復變函數第一章

1、廈門理工學院數理系陳 卿s5-210;周二、五下午積積 分分 變變 換換 與與 復復 變變 函函 數數積積 分分 變變 換換fourier 變變 換換laplace 變變 換換法國數學家、物理學家傅里葉法國數學家、物理學家傅里葉法國數學家、天文學家拉普拉斯法國數學家、天文學家拉普拉斯考試方法：平時成績*30%+期末成績*70%平時成績：課堂表現+作業(yè)+考勤第一章第一章 復數與復變函數復數與復變函數1 復數及其代數運算2 復數的幾何表示3 復數的乘冪與方根4 區(qū)域5 復變函數6 復變函數的極限與連續(xù)性41.2 兩個復數相等re ,imxzyz復數 z 的實部實部和虛部虛部，記作的數，稱為復數復數

2、，其中 x 和 y 分別稱為xy、r r,zxyi或zxiy1.1 定義 形如1、復數的概念、復數的概念1 復數復數2、復數的代數運算（和、差、積、商）、復數的代數運算（和、差、積、商）1.3 共軛復數561、 復平面復平面oxyxyz將( , )x y稱為復數 z的實數對形式實數對形式. 稱 x 軸為實軸實軸, y 軸為虛軸虛軸. 如上圖所示, 表示復數 z 的平面稱為復平面復平面或 z 平面平面.( , )zxiyx y2 復數的幾何表示復數的幾何表示72、 復數的模與輻角復數的模與輻角oxyxyzr向量oz的長度稱為復數 z 的模模或絕對值絕對值，記作 r 或 |z| ，則有三角不等式1

3、212zzzzzxiyoz220,00.rzxyzz1212zzzz實軸正向到非零向量oz的角由tanyx確定，稱為復數 z 的輻角輻角，記作arg . z注注 一非零復數 z 有無窮多個輻角.oxyxyzr以表示argz中的一個特定值，若其滿足 0; x 0; y 0 （3）同心圓環(huán)：（5）帶形區(qū)域：a x b; c y d0rzzr連續(xù)曲線連續(xù)曲線 若實函數 x(t) 和 y(t) 在閉區(qū)間 , 上連續(xù)，則方程組( ),()( ),xx ttyy t 或復數方程( )( )( )()zz tx tiy tt 由有限條光滑曲線銜接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線逐段光滑曲線，簡單折線簡單折線就

4、是逐段光滑曲線. 代表一條平面曲線，稱為 z 平面上的連續(xù)曲線連續(xù)曲線.進一步地，若 連續(xù)且不全為零，則稱之為光滑曲線光滑曲線.( )( )tx ty t 在上，及存在、2324和( )z( )z分別稱為 c 的起點起點和終點終點.對滿足121212,tttttt 的及 ， 當121( ) = ( )( )z tz tz tc成立時， 點稱為的重點重點. 無重點的連續(xù)曲線稱為簡單曲線簡單曲線或 jordan 曲線曲線；( ) = ( )zz的簡單曲線稱為簡單閉曲線簡單閉曲線.jordan 曲線曲線 設曲線 c 的參數方程為= ( ),()zz tt 簡單,不閉不簡單,閉不簡單,不閉簡單,閉(

5、) = ( )zz( )z( )z( ) = ( )zz( )z( )z26直觀上看，任一簡單閉曲線 c 把 z 平面唯一地分成 c、i(c) 及 e(c) 三個點集，它們具有如下性質：（1）彼此不交；（2）i(c) 是一個有界區(qū)域（稱為 c 的內部內部）；coxyi(c)e(c)（3）e(c) 是一個無界區(qū)域（稱為 c 的外部外部）.27單連通區(qū)域單連通區(qū)域 設 z 平面上的區(qū)域 d， 若在 d 內無論怎樣畫簡單閉曲線，其內部仍全含于 d，則稱 d 為單連通區(qū)域單連通區(qū)域. 非單連通的區(qū)域稱為多多連通區(qū)域連通區(qū)域.5 復變函數復變函數1、 復變函數的概念復變函數復變函數 設復數集 g，若對

6、g 內每一個復數z，有一個或幾個復數 w 與之對應，則稱復變數 w 是復變數 z 的復變函數復變函數，記作( )().wf zzg單值函數單值函數 對每一個復數z，有唯一的 w 與之對應稱 g 為函數 w=f(z) 的定義域定義域. 對于 g，w 值的全體所成集 g* 稱為函數 w=f(z) 的值域值域.多值函數多值函數 若每一個復數z，有兩個或兩個以上的 w 與之對應28,zxiy wuiv( )( , )( , ),wf zu x yiv x y令則有其中 u(x, y)，v(x, y) 是二元實函數.2wz例注 今后如無特殊聲明，函數都指單值函數.2930( )( , )( , )wf

7、zx yu vzg平面*gw平面稱函數 w=f(z) 為 z 平面上的點集 g 到 w 平面上的點集 g*的一個對應對應（或映射映射或變換變換）.g 中的點 z 對應的點 w=f(z) 稱為像點像點，同時點 z 稱為點 w=f(z) 的原像原像.oxyouvzw原像像點31例如，函數 所構成的映射，是一個關于實軸的對稱映射對稱映射，把任一圖形映成關于實軸對稱的全同圖形。wzxyo(-4,2)ab(0,1)c(-2,1)z1z2uvoabcw1w2322wz，例 設函數試問它將 z 平面上的下列曲線分別變成 w 平面上的何種曲線？12(0,0)zxy（）；2224.xy（ ）oxyz22ouvw

8、4433反函數反函數 假設函數 w=f(z) 的定義域是 z 平面上的集合 g，值域是 w 平面上的集合 g*. 對 g* 中的每一個點 w，在 g 中有一個（或至少兩個）點與之相對應，則在 g* 上確定了一個單值（或多值）函數，記作 它稱為函數 w=f(z)的反函數反函數（或逆映射逆映射或逆變換逆變換）. ( ),zw1*,( )wgwf fw 注；( ) ( ),wzf zzg 若是單值函數，則一一變換一一變換 若函數 w=f(z) 與它的反函數都是單值函數，則稱 f(z) 是一一一一的.( )zw341、 復變函數的極限復變函數的極限6 復變函數的極限和連續(xù)性復變函數的極限和連續(xù)性極限極

9、限 設函數 w=f(z) 定義在 的去心鄰域0z0,( )0(0) 對，使得當( ),f za則稱 a 為 f(z) 當 z 趨向于 時的極限極限，記作0z00lim( )( ).zzf zazzf za，或當時，00zz內. 如果有一確定的數 a 存在，00zz時有注注 00lim( )zzf zzz極限與 趨于的方式無關.35定理一定理一 設函數 f(z)=u(x, y)+iv(x, y), 000000( , )(,)( , )(,)lim( , ),lim( , ).x yxyx yxyu x yuv x yv0000lim( )zzzxiyf za，則00auiv，定理二定理二 若0

10、0lim( )lim ( )zzzzf zag zb，則01 lim ( )( )zzf zg zab）；0lim( ) ( )zzf z g zab2）；0( )lim(0).( )zzf zabg zb3）36連續(xù)連續(xù) 若0z00lim( )()zzf zf z，2、 復變函數的連續(xù)性復變函數的連續(xù)性則稱 f(z) 在 處連續(xù)連續(xù). 若 f(z) 在區(qū)域 d 內處處連續(xù)，則稱 f(z) 在 d 內連續(xù)，或稱 f(z) 是 d 內的連續(xù)函數連續(xù)函數.0( )( )hg zzwf h在點連續(xù)，函數定理四定理四（1）兩復變函數在某點連續(xù)，則它們的和差積商在該點也連續(xù)；（2）函數00() ( )hg zwg f z在點連續(xù)，則復合函數在0.z 處連續(xù)定理三定理三 函數 f(z)=u(x, y)+iv(x, y