2球面波谷風(fēng)教育

1、1.3 球面波球面波波面為波面為球面球面的波被稱(chēng)為的波被稱(chēng)為球面波球面波。 簡(jiǎn)諧平面波是描述光波的基本模型。雖然任意簡(jiǎn)諧平面波是描述光波的基本模型。雖然任意復(fù)雜波可以用簡(jiǎn)諧平面波的疊加來(lái)描述，但有些復(fù)雜波可以用簡(jiǎn)諧平面波的疊加來(lái)描述，但有些兩種特殊波面（比如球面波）的光波可用更簡(jiǎn)潔兩種特殊波面（比如球面波）的光波可用更簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)式來(lái)描述。的數(shù)學(xué)式來(lái)描述。理想理想點(diǎn)光源點(diǎn)光源發(fā)出的波為球面波。發(fā)出的波為球面波。一個(gè)在真空或一個(gè)在真空或各向同性各向同性介質(zhì)中的介質(zhì)中的理想點(diǎn)光源，它向外發(fā)射的光波理想點(diǎn)光源，它向外發(fā)射的光波是球面光波，等相位面是以點(diǎn)光是球面光波，等相位面是以點(diǎn)光源為中心、隨著距離的

2、增大而逐源為中心、隨著距離的增大而逐漸擴(kuò)展的同心球面。漸擴(kuò)展的同心球面。1課資教育1.3.1 球坐標(biāo)系中的波動(dòng)微分方程球坐標(biāo)系中的波動(dòng)微分方程球面波具有球?qū)ΨQ(chēng)性，在球坐標(biāo)系中，球面波的波球面波具有球?qū)ΨQ(chēng)性，在球坐標(biāo)系中，球面波的波函數(shù)只與函數(shù)只與 r 有關(guān)，與有關(guān)，與和和無(wú)關(guān)。所以：無(wú)關(guān)。所以：2222),(1),(ttretre222),(1),(rtrrertre在球坐標(biāo)系中，有：在球坐標(biāo)系中，有：代入上式，有：代入上式，有：22222),(1),(ttrrertrre2課資教育其通解：其通解：)(1)(1),(21trbrtrbrtre向原點(diǎn)會(huì)聚向原點(diǎn)會(huì)聚從原點(diǎn)發(fā)散從原點(diǎn)發(fā)散規(guī)定速度規(guī)定

3、速度v的正負(fù)表示波的傳播方向，球面波的波的正負(fù)表示波的傳播方向，球面波的波函數(shù)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為函數(shù)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：)(1),(trbrtre1.3.2. 簡(jiǎn)諧球面波簡(jiǎn)諧球面波當(dāng)波函數(shù)為當(dāng)波函數(shù)為正弦或余弦正弦或余弦形式時(shí)，對(duì)應(yīng)的球面波稱(chēng)形式時(shí)，對(duì)應(yīng)的球面波稱(chēng)為為簡(jiǎn)諧球面波簡(jiǎn)諧球面波。3課資教育簡(jiǎn)諧球面波的簡(jiǎn)諧球面波的波函數(shù)：波函數(shù)：101( , )cos ()e r tak rtr簡(jiǎn)諧球面波的簡(jiǎn)諧球面波的復(fù)指數(shù)描述：復(fù)指數(shù)描述：101( , )exp ()e r tai krtr簡(jiǎn)諧球面波的簡(jiǎn)諧球面波的復(fù)振幅：復(fù)振幅：101( , )exp ()e r tai krr4課資教育1.3.3簡(jiǎn)諧球面

4、波參量的特點(diǎn)簡(jiǎn)諧球面波參量的特點(diǎn)101( , )cos ()e r tak rtr（1）振幅）振幅簡(jiǎn)諧球面波振幅的這個(gè)特點(diǎn)是簡(jiǎn)諧球面波振幅的這個(gè)特點(diǎn)是能量守恒定律能量守恒定律所要求的。所要求的。（2）相位）相位簡(jiǎn)諧球面波的相位是：簡(jiǎn)諧球面波的相位是：0tkr5課資教育說(shuō)明說(shuō)明v是沿球面徑向的位相傳播速率。是沿球面徑向的位相傳播速率。當(dāng)?shù)认辔幻孀郧蛐南蛲鈧鞑r(shí)當(dāng)?shù)认辔幻孀郧蛐南蛲鈧鞑r(shí)v0,稱(chēng)為稱(chēng)為發(fā)散球面波發(fā)散球面波，當(dāng)?shù)认嗝嫦蚯蛐臅?huì)聚時(shí)當(dāng)?shù)认嗝嫦蚯蛐臅?huì)聚時(shí)v0，稱(chēng)為，稱(chēng)為會(huì)聚球面波會(huì)聚球面波。k仍為波數(shù)：仍為波數(shù)：2k代表發(fā)散和會(huì)聚球面波。代表發(fā)散和會(huì)聚球面波。由于球面波振幅隨由于球面波振幅

5、隨r增大而減小，故嚴(yán)格說(shuō)來(lái)：增大而減小，故嚴(yán)格說(shuō)來(lái)：球面波波函數(shù)不成現(xiàn)嚴(yán)格的空間周期性。球面波波函數(shù)不成現(xiàn)嚴(yán)格的空間周期性。6課資教育1.3.4 在光學(xué)中，通常要求解光波在某個(gè)平面上的復(fù)振幅分布。在光學(xué)中，通常要求解光波在某個(gè)平面上的復(fù)振幅分布。),(000zyxsxyzo0r)0 ,(yxp202020)()(zyyxxr7課資教育),(000zyxsxyzo0r)0 ,(yxp10( )exp ()ae ri krr將將r代入上式，并設(shè)光源的初相為代入上式，并設(shè)光源的初相為0，210222 1 200022 1 200( )exp ()()()() ae rikxxxxyyzyyz這個(gè)表達(dá)

6、式含有根式，相當(dāng)復(fù)雜，不便于分析，考慮到這個(gè)表達(dá)式含有根式，相當(dāng)復(fù)雜，不便于分析，考慮到光學(xué)研究的實(shí)際情況，常常對(duì)上式做適當(dāng)簡(jiǎn)化。光學(xué)研究的實(shí)際情況，常常對(duì)上式做適當(dāng)簡(jiǎn)化。8課資教育1.3.5簡(jiǎn)諧球面波的共軛光波簡(jiǎn)諧球面波的共軛光波 ),(000zyxsxzo與平面波的共軛光波類(lèi)似，與平面波的共軛光波類(lèi)似，對(duì)位于點(diǎn)對(duì)位于點(diǎn)s的點(diǎn)光源發(fā)出的點(diǎn)光源發(fā)出的球面波。的球面波。它在它在z=0平面上的復(fù)振幅平面上的復(fù)振幅分布：分布：1( )expae rikrr其中：其中：222 1 2000()()rxxyyz其共軛：其共軛：1( )expae rikrr9課資教育即：即：210222 1 200022

7、 1 200( )exp()()()() ae rikxxxxyyzyyz這顯然是一束會(huì)聚的球面波，這顯然是一束會(huì)聚的球面波，會(huì)聚中心為：會(huì)聚中心為：000000(,),(,)xy zxyz前者表示沿原路返回的球前者表示沿原路返回的球面波，后者會(huì)聚中心面波，后者會(huì)聚中心s與與原光源原光源s對(duì)對(duì)z=0平面鏡像對(duì)平面鏡像對(duì)稱(chēng)。稱(chēng)。),(000zyxsxzo000(,)s xyz10課資教育1.5 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件將麥克斯韋方程組應(yīng)用于兩種介質(zhì)的界面，可以得將麥克斯韋方程組應(yīng)用于兩種介質(zhì)的界面，可以得到電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系：到電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系：在界面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)：在界面兩

8、側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)：在界面兩側(cè)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)。在界面兩側(cè)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)。在界面兩側(cè)，電位移矢量的法向分量連續(xù)。在界面兩側(cè)，電位移矢量的法向分量連續(xù)。在界面兩側(cè)，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)。在界面兩側(cè)，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)。12121212()0()0()0()0nnnn ddbbeehh11課資教育1.6 光波在兩種各向同性的均勻媒質(zhì)界面光波在兩種各向同性的均勻媒質(zhì)界面上的反射和折射上的反射和折射 光波由一種媒質(zhì)投射到與另一種媒質(zhì)光波由一種媒質(zhì)投射到與另一種媒質(zhì)的交界面時(shí)，將發(fā)生反射和折射（透射）的交界面時(shí)，將發(fā)生反射和折射（透射）現(xiàn)象。根據(jù)麥克斯韋方程組和現(xiàn)象。

9、根據(jù)麥克斯韋方程組和邊界條件邊界條件討論光在介質(zhì)界面的上的反射和折射。討論光在介質(zhì)界面的上的反射和折射。反射波、透射波與入射波反射波、透射波與入射波傳播方向傳播方向之間之間的關(guān)系由反射定律和折射定律描述，而的關(guān)系由反射定律和折射定律描述，而反射波、透射波與入射波之間的反射波、透射波與入射波之間的振幅和振幅和相位關(guān)系相位關(guān)系由菲涅耳由菲涅耳(fresnel)公式描述。公式描述。12課資教育1.6.1 折射和反射定律折射和反射定律光由一種介質(zhì)入射到另一種介質(zhì)，在界面上將產(chǎn)生反射和折射。光由一種介質(zhì)入射到另一種介質(zhì)，在界面上將產(chǎn)生反射和折射。現(xiàn)假設(shè)二介質(zhì)為均勻、透明、各向同性，分界面為無(wú)窮大的平現(xiàn)假

10、設(shè)二介質(zhì)為均勻、透明、各向同性，分界面為無(wú)窮大的平面，面， 入射、入射、 反射和折射光均為平面光波，其電場(chǎng)表示式為反射和折射光均為平面光波，其電場(chǎng)表示式為 ：()lli k rtlleae l=i, r, t 式中，腳標(biāo)式中，腳標(biāo)i, r, t分別代表入射光、反射光和折射光；分別代表入射光、反射光和折射光；r是是界面上界面上任意點(diǎn)的矢徑任意點(diǎn)的矢徑，在如，在如圖圖所示的坐標(biāo)情況下，有所示的坐標(biāo)情況下，有: j yi xr13課資教育平面光波在界面上的反射和折射平面光波在界面上的反射和折射14課資教育界面兩側(cè)，總電場(chǎng)：界面兩側(cè)，總電場(chǎng)：rieee1tee2考慮到電場(chǎng)在界面兩側(cè)的邊界條件：考慮到電

11、場(chǎng)在界面兩側(cè)的邊界條件：12n en e exp ()exp ()exp ()riirrrtttnai k rtai k rtn ai k rt 上式對(duì)于任意時(shí)間都成立，必須有：上式對(duì)于任意時(shí)間都成立，必須有：tri這說(shuō)明：這說(shuō)明： 入射光、反射光和折射光具有相同的頻率；入射光、反射光和折射光具有相同的頻率；15課資教育上式對(duì)于任意位置都成立，必須有：上式對(duì)于任意位置都成立，必須有：rkrkrktri0)(rkkir0)(rkkit這說(shuō)明：入射光、反射光和折射光均在入射面內(nèi)，三個(gè)波這說(shuō)明：入射光、反射光和折射光均在入射面內(nèi)，三個(gè)波矢關(guān)系如矢關(guān)系如圖圖所示。所示。 16課資教育三波矢關(guān)系三波矢關(guān)

12、系 17課資教育 進(jìn)一步，根據(jù)上圖所示的幾何關(guān)系，可得到進(jìn)一步，根據(jù)上圖所示的幾何關(guān)系，可得到 ：ttiirriikkkksinsinsinsin又因?yàn)橛忠驗(yàn)閗=n/c，可將上二式改寫(xiě)為，可將上二式改寫(xiě)為ttiirriinnnnsinsinsinsin這就是介質(zhì)界面上的這就是介質(zhì)界面上的反射定律和折射定律反射定律和折射定律， 折射定律又稱(chēng)為斯折射定律又稱(chēng)為斯涅耳涅耳(snell)定律。定律。 18課資教育1.6.2 菲涅耳公式菲涅耳公式光的折射和反射定律只是解決了光在兩光的折射和反射定律只是解決了光在兩種介質(zhì)分界面處的傳播方向問(wèn)題。不能種介質(zhì)分界面處的傳播方向問(wèn)題。不能解決光在界面處的能量分配

13、（振幅）和解決光在界面處的能量分配（振幅）和相位變化。下面我們還是利用電磁場(chǎng)的相位變化。下面我們還是利用電磁場(chǎng)的邊界條件進(jìn)一步解決振幅和相位問(wèn)題。邊界條件進(jìn)一步解決振幅和相位問(wèn)題。也就是導(dǎo)出也就是導(dǎo)出菲涅耳公式菲涅耳公式。我們只討論電。我們只討論電場(chǎng)的菲涅耳公式。場(chǎng)的菲涅耳公式。19課資教育1. s分量和分量和p分量分量 通常把垂直于入射面振動(dòng)的分量叫做通常把垂直于入射面振動(dòng)的分量叫做s分量分量，把平行于，把平行于入射面振動(dòng)的分量稱(chēng)做入射面振動(dòng)的分量稱(chēng)做p分量分量。為討論方便起見(jiàn)，規(guī)定。為討論方便起見(jiàn)，規(guī)定s分分量和量和p分量的正方向如圖所示。分量的正方向如圖所示。1n2noikirkrtkt

14、isersetseiperpetpe20課資教育2. 反射系數(shù)和透射系數(shù)反射系數(shù)和透射系數(shù)假設(shè)介質(zhì)中的電場(chǎng)矢量為假設(shè)介質(zhì)中的電場(chǎng)矢量為:exp ()llleai krtl=i, r, t 其其s分量和分量和p分量表示式為分量表示式為: exp ()lmlmleai krtm=s,p 則定義則定義s分量、分量、p分量的分量的反射系數(shù)、透射系數(shù)反射系數(shù)、透射系數(shù)分別為分別為 :rmtmmmimimaartaa21課資教育3. 菲涅耳公式的推導(dǎo)菲涅耳公式的推導(dǎo)假設(shè)假設(shè)界面上的入射光、反射光和折射光界面上的入射光、反射光和折射光同相位同相位，根據(jù)電磁場(chǎng)，根據(jù)電磁場(chǎng)的邊界條件及的邊界條件及s分量、分量、

15、 p分量的正方向規(guī)定，可得：分量的正方向規(guī)定，可得：(1)isrstsaaatptrpripihhhcoscoscos000考慮到平面電磁波電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的關(guān)系（數(shù)值及方向）：考慮到平面電磁波電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的關(guān)系（數(shù)值及方向）：ecnbh001上式變?yōu)椋荷鲜阶優(yōu)椋?2(coscos )cos(2)isirsrtstn aan a22課資教育聯(lián)立（聯(lián)立（1）、（）、（2）兩式，可得）兩式，可得s分量的反射系數(shù)：分量的反射系數(shù)：1212coscoscoscosrsitsisitannrann)sin()sin(tititititantantantan和透射系數(shù)：和透射系數(shù)：1122coscosco

16、stsisisitantann)sin(sincos2titi23課資教育同理可得同理可得p分量的反射系數(shù)：分量的反射系數(shù)：2112coscoscoscosrpitpipitannrannsin2sin2sin2sin2itit tan()tan()itit 和透射系數(shù)：和透射系數(shù)：1212coscoscostpipipitantann)sin()sin(sincos2tititi24課資教育1.6.3 菲涅耳公式的討論菲涅耳公式的討論（1）n1n2的情形：的情形：即：由光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)。即：由光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)。此時(shí)，折射角大于入射角，我們把折射角為直角時(shí)所對(duì)此時(shí)，折射角大于入射角，我

17、們把折射角為直角時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)的入射角入射角稱(chēng)為稱(chēng)為全反射臨界角全反射臨界角。12sinnnc當(dāng)入射角小于臨界角時(shí)。當(dāng)入射角小于臨界角時(shí)。分析方法和前面相同，我們將菲涅耳公式繪圖分析。分析方法和前面相同，我們將菲涅耳公式繪圖分析。35課資教育)(0istsrprptptstsrprb反射、透射系數(shù)和入射角的關(guān)系反射、透射系數(shù)和入射角的關(guān)系c36課資教育通過(guò)分析不難發(fā)現(xiàn)：通過(guò)分析不難發(fā)現(xiàn)：由光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)沒(méi)有半波損失。由光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)沒(méi)有半波損失。布儒斯特定律形式不變。布儒斯特定律形式不變。菲涅耳系數(shù)可以大于一，但并不意味著能量不守恒。菲涅耳系數(shù)可以大于一，但并不意味著能量不守恒。當(dāng)入

18、射角大于臨界角時(shí)。當(dāng)入射角大于臨界角時(shí)。由折射定律：由折射定律：itnnsinsin21此時(shí)，此時(shí)，12sinsinnnci1sintt為復(fù)數(shù)。為復(fù)數(shù)。37課資教育此時(shí)菲涅耳系數(shù)為復(fù)數(shù)：此時(shí)菲涅耳系數(shù)為復(fù)數(shù)：1212cosexp()cosisssininrrinin2121cosexp()cosipppininrrinin i為實(shí)數(shù)，在形式上有：為實(shí)數(shù)，在形式上有：itnnsinsin212/12)sin1(costt1/22212sin1inini 38課資教育1.7 全反射全反射1.7.1 全反射時(shí)反射波的相位變化全反射時(shí)反射波的相位變化將折射角由實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域后，全反射時(shí)的菲涅耳將折

19、射角由實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域后，全反射時(shí)的菲涅耳系數(shù)一般也是復(fù)數(shù)，其輻角就是相應(yīng)的相位變化：系數(shù)一般也是復(fù)數(shù)，其輻角就是相應(yīng)的相位變化：212 arctancossinn 122 arctancospinn利用利用s分量和分量和p分量的相位突變的差異性，可以利用線分量的相位突變的差異性，可以利用線偏振光來(lái)產(chǎn)生圓偏振光或者橢圓偏振光。偏振光來(lái)產(chǎn)生圓偏振光或者橢圓偏振光。39課資教育1.7.2 隱失波隱失波全反射時(shí)，反射率為全反射時(shí)，反射率為100，透射光強(qiáng)為，透射光強(qiáng)為0，第二種媒質(zhì)中似，第二種媒質(zhì)中似乎不應(yīng)該有光場(chǎng)。乎不應(yīng)該有光場(chǎng)。更深入地研究表明：更深入地研究表明：在全反射時(shí)，光波場(chǎng)將透入到第二種介在全反射時(shí)，光波場(chǎng)將透入到第二種介質(zhì)很薄的一層內(nèi)（約為光波波長(zhǎng)），并沿著界面?zhèn)鞑ヒ欢尉噘|(zhì)很薄的一層內(nèi)（約為光波波長(zhǎng)），并沿著界面?zhèn)鞑ヒ欢尉嚯x，再返回第一種介質(zhì)。這種波叫做隱失波或者倏逝波。離，再返回第一種介質(zhì)。這種波叫做隱失波或者倏逝波?？赡苡行┩瑢W(xué)也注意到了，在全反射時(shí)，可能有些同學(xué)也注意到了，在全反射時(shí)，透射系數(shù)透射系數(shù)并不為零。并不為零。設(shè)透射波的波函數(shù)為（設(shè)透射波的波函數(shù)為（坐標(biāo)系坐標(biāo)系）：）：exp ()ttteai krtkzjyixrkkikktz