楊翔：直線與雙曲線的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)

1、直線與雙曲線的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)廣西武鳴縣武鳴高中 數(shù)學(xué)組 楊翔教學(xué)設(shè)計(jì)的基本理念根據(jù)誘思探究學(xué)科教學(xué)論，改變教師的“滿堂教”為學(xué)生的“滿堂學(xué)”，讓“教堂”變 為“學(xué)堂”。在本節(jié)課教學(xué)中充分安排回憶、嘗試、討論、發(fā)言、實(shí)物演示，讓學(xué)生參與到 數(shù)學(xué)知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)過程中去，體驗(yàn)知識(shí)的形成過程。本著這個(gè)原則，結(jié)合具體的教學(xué) 內(nèi)容，本節(jié)教學(xué)采用誘思探究式的教學(xué)方法。理論探究采用老師創(chuàng)設(shè)問題情境，學(xué)生自主 探究、分組討論的方法；反饋練習(xí)采用學(xué)生獨(dú)立思考，教師講評(píng)的方法。另外，多媒體手 段的引入能直觀地加深印象，實(shí)物投影儀給了交流的平臺(tái)，提高了教學(xué)效益。一、學(xué)情分析學(xué)生個(gè)性活潑，積極性高，思維逐漸山形象思

2、維向抽象思維轉(zhuǎn)化，但形象思維仍占主 導(dǎo)地位，同時(shí)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和分類討論、歸納推理等能力仍有待提高。直線與雙曲線 的位置關(guān)系是在已經(jīng)對(duì)直線與橢圓的位置關(guān)系有了初步的認(rèn)識(shí)和了解的基礎(chǔ)上而進(jìn)行的， 但不少學(xué)生考慮問題往往不夠全面，因此在創(chuàng)設(shè)問題情境以后，應(yīng)讓學(xué)生充分思考、討論, 而不少學(xué)生受傳統(tǒng)教學(xué)的影響，習(xí)慣于聽老師的分析，自己不主動(dòng)探索，學(xué)習(xí)比較被動(dòng)， 往往老師分析的頭頭是道，學(xué)生也頻頻點(diǎn)頭，但時(shí)間一長(zhǎng)，就都忘了。應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的 積極性，讓學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，貫穿“體驗(yàn)為紅線，思維為主攻”，以誘達(dá)思、誘思交融, 自主、探究、合作得出結(jié)論，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。二、教

3、材分析1. 教材背景新教學(xué)大綱對(duì)“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”這部分教材的要求是：掌握其簡(jiǎn)單應(yīng)用。 主要考查：直線與圓錐曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，相交時(shí)的弦長(zhǎng)，弦中點(diǎn)或相關(guān)軌跡問題，三 角形面積問題，存在性問題，與向量綜合等問題，山于本部分內(nèi)容一直是高考的熱點(diǎn)，這 類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)，所以應(yīng)給以足夠的重視，而用坐標(biāo) 法研究?jī)汉螁栴}，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)很大的課題，問題的大小、深淺差別很大。為此，從解 析兒何的本質(zhì)出發(fā)，用代數(shù)的方法來(lái)研究，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想，乂體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的 數(shù)學(xué)思想，是一節(jié)很重要但乂有一定深度的課。2. 本課的地位和作用本節(jié)課主要講雙曲線的兒何性質(zhì)的綜合應(yīng)用

4、，是在學(xué)生學(xué)習(xí)過橢圓兒何性質(zhì)的綜合應(yīng) 用的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。通過直線與雙曲線位置關(guān)系的討論，可使學(xué)生對(duì)山方程討論曲線圖象 性質(zhì)（即山數(shù)到形）的思想方法有更深刻的認(rèn)識(shí)。因此這節(jié)課是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué) 思想和方法一一研究?jī)汉蔚幕舅枷牒头椒ㄒ约案爬?、歸納能力和邏輯思維能力的重要內(nèi) 容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神能力都有重要的意義。三、重難點(diǎn)分析根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)及對(duì)教材的分析，確定本節(jié)課重難點(diǎn)如下：重點(diǎn)：直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法難點(diǎn)：對(duì)于直線方程與雙曲線方程組成方程組消元后的方程性質(zhì)，學(xué)生容易忽略對(duì)方 程性質(zhì)的討論及分類討論后與圖象結(jié)合分析的歸納總結(jié)。因此，弄清楚直線方程與雙曲線 方程組成方程

5、組消元后的方程性質(zhì)的討論及及分類討論后與圖象結(jié)合分析的歸納總結(jié)是本 節(jié)的難點(diǎn)。四、目標(biāo)分析1. 知識(shí)與技能使學(xué)生掌握直線與雙曲線的位置關(guān)系及其判定。2. 能力發(fā)展通過對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系的研究，通過對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系的研究，培 養(yǎng)學(xué)主綜合運(yùn)用直線、雙曲線的各方面知識(shí)的能力。3. 德育發(fā)展通過對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系的研究，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力；培養(yǎng) 學(xué)生在方程中的方程思想、數(shù)學(xué)結(jié)合思想、分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。使學(xué)主體驗(yàn)數(shù) 字美與圖形美的和諧統(tǒng)一；培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)研究態(tài)度；培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀 占O八八°五、教法與學(xué)法根據(jù)對(duì)教材、重難點(diǎn)、口標(biāo)及學(xué)生情

6、況的分析，確定以下教法、學(xué)法：教法：誘思探究式教學(xué)法：學(xué)法：根據(jù)具體內(nèi)容進(jìn)行學(xué)法引導(dǎo)。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)引入，創(chuàng)設(shè)問題倩境前面我們學(xué)習(xí)了直線與橢圓的位置關(guān)系，那么請(qǐng)同學(xué)們回答： 直線與橢圓的位置關(guān)系有兒種？想一想如何通過圖像來(lái)表示？它的理論依據(jù)是什么？（簡(jiǎn)要實(shí)錄：由于剛學(xué)過大家很齊聲的回答三種：相離、相交、相切。）請(qǐng)一位同學(xué)板演草圖，雖不規(guī)范但能反映出位置關(guān)系。第三問是理論知識(shí)，再請(qǐng)一同學(xué)回答應(yīng)為：聯(lián)立方程組，得到一元二次方程通過判別 式（或解的個(gè)數(shù)）來(lái)說明。當(dāng)判別式大于零（或兩個(gè)不等的根），相交；當(dāng)判別式等于零（或 兩個(gè)等根），相切；當(dāng)判別式小于零（或無(wú)根），相離?；卮鸬谋容^完整。設(shè)

7、計(jì)意圖:通過回憶、總結(jié)加強(qiáng)對(duì)直線與橢圓位置關(guān)系的感性和理性認(rèn)知，并為學(xué)習(xí)直 線與雙曲線的位置關(guān)系這節(jié)課作下鋪墊。（二）探索研究,體驗(yàn)感悟問題一：例1、已知直線y = kx-與雙曲線4x2-y2 =1,當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，直線與雙曲線（1）沒有公共點(diǎn)？（簡(jiǎn)要實(shí)錄：同學(xué)們開始先作圖，由于有參數(shù)因此從動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)結(jié)合表達(dá)式解題，學(xué)生在 結(jié)合橢圓的有關(guān)知識(shí)解答。再分組討論，老師邊巡視，邊指導(dǎo)。最后把兩三組學(xué)生的作品 用實(shí)物投影機(jī)展示，并加以點(diǎn)評(píng)。）問題二：已知直線y = kx-與雙曲線4x2-y2=l,當(dāng)實(shí)數(shù)£為何值時(shí)，直線與雙曲線（2）有兩個(gè)公共點(diǎn)？（簡(jiǎn)要實(shí)錄：同學(xué)們分組討論，山于在上面的基礎(chǔ)

8、上解決此題，不同的地方就是交點(diǎn)問題, 開始討論，氣氛比較熱烈，老師巡回指導(dǎo)，對(duì)于程度較好的提岀結(jié)合圖象理解，最后把兩 組學(xué)生的作品用實(shí)物投影機(jī)展示，并加以點(diǎn)評(píng)，同學(xué)們有了清晰的認(rèn)識(shí)。）問題三：已知直線y = kx-與雙曲線4x2-y2=l,當(dāng)實(shí)數(shù)&為何值時(shí)，直線與雙曲線（3） 有一個(gè)公共點(diǎn)？求直線方程并說明它們的位置關(guān)系。（簡(jiǎn)要實(shí)錄：?jiǎn)栴}層層深入，讓同學(xué)們體會(huì)知識(shí)的聯(lián)系和區(qū)別。同學(xué)們開始討論探索，由 于此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，還有分類討論的數(shù)學(xué)思想，做起來(lái)有一定的難度，老師參與到 討論不積極的小組中，調(diào)動(dòng)他們的積極性，讓他們參與到討論中來(lái)，最后將兩三個(gè)組的作 品進(jìn)行實(shí)物投影，查漏補(bǔ)缺，并

9、加以點(diǎn)評(píng)。）設(shè)計(jì)意圖:三個(gè)題中前兩個(gè)類似直線與橢圓的位置關(guān)系，但問題三既要考慮直線是否存在，乂要對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)加以討論。而且位置關(guān)系不同于前面的情況，比較特殊。為此通過多媒體演示其位置關(guān)系，給以直觀的感受，從而使抽象問題直觀化，幫助其理解。(三) 歸納總結(jié)，行成定論對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系小結(jié)一下？(簡(jiǎn)要實(shí)錄：讓學(xué)生分組討論，進(jìn)行小結(jié)，比賽看哪個(gè)組總結(jié)的最好。學(xué)生有了親身的體驗(yàn)，學(xué)生們非常積極，舉手回答：學(xué)生1:在聯(lián)立方程組變?yōu)橐辉姆匠毯螅獙?duì)二次項(xiàng)系數(shù)加以討論。學(xué)生2：對(duì)于有關(guān)直線方程的設(shè)的問題，注意對(duì)直線是否存在要討論。學(xué)生3：既要聯(lián)立方程組，乂要考慮直線設(shè)法及二次項(xiàng)系數(shù)是否為零。學(xué)生

10、4：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的情況有兩種：一種是直線與雙曲線的漸近線平行;另一種是直線與雙曲線相切。學(xué)生5：與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)直線有4條。等等。)在學(xué)生積極踴躍的表達(dá)自己的成果后，教師做及時(shí)的肯定及指導(dǎo)，歸納知識(shí)點(diǎn)如下：(多媒體演示)2 2設(shè)直線l:y = /oc + m與雙曲線二一二=1 0小 0)聯(lián)立解得cr(b若b2-a2k2= 0即k = ±-9直線與雙曲線漸近線平行或重合。a方程為一元一次方程：-2a2mkx- a2m2 - a2b2 = 0(I) 當(dāng)m=o時(shí)，方程無(wú)解。直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。此時(shí)直線為y = ±匕八 直線和漸近線重合。位a置關(guān)系：相離(II) 當(dāng)

11、也H0時(shí)，方程有唯一解。直線與雙曲線有唯一公共點(diǎn)。此時(shí)直線為y = ±-x + m9直a線與漸近線平行。位置關(guān)系：相交。 設(shè)計(jì)意圖:將題L1山直觀感受向抽象的方程轉(zhuǎn)換是學(xué)生的一個(gè)難題，在經(jīng)過比較熱烈的 討論及分析過后留一定的時(shí)間和空間讓學(xué)生獨(dú)立完成解答過程，以培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)能力、歸納 總結(jié)能力。 -a2k2)x2 -2a2mkx-crnr -a2b2 =0®直線與雙曲線相切,（2）有兩個(gè)公共點(diǎn)：土萬(wàn)A>0土 +二沒有公共點(diǎn)：直線與雙曲線相離"a0注意：數(shù)形結(jié)合，前后呼應(yīng)。設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生的表達(dá)都很好，教師通過多媒體演示小結(jié)。這使學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、 方程轉(zhuǎn)化思想

12、等到提高，同時(shí)加強(qiáng)了學(xué)生的分析判斷.歸納總結(jié)能力。（四）解決問題此過程留給學(xué)生獨(dú)立的空間將解題的框架寫岀來(lái)，老師巡回查看，并將學(xué)生的解答過 程進(jìn)行投影，讓學(xué)生自查自糾，查漏補(bǔ)缺，老師做及時(shí)肯定及點(diǎn)評(píng)。學(xué)生解題展示：°厶"軋斜獨(dú)峻購(gòu)世、加町（ZE©上叫6M如*和松統(tǒng)戒妨2=0 a為涵U衣妬和巾熱 綸pt仍！Hd 二念A(yù) 粘二.貳跑跖哎臣心/破軌？Q換施月傀舶他除、（W叭如1刪4闔奸A軌郭WW. *ABOH £11 叩腫（側(cè) A AL：血和州“0W典尸k-IM（鹼4八交丨7耶;1（勒XM4妁血冋聘Mi兀回|的啪卅.陽(yáng)恆知該予呦恆F如T（五）遷移運(yùn)用（多媒體演

13、示）1.若直線y =滋-1與雙曲線x2-r =1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則k的值為（簡(jiǎn)要實(shí)錄：有了前面的研究，同學(xué)們積極性很高，能順利地獨(dú)立解決問題。） 教師及時(shí)總結(jié)：與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種：一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線；另一種是與雙曲線相切的宜線也有兩條。設(shè)計(jì)意圖:通過該練習(xí)讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)一個(gè)公共點(diǎn)情況的認(rèn)識(shí)。（六）知識(shí)的內(nèi)化.延伸例1（變式）、直線y =心-1與雙曲線4x2-y2 =1相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)&為何值時(shí)，點(diǎn)A、B位于雙曲線的同一支上？當(dāng)£為何值時(shí)，點(diǎn)A、B位于雙曲線的兩支上？（簡(jiǎn)要實(shí)錄：同學(xué)們分組討論，山于在上面的基礎(chǔ)上解決此題，不同的地

14、方就是交點(diǎn)位置 的問題，開始討論，氣氛比較熱烈，老師巡回指導(dǎo)，對(duì)于程度較好的提出結(jié)合圖象理解， 最后把兩組學(xué)生的作品用實(shí)物投影機(jī)展示，并加以點(diǎn)評(píng)，同學(xué)們有了清晰的認(rèn)識(shí)。）提示學(xué)生：畫圖像觀察并思考點(diǎn)A、B位于雙曲線的同一支上與位于雙曲線的兩支上的 有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？學(xué)生經(jīng)過小組討論后歸納總結(jié)分析:有兩個(gè)公共點(diǎn)：2aA>0在左支在同一支. bk豐土一a >0X x2 > 0k+-aA>0X) x2 > 0x + x2 < 0分別在兩支在右支kaA>0X) x2 >0%! + X2 > 0, h"± aA>0

15、63; x2 < 0待學(xué)生小組展示后學(xué)生自行解題，解題展示:（«X）My=fa-i-/ = IbWfi.肖斤為wovn p.nwuiefl（t.F=fa-l»ia«S4x,-/ = IWTA.BMA斗諭«M. AA.lftWhAV'4 、饑20XiXi >p乍聯(lián)1麗程帥-F）f+2b-2P. （P竽尊耐咳匕勺.AB4衰刃刁嚴(yán)用缺卜（專旳唸"> Ze （鄰廠2）u（2環(huán)）冷 F*d佛人注枳姍限匕宥爲(wèi)7。與lx心0 爐心心學(xué).-2押厲解片| <P屈淚0就貓 你丹協(xié)松0:屮交松I帥Tf （怦恢刃>1?刪淞Q0環(huán)林

16、2M.腦竄魁棚訓(xùn)"幻力心力釘山m蝴8/網(wǎng)仲，” 弘臉痂刪月&.殳肚沼31如小護(hù)禰譏，-加卜2刀.設(shè)計(jì)意圖h通過變式教學(xué)，達(dá)到學(xué)生對(duì)知識(shí)的內(nèi)化與延伸。（七）課堂實(shí)戰(zhàn)1已知雙曲線3x2-y2=3,直線/過其右焦點(diǎn)F且傾斜角為45° ,與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，試問A, B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上？（簡(jiǎn)要實(shí)錄：有了前面的研究，同學(xué)們積極性很高，能順利地獨(dú)立解決問題。）學(xué)生解題展示:以（燈沁少.- xMMt）傕以瞰儀 創(chuàng)眸- kA.洛褲Kl rr 17 p* 5 rm mw »*> 亠 , 勺：A、P吐齊似奴陽(yáng)砂衣羊等二I訟5加砂勺厶址2宀心*廠: FN

17、ao）klz 二 3刃矽*7 二 I£疙滬乙1刃YT于亠2柑牛仔o Ml"二多二亠 0 為丄JL v oIA刃訂喬疋而扁石芮 品杠7遷牛-林幻 二二匚設(shè)計(jì)意圖:通過知識(shí)的逆用，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶。（八）小結(jié)反思，系統(tǒng)所學(xué)內(nèi)容1. 從代數(shù)角度一般如何處理直線與雙曲線的位置關(guān)系問題？應(yīng)注意哪兒點(diǎn)？把直線方程代入雙曲線方程F得到一元一次方程克線與衣曲線的漸近線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）得到一彳二次方程計(jì)算判別式A>0A=0 A <0相交相切相'離2. 這節(jié)課用到哪些數(shù)學(xué)思想方法?（簡(jiǎn)要實(shí)錄：學(xué)生分組討論，互相補(bǔ)充很快得出結(jié)論，摘錄如下: 學(xué)

18、生1：聯(lián)立方程組，通過根的情況來(lái)確定。注意直線的斜率及二次項(xiàng)系數(shù)。學(xué)生2：分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想。這樣的話對(duì)于數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用有了深刻的理解。）設(shè)計(jì)意圖:用結(jié)構(gòu)圖建構(gòu)學(xué)習(xí)內(nèi)容，便于反思、系統(tǒng)化學(xué)習(xí)內(nèi)容。（九）課后作業(yè)必做題：1 已知直線y =1）,雙曲線試討論實(shí)數(shù)&的取值范亂（1）直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)。（2）直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。（3）直線與雙曲線無(wú)個(gè)公共點(diǎn)。選做題：1.若直線/： y = kx+2與雙曲線-/=1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4和B,且OAO3>2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范臥2.直線與拋物線的位置關(guān)系如何呢？設(shè)計(jì)意圖:學(xué)以致用，鞏固提高；使不同層次的學(xué)生各有收獲。（十）教學(xué)反思本節(jié)課在執(zhí)教的過程中學(xué)生的參與性較強(qiáng)，能夠充分發(fā)揮學(xué)生的主體性；學(xué)生掌握 知識(shí)的過程也是學(xué)生探索學(xué)習(xí)、思考研究、提高能力的過程；打破了傳統(tǒng)的“講授”， 變?yōu)橐龑?dǎo)、啟發(fā)、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、深化、提高、遷移。變學(xué)為思、變學(xué)為悟，并鍛煉了學(xué) 生