復(fù)變函數(shù)第一章

1、廈門理工學(xué)院數(shù)理系陳 卿s5-210;周二、五下午積積 分分 變變 換換 與與 復(fù)復(fù) 變變 函函 數(shù)數(shù)積積 分分 變變 換換fourier 變變 換換laplace 變變 換換法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家傅里葉法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家傅里葉法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯考試方法：平時(shí)成績(jī)*30%+期末成績(jī)*70%平時(shí)成績(jī)：課堂表現(xiàn)+作業(yè)+考勤第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算2 復(fù)數(shù)的幾何表示3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根4 區(qū)域5 復(fù)變函數(shù)6 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性41.2 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等re ,imxzyz復(fù)數(shù) z 的實(shí)部實(shí)部和虛部虛部，記作的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)

2、，其中 x 和 y 分別稱為xy、r r,zxyi或zxiy1.1 定義 形如1、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的概念1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)2、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算（和、差、積、商）、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算（和、差、積、商）1.3 共軛復(fù)數(shù)561、 復(fù)平面復(fù)平面oxyxyz將( , )x y稱為復(fù)數(shù) z的實(shí)數(shù)對(duì)形式實(shí)數(shù)對(duì)形式. 稱 x 軸為實(shí)軸實(shí)軸, y 軸為虛軸虛軸. 如上圖所示, 表示復(fù)數(shù) z 的平面稱為復(fù)平面復(fù)平面或 z 平面平面.( , )zxiyx y2 復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示72、 復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模與輻角oxyxyzr向量oz的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù) z 的模?；蚪^對(duì)值絕對(duì)值，記作 r 或 |z| ，則有三角不等式1

3、212zzzzzxiyoz220,00.rzxyzz1212zzzz實(shí)軸正向到非零向量oz的角由tanyx確定，稱為復(fù)數(shù) z 的輻角輻角，記作arg . z注注 一非零復(fù)數(shù) z 有無(wú)窮多個(gè)輻角.oxyxyzr以表示argz中的一個(gè)特定值，若其滿足 0; x 0; y 0 （3）同心圓環(huán)：（5）帶形區(qū)域：a x b; c y d0rzzr連續(xù)曲線連續(xù)曲線 若實(shí)函數(shù) x(t) 和 y(t) 在閉區(qū)間 , 上連續(xù)，則方程組( ),()( ),xx ttyy t 或復(fù)數(shù)方程( )( )( )()zz tx tiy tt 由有限條光滑曲線銜接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線逐段光滑曲線，簡(jiǎn)單折線簡(jiǎn)單折線就

4、是逐段光滑曲線. 代表一條平面曲線，稱為 z 平面上的連續(xù)曲線連續(xù)曲線.進(jìn)一步地，若 連續(xù)且不全為零，則稱之為光滑曲線光滑曲線.( )( )tx ty t 在上，及存在、2324和( )z( )z分別稱為 c 的起點(diǎn)起點(diǎn)和終點(diǎn)終點(diǎn).對(duì)滿足121212,tttttt 的及 ， 當(dāng)121( ) = ( )( )z tz tz tc成立時(shí)， 點(diǎn)稱為的重點(diǎn)重點(diǎn). 無(wú)重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱為簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線或 jordan 曲線曲線；( ) = ( )zz的簡(jiǎn)單曲線稱為簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線.jordan 曲線曲線 設(shè)曲線 c 的參數(shù)方程為= ( ),()zz tt 簡(jiǎn)單,不閉不簡(jiǎn)單,閉不簡(jiǎn)單,不閉簡(jiǎn)單,閉(

5、) = ( )zz( )z( )z( ) = ( )zz( )z( )z26直觀上看，任一簡(jiǎn)單閉曲線 c 把 z 平面唯一地分成 c、i(c) 及 e(c) 三個(gè)點(diǎn)集，它們具有如下性質(zhì)：（1）彼此不交；（2）i(c) 是一個(gè)有界區(qū)域（稱為 c 的內(nèi)部?jī)?nèi)部）；coxyi(c)e(c)（3）e(c) 是一個(gè)無(wú)界區(qū)域（稱為 c 的外部外部）.27單連通區(qū)域單連通區(qū)域 設(shè) z 平面上的區(qū)域 d， 若在 d 內(nèi)無(wú)論怎樣畫簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部仍全含于 d，則稱 d 為單連通區(qū)域單連通區(qū)域. 非單連通的區(qū)域稱為多多連通區(qū)域連通區(qū)域.5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1、 復(fù)變函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 設(shè)復(fù)數(shù)集 g，若對(duì)

6、g 內(nèi)每一個(gè)復(fù)數(shù)z，有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù) w 與之對(duì)應(yīng)，則稱復(fù)變數(shù) w 是復(fù)變數(shù) z 的復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)，記作( )().wf zzg單值函數(shù)單值函數(shù) 對(duì)每一個(gè)復(fù)數(shù)z，有唯一的 w 與之對(duì)應(yīng)稱 g 為函數(shù) w=f(z) 的定義域定義域. 對(duì)于 g，w 值的全體所成集 g* 稱為函數(shù) w=f(z) 的值域值域.多值函數(shù)多值函數(shù) 若每一個(gè)復(fù)數(shù)z，有兩個(gè)或兩個(gè)以上的 w 與之對(duì)應(yīng)28,zxiy wuiv( )( , )( , ),wf zu x yiv x y令則有其中 u(x, y)，v(x, y) 是二元實(shí)函數(shù).2wz例注 今后如無(wú)特殊聲明，函數(shù)都指單值函數(shù).2930( )( , )( , )wf

7、zx yu vzg平面*gw平面稱函數(shù) w=f(z) 為 z 平面上的點(diǎn)集 g 到 w 平面上的點(diǎn)集 g*的一個(gè)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)（或映射映射或變換變換）.g 中的點(diǎn) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) w=f(z) 稱為像點(diǎn)像點(diǎn)，同時(shí)點(diǎn) z 稱為點(diǎn) w=f(z) 的原像原像.oxyouvzw原像像點(diǎn)31例如，函數(shù) 所構(gòu)成的映射，是一個(gè)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱映射對(duì)稱映射，把任一圖形映成關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的全同圖形。wzxyo(-4,2)ab(0,1)c(-2,1)z1z2uvoabcw1w2322wz，例 設(shè)函數(shù)試問(wèn)它將 z 平面上的下列曲線分別變成 w 平面上的何種曲線？12(0,0)zxy（）；2224.xy（ ）oxyz22ouvw

8、4433反函數(shù)反函數(shù) 假設(shè)函數(shù) w=f(z) 的定義域是 z 平面上的集合 g，值域是 w 平面上的集合 g*. 對(duì) g* 中的每一個(gè)點(diǎn) w，在 g 中有一個(gè)（或至少兩個(gè)）點(diǎn)與之相對(duì)應(yīng)，則在 g* 上確定了一個(gè)單值（或多值）函數(shù)，記作 它稱為函數(shù) w=f(z)的反函數(shù)反函數(shù)（或逆映射逆映射或逆變換逆變換）. ( ),zw1*,( )wgwf fw 注；( ) ( ),wzf zzg 若是單值函數(shù)，則一一變換一一變換 若函數(shù) w=f(z) 與它的反函數(shù)都是單值函數(shù)，則稱 f(z) 是一一一一的.( )zw341、 復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限6 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性極限極

9、限 設(shè)函數(shù) w=f(z) 定義在 的去心鄰域0z0,( )0(0) 對(duì)，使得當(dāng)( ),f za則稱 a 為 f(z) 當(dāng) z 趨向于 時(shí)的極限極限，記作0z00lim( )( ).zzf zazzf za，或當(dāng)時(shí)，00zz內(nèi). 如果有一確定的數(shù) a 存在，00zz時(shí)有注注 00lim( )zzf zzz極限與 趨于的方式無(wú)關(guān).35定理一定理一 設(shè)函數(shù) f(z)=u(x, y)+iv(x, y), 000000( , )(,)( , )(,)lim( , ),lim( , ).x yxyx yxyu x yuv x yv0000lim( )zzzxiyf za，則00auiv，定理二定理二 若0

10、0lim( )lim ( )zzzzf zag zb，則01 lim ( )( )zzf zg zab）；0lim( ) ( )zzf z g zab2）；0( )lim(0).( )zzf zabg zb3）36連續(xù)連續(xù) 若0z00lim( )()zzf zf z，2、 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性則稱 f(z) 在 處連續(xù)連續(xù). 若 f(z) 在區(qū)域 d 內(nèi)處處連續(xù)，則稱 f(z) 在 d 內(nèi)連續(xù)，或稱 f(z) 是 d 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).0( )( )hg zzwf h在點(diǎn)連續(xù)，函數(shù)定理四定理四（1）兩復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則它們的和差積商在該點(diǎn)也連續(xù)；（2）函數(shù)00() ( )hg zwg f z在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在0.z 處連續(xù)定理三定理三 函數(shù) f(z)=u(x, y)+iv(x, y