標量衍射理論

1、1第二章第二章 標量衍射理論標量衍射理論scalar diffraction theory2.1 數學公式數學公式2.2 平面屏幕衍射的平面屏幕衍射的基爾霍夫理論基爾霍夫理論2.3 平面屏幕衍射的平面屏幕衍射的瑞利瑞利索末菲理論索末菲理論2.4 平面波的角譜平面波的角譜2 2.1 數學公式數學公式一、光場的數學描述一、光場的數學描述 1、幅相矢量、幅相矢量光振動的復振幅光振動的復振幅第二章 標量衍射理論u(p) = u0 (p ) exp jj j (p )振幅振幅初位相初位相3單色光波場中某點p在t時刻的光振動 的表達式為：令) t ,p(u)p(j0tj2)p(j0)p(t2 j00e )

2、p(u)p(uee )p(uree )p(ure) t ,p(u)p(t2cos)p(ut)u(p,jjjj復振幅4第二章 2.12.1 數學公式 一、光場的數學描述2、單色、單色平面波平面波的復振幅表示的復振幅表示1)coscoscos(exp )kexp(),(00zyxjkujuzyxur平面波方向余弦平面波方向余弦)coscoscos22 -1 )coscos(expcosexp0 yxjkjkzu ),(zyxucoscos1exp22 jkz)coscos(expcoscos1exp),(220 yxjkjkzuzyxu 0a52、單色、單色平面波平面波的復振幅表示的復振幅表示2)

3、coscos(expcoscos1exp),(220 yxjkjkzuzyxu coscos1exp2200 jkzua令：)coscos(exp),(0 yxjkazyxu 2)coscos(2exp0 yxja )(exp),(vyux2jayxu0 寫成二維形式寫成二維形式第二章 2.12.1 數學公式 一、光場的數學描述6一維情況一維情況)(exp),(vyux2jayxu0 exp)(ux2jaxu0 二維情況二維情況2、單色、單色平面波平面波的復振幅表示的復振幅表示3平面波的平面波的空間頻率空間頻率 cos cos vu與與 x 方向對應方向對應與與 y 方向對應方向對應end第二

4、章 2.12.1 數學公式 一、光場的數學描述73、單色、單色球面波球面波的復振幅表示的復振幅表示exp)(jkrrupu0 + 發(fā)散球面波發(fā)散球面波 會聚球面波會聚球面波222zyxr |點源在坐標原點點源在坐標原點點源不在坐標原點點源不在坐標原點202020zzyyxxr)()()(| (x0，y0，z0)為點源坐標為點源坐標(p(x,y,z)0zyx點源點源s(rkk: 傳播矢量(p(x,y,z)會聚點會聚點s(r0zyxkend第二章 2.12.1 數學公式 一、光場的數學描述84、光場中、光場中任一平面任一平面上的復振幅表示上的復振幅表示11）單色平面波光場中某一平面的復振幅表示）單

5、色平面波光場中某一平面的復振幅表示一維情況一維情況)(exp),(vyux2jayxu exp)(ux2jaxu 二維情況二維情況其中其中)coscosexp(1 220-1zkjua 0z1zxyxy)coscosexp( 2200-1zkjua 第二章 2.12.1 數學公式 一、光場的數學描述94、光場中、光場中任一平面任一平面上的復振幅表示上的復振幅表示22）單色球面波光場中某一平面的復振幅表示）單色球面波光場中某一平面的復振幅表示z1 22yyxxz2kjjkzzuyxupu)()(exp)exp(),()(001110對給定平面對給定平面是常量是常量隨隨x, y變化的二次位相因子變

6、化的二次位相因子球面波特征位相球面波特征位相第二章 2.12.1 數學公式 一、光場的數學描述10推推 導導 過過 程程212020121202021212020121202021z)-yy)xx (zr1z)-yy)xx (z)-yy)xx (1 z)yy ()xx (z r（二項式展開二項式展開114、光場中、光場中任一平面任一平面上的復振幅表示上的復振幅表示3點源在坐標原點時點源在坐標原點時x 0 = y0 = z0 =0 )(exp)exp(),(111022yxz2kjjkzzuyxucyyxx22 )()(00等位相線方程等位相線方程會聚球面波情況會聚球面波情況 z 0 22yyx

7、xz2kjzjkzuyxu)()(|exp|)|exp(|),(0011102）單色球面波光場中某一平面的復振幅表示）單色球面波光場中某一平面的復振幅表示（續(xù)）（續(xù)）end第二章 2.12.1 數學公式 一、光場的數學描述12小 結)(2exp),(0vyuxjayxu 二二維維2exp)(0uxjaxu 一一維維p 單色平面波單色平面波p 單色球面波單色球面波exp)(jkrrupu0 二、光場中某一平面的復振幅二、光場中某一平面的復振幅一、光波的數學描述一、光波的數學描述p 單色平面波光場單色平面波光場)(2exp),(vyuxjayxu 二二維維2exp)(uxjaxu 一一維維p 單色

8、球面波光場單色球面波光場 20201110)()(2exp)exp(),(yyxxzkjjkzzuyxu 22yyxxz2kjzjkzuyxu)()(|exp|)|exp(|),(001110發(fā)散發(fā)散匯聚匯聚u(p) = u0 (p ) exp jj j (p )p 一般描述一般描述13第二章 標量衍射理論 2.12.1 數學公式二、亥姆霍茲方程二、亥姆霍茲方程 helmholtz自由空間單色波自由空間單色波 u（p，t）滿足標量波動方程）滿足標量波動方程0utc1u2222 將將u(p) =u(p)exp(j2 t)代入：代入：2222222zyx 0puk22 )()( 2k 波數波數在自

9、由空間傳播的任何單色光波的復振幅必滿足在自由空間傳播的任何單色光波的復振幅必滿足亥姆霍茲亥姆霍茲方程方程可以用不含時間變量的復振幅分布完善地描述單色光波場可以用不含時間變量的復振幅分布完善地描述單色光波場 意義：意義：其中為其中為拉普拉斯算符拉普拉斯算符2 to p19142.2 平面屏幕衍射的平面屏幕衍射的基爾霍夫理論基爾霍夫理論2.3 平面屏幕衍射的平面屏幕衍射的 瑞利瑞利索末菲理論索末菲理論152.4 平面波角譜平面波角譜第二章 標量衍射理論頻域q 利用利用 平面波平面波 的的 傳播特征傳播特征 討論討論 光的傳播光的傳播q 利用利用 平面波平面波 作為光傳播的作為光傳播的 基元函數基元

10、函數 描述描述光的光的 衍射規(guī)律衍射規(guī)律 衍射公式衍射公式導出16q 平面波角譜的概念平面波角譜的概念本節(jié)內容本節(jié)內容q 角譜在空間的傳播角譜在空間的傳播q 衍射孔徑對角譜的效應衍射孔徑對角譜的效應第二章 標量衍射理論 2.4 平面波角譜17平面波振幅平面波振幅),(1zvuaz ),(1zyxuz )(2expvyuxj dudv2.4 平面波的角譜一、一、“平面波角譜平面波角譜”概概念念設：有一列單色光波沿設：有一列單色光波沿 z 方向投射到（方向投射到（x，y，z1）平面上）平面上平面上光場平面上光場復振幅復振幅可視為可視為 無窮多個無窮多個平面波分量平面波分量 加權加權 的的 疊加疊加

11、（2-50）xyzz1平面波位相平面波位相傅里葉逆變換的數學表達式傅里葉逆變換的數學表達式18),(1zzyxu),(1zzvua是是的的 頻頻 譜譜 cos,cos vu平面波分量的平面波分量的空間頻率空間頻率dxdyyx2jzyxu1z)coscos(exp),( ),(),cos,cos(1z1zzyxuzaf f ),(1zzyxu),cos,cos(1zza 稱為稱為的的 角角 譜譜2.4 平面波的角譜19二、角譜的傳播二、角譜的傳播x0y00 xyzu0(x0,y0,0)uz(x,y,z)傅里葉傅里葉分解分解平面波平面波分量分量傳播傳播傅里葉傅里葉疊加疊加u0a0f.t.az角譜傳

12、播角譜傳播uzf.t.-12.4 2.4 平面波的角譜平面波的角譜?200000000dydxyx2j0yxu)coscos(exp),( )0,()0,cos,cos(0000yxuaf f )cos()cos()coscos(exp),cos,cos( ddyx2jzaz ),cos,cos(),(zazyxuz1z f fa zuzf.t.-1u0a0f.t.2.4 平面波的角譜數學表述數學表述21uz 滿足亥姆霍茲方程：滿足亥姆霍茲方程：0zyxukz22 ),()()cos()cos()coscos(exp),( ddyx2jzvuaz coscos)(2exp22ddjauzzz2

13、2az a0az角譜傳播角譜傳播)(exp)( 2jyx2222 計算可大大簡化計算可大大簡化2.4 平面波的角譜數學推導數學推導re : p1122結果：結果：0zvua1kzvuadzdz222z22 ),(coscos),( 解方程（解方程（2-54） ，得一基本解：，得一基本解：coscosexp),(),( 220z1jkz0vuazvua 一個特解，與一個特解，與 z 無關無關意味著角譜的振幅與距離無關意味著角譜的振幅與距離無關數學推導數學推導2.4 平面波的角譜23coscos1exp)0 ,(),(220 jkzvuazvuaz2.4 平面波的角譜物物 理理 意意 義義1 1

14、角譜在傳播過程中僅發(fā)生了位相的改變，角譜在傳播過程中僅發(fā)生了位相的改變， 而振幅不變而振幅不變 空間頻率越大的分量，位相延遲越小，空間頻率越大的分量，位相延遲越小， 頻率大的分量先到達，頻率小的分量后到達頻率大的分量先到達，頻率小的分量后到達（1）cos2+cos2 1 的分量，的分量，根號內的值小于根號內的值小于0coscosexp),(),(1kz0vuazvua220z 表示這些分量的振幅在表示這些分量的振幅在 z 方向按負指數規(guī)律迅速衰減，方向按負指數規(guī)律迅速衰減， 這些分量稱為這些分量稱為 倏逝波倏逝波實實數數shu26coscos1exp)0 ,(),(220 jkzvuazvua

15、z（2-55）傳遞函數概念傳遞函數概念改寫為：改寫為：),(),(),(vuh0vuazvua0z 其中其中coscosexp),( 221jkzvuh 傳遞函數傳遞函數 ),(vuhcoscosexp 221jkz 22coscos 1 22coscos 表征光的傳播在表征光的傳播在 頻域頻域 中的特性中的特性2.4 2.4 平面波的角譜平面波的角譜27傳遞函數的性質傳遞函數的性質1）|h（u，v）| = 1表示角譜的傳播過程表示角譜的傳播過程不影響頻譜的振幅不影響頻譜的振幅只影響頻譜的位相只影響頻譜的位相2）倏逝波倏逝波意味著意味著 頻域中頻域中：頻率大于頻率大于 1 / 的信息的信息無法

16、向無法向 z 方向傳遞方向傳遞 22coscos 1u2 + v2 21光波在自由空間傳播時，攜帶信息的能力有限光波在自由空間傳播時，攜帶信息的能力有限結論結論2.4 平面波的角譜28 cos 1關于關于 倏逝波倏逝波空間頻率很高的空間頻率很高的 物體物體例如例如 超大規(guī)模集成電路板超大規(guī)模集成電路板 線寬度線寬度 d 200nm 左右左右考慮一維情況考慮一維情況當當 600 nm時時顯然顯然: d 1 u =1d1 在自由空間無法向在自由空間無法向 z 方向傳遞方向傳遞 不能得到幾何像不能得到幾何像客客觀觀存存在在解決辦法解決辦法1）取較短波長的光波照明）取較短波長的光波照明2）用矢量理論解

17、決）用矢量理論解決 1cos u可能嗎？可能嗎？29三、衍射孔徑對角譜的影響三、衍射孔徑對角譜的影響研究研究存在衍射孔時，頻譜的傳播有何特點？存在衍射孔時，頻譜的傳播有何特點？ 后的光場后的光場衍射孔衍射孔 的的透過率函數透過率函數t（x,y）=10內內外外ut （x,y） = ui （x,y） t（x,y）ataif.t.f.t.f.t.=*（2-58）t2.4 2.4 平面波的角譜平面波的角譜（x,y）uiuttz無窮大不透明屏幕無窮大不透明屏幕30討討 論論v 孔徑無限大孔徑無限大t = atai=v 孔徑很小時孔徑很小時 t 展寬展寬 at也展寬也展寬ui （x,y）= 1ai = a

18、t = * t = tatai=* t結論結論1）孔徑被平面波照明時，孔徑后光場是孔徑）孔徑被平面波照明時，孔徑后光場是孔徑 的傅里葉變換的傅里葉變換2）孔徑）孔徑使角譜展寬使角譜展寬，增加了高頻分量，增加了高頻分量衍射波衍射波2.4 2.4 平面波的角譜平面波的角譜t = 1v 特例特例 孔徑由單位振幅平面波垂直照明孔徑由單位振幅平面波垂直照明 孔徑的影響是：孔徑的影響是： 使角譜展寬使角譜展寬31例例 題題已知：單位振幅平面波垂直照明一個寬度為已知：單位振幅平面波垂直照明一個寬度為 a 的狹縫的狹縫 求：孔徑后光場的角譜求：孔徑后光場的角譜解：解：1）寫出孔徑的透過率函數）寫出孔徑的透過率函數2）由照明情況，得到）由照明情況，得到at = * t = t3）孔徑后光場