高中數(shù)學(xué)難點解析教案40探索性問題

1、高中數(shù)學(xué)難點解析高中數(shù)學(xué)難點解析教案40 探索性問題高考中的探索性問題主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點，將數(shù)學(xué)知識有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運用所學(xué)知識和方法解決問題.難點磁場1.（）已知三個向量a、b、c，其中每兩個之間的夾角為120°，若a=3,b=2,c=1，則a用b、c表示為 .2.（）假設(shè)每一架飛機(jī)引擎在飛行中故障率為1p，且各引擎是否有故障是獨立的，如有至少50%的引擎能正常運行，飛機(jī)就可成功飛行，則對于多大的p而言，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更為安全？案例探究例1已知函數(shù)(a,cR,a0,b是自

2、然數(shù)）是奇函數(shù)，f(x)有最大值，且f(1).（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）是否存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，并且使得P、Q兩點關(guān)于點（1，0）對稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由.命題意圖：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最值問題、直線方程及綜合分析問題的能力，屬級題目.知識依托：函數(shù)的奇偶性、重要不等式求最值、方程與不等式的解法、對稱問題.錯解分析：不能把a(bǔ)與b間的等量關(guān)系與不等關(guān)系聯(lián)立求b；忽視b為自然數(shù)而導(dǎo)致求不出b的具體值；P、Q兩點的坐標(biāo)關(guān)系列不出解.技巧與方法：充分利用題設(shè)條件是解題關(guān)鍵.本題是存在型探索題目，注意在假設(shè)存在的條件下推理創(chuàng)新，若

3、由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定的結(jié)論，并加以論證.解：（1）f(x)是奇函數(shù)f(x)=f(x)，即bx+c=bxcc=0f(x)=由a0，b是自然數(shù)得當(dāng)x0時，f(x)0，當(dāng)x0時，f(x)0f(x)的最大值在x0時取得.x0時，1 / 10當(dāng)且僅當(dāng)即時，f(x)有最大值=1,a=b2 又f(1)，,5b2a+2 把代入得2b25b+20解得b2又bN,b=1,a=1,f(x)=（2）設(shè)存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，且P、Q關(guān)于點（1，0）對稱，P(x0,y0)則Q（2x0,y0)，,消去y0，得x022x01=0解之，得x0=1±,P點坐標(biāo)為()或()進(jìn)而

4、相應(yīng)Q點坐標(biāo)為Q（）或Q().過P、Q的直線l的方程：x4y1=0即為所求.例2如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為，A、B為直線a上兩定點，且AB=2p，MN是在直線b上滑動的長度為2p的線段.（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求AMN的外心C的軌跡E；（2）接上問，當(dāng)AMN的外心C在E上什么位置時，d+BC最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直線c的距離）.命題意圖：本題考查軌跡方程的求法、拋物線的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想及分析、探索問題、綜合解題的能力.屬級題目.知識依托：求曲線的方程、拋物線及其性質(zhì)、直線的方程.錯解分析：建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是解決本

5、題的關(guān)鍵，如何建系是難點，第二問中確定C點位置需要一番分析.技巧與方法：本題主要運用拋物線的性質(zhì)，尋求點C所在位置，然后加以論證和計算，得出正確結(jié)論，是條件探索型題目.解：（1）以直線b為x軸，以過A點且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)AMN的外心為C(x,y)，則有A(0,p)、M（xp,0)，N(x+p,0)，由題意，有CA=CM,化簡，得x2=2py它是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線.（2）由（1）得，直線C恰為軌跡E的準(zhǔn)線.由拋物線的定義知d=CF，其中F（0,）是拋物線的焦點.d+BC=CF+BC由兩點間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點即為所求的點直線BF

6、的方程為聯(lián)立方程組得.即C點坐標(biāo)為().此時d+BC的最小值為BF=.錦囊妙計如果把一個數(shù)學(xué)問題看作是由條件、依據(jù)、方法和結(jié)論四個要素組成的一個系統(tǒng)，那么把這四個要素中有兩個是未知的數(shù)學(xué)問題稱之為探索性問題.條件不完備和結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征.解決探索性問題，對觀察、聯(lián)想、類比、猜測、抽象、概括諸方面有較高要求，高考題中一般對這類問題有如下方法：（1）直接求解；（2）觀察猜測證明；（3）賦值推斷；（4）數(shù)形結(jié)合；（5）聯(lián)想類比；（6）特殊一般特殊.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.（）已知直線l平面，直線m平面，有下面四個命題，其中正確命題是( )lm lm lm lmA.與 B.與 C.與

7、 D.與2.（）某郵局只有0.60元，0.80元，1.10元的三種郵票.現(xiàn)有郵資為7.50元的郵件一件，為使粘貼郵票的張數(shù)最少，且資費恰為7.50元，則最少要購買郵票( )A.7張 B.8張 C.9張 D.10張二、填空題3.()觀察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°·cos45°=，寫出一個與以上兩式規(guī)律相同的一個等式 .三、解答題4.（）在四棱錐PABCD中，側(cè)棱PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，問底面的邊BC上是否存在點E.（

8、1）使PED=90°；（2）使PED為銳角.證明你的結(jié)論.5.（）已知非零復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1=a,z2=b,z1+z2=c（a、b、c均大于零），問是否根據(jù)上述條件求出？請說明理由.6.（）是否存在都大于2的一對實數(shù)a、b(ab)使得ab, ,ab,a+b可以按照某一次序排成一個等比數(shù)列，若存在，求出a、b的值，若不存在，說明理由.7.（）直線l過拋物線y2=2px(p0）的焦點且與拋物線有兩個交點，對于拋物線上另外兩點A、B直線l能否平分線段AB？試證明你的結(jié)論.8.（）三個元件T1、T2、T3正常工作的概率分別為0.7、0.8、0.9，將它們的某兩個并聯(lián)再和第三個串聯(lián)接入電路

9、，甲、乙、丙所示，問哪一種接法使電路不發(fā)生故障的概率最大？參 考 答 案難點磁場1.解析：如圖a與b，c的夾角為60°,且|a|=|a|=3.由平行四邊形關(guān)系可得a=3c+b,a=3cb.答案：a=3cb2.解析：飛機(jī)成功飛行的概率分別為：4引擎飛機(jī)為：2引擎飛機(jī)為.要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全，則有：6P2（1P）2+4P2（1P）+P42P(1P)+P2,解得P.即當(dāng)引擎不出故障的概率不小于時，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全.殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：l且l,mlm.且ll,但不能推出lm.lm,lm,由m.lm,不能推出.答案：B2.解析：選1.1元5張，0.6元2張，0.8元1

10、張.故8張.答案：B二、3.解析：由50°20°=(45°15°)=30°可得sin2+cos2(+30°)+sincos(+30°)=.答案：sin2+cos2(+30°)+sincos(+30°)=三、4.解：(1)當(dāng)ABAD時，邊BC上存在點E，使PED=90°當(dāng)AB>AD時，使PED=90°的點E不存在.（只須以AD為直徑作圓看該圓是否與BC邊有無交點）（證略）（2）邊BC上總存在一點，使PED為銳角，點B就是其中一點.連接BD，作AFBD，垂足為F，連PF，PA面ABC

11、D，PFBD，又ABD為直角三角形，F(xiàn)點在BD上，PBF是銳角.同理，點C也是其中一點.5.解：|z1+z2|2=(z1+z2)(+)=|z1|2+|z2|2+(z1+z2)c2=a2+b2+(z1+z2)即：z1+z2=c2a2b2z10,z20，z1+·z2= =|z2|2()+|z1|2()即有：b2()+a2()=z1z2+z1z2b2()+a2()=c2a2b2a2()2+(a2+b2c2)()+b2=0這是關(guān)于的一元二次方程，解此方程即得的值.6.解：a>b,a>2,b>2,ab,ab,a+b均為正數(shù)，且有ab>a+b>,ab>a+b&

12、gt;ab.假設(shè)存在一對實數(shù)a,b使ab,a+b,ab按某一次序排成一個等比數(shù)列，則此數(shù)列必是單調(diào)數(shù)列.不妨設(shè)該數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列，則存在的等比數(shù)列只能有兩種情形，即ab,a+b,ab,或ab,a+b,ab由（a+b）2ab·所以不可能是等比數(shù)列，若為等比數(shù)列，則有：經(jīng)檢驗知這是使ab,a+b,ab,成等比數(shù)列的惟一的一組值.因此當(dāng)a=7+,b=時，ab,a+b,ab,成等比數(shù)列.7.解：如果直線l垂直平分線段AB，連AF、BF，F(xiàn)（，0）l.|FA|=|FB|,設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),顯然x1>0,x2>0,y1y2,于是有（x1）2+y12=(x2)2+y

13、22,整理得：（x1+x2p)(x1x2)=y22y12=2p(x1x2).顯然x1x2(否則ABx軸，l與x軸重合，與題設(shè)矛盾）得：x1+x2p=2p即x1+x2=p<0,這與x1+x2>0矛盾，故直線l不能垂直平分線段AB.8.解：設(shè)元件T1、T2、T3能正常工作的事件為A1、A2、A3，電路不發(fā)生故障的事件為A，則P（A1）=0.7，P（A2）=0.8，P（A3）=0.9.（1）按圖甲的接法求P（A）：A=（A1+A2）·A3，由A1+A2與A3相互獨立，則P（A）=P（A1+A2）·P（A3）又P（A1+A2）=1P（）=1P（·）由A1與A2

14、相互獨立知與相互獨立，得：P（·）=P（）·P（）=1P（A1）·1P（A2）=（10.7）×(10.8)=0.06，P(A1+A2)=0.1P(·)=10.06=0.94，P(A)=0.94×0.9=0.846.(2)按圖乙的接法求P（A）：A=（A1+A3）·A2且A1+A3與A2相互獨立，則P（A）=P（A1+A3）·P（A2），用另一種算法求P（A1+A3）.A1與A3彼此不互斥，根據(jù)容斥原理P（A1+A3）=P（A1）+P（A3）P（A1A3），A1與A3相互獨立，則P（A1·A3）=P（A1）·P（A3）=0.7×0.9=0.63,P(A1+A3)=0.7+0.90.63=0.97.P(A)=P(A1+A3)·P(A2)=0.97×0.8=0.776.(3)按圖丙的接法求P（A），用第三種算法.A=（A2+A3）A1=A2A1+A3A1,A2A1與A3A1彼此不互斥，據(jù)容斥原理，則P（A）=P（A1A2）+P（A1A3）P（A1A2A3），又由A1、A2、A3相互獨立，得P（A1·A2）=P（A1）P（A2）=0.8×0.7=0.56,P(A3A1)=P(A