqaqaqaqqaqaqaqaqqaqaqaqaqqaqaqaqaqqT)(21)(21)(21)(21221122112222221121112211112skssskk