流體力學第八章

1、第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動8-1 粘性流體中的應力粘性流體中的應力8-2 不可壓縮粘性流體運動的基本方程不可壓縮粘性流體運動的基本方程8-3 納維納維-斯托克斯方程的解析解斯托克斯方程的解析解8-4 層流邊界層流動的基本方程層流邊界層流動的基本方程8-5 平板層流邊界層的相似性解平板層流邊界層的相似性解8-6 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程8-7 湍流邊界層與混合邊界層湍流邊界層與混合邊界層 一、粘性流體中的應力一、粘性流體中的應力pzzpyypxxpyzpzypxzpxypzx pyx 8-1 8-1 粘性流體中的應力粘性流體中的應力i 應力作用面方向應

2、力作用面方向j 應力方向應力方向應力正方向的規(guī)定應力正方向的規(guī)定: :應力的符號應力的符號 pij ij （或（或 ij ij ）二、廣義牛頓內摩擦定律二、廣義牛頓內摩擦定律 正的正應力沿作用面外法向；正的正應力沿作用面外法向；若作用面外法向逆坐標軸方向若作用面外法向逆坐標軸方向, ,則正的切應力逆坐標軸方向；則正的切應力逆坐標軸方向；若作用面外法向沿坐標軸方向若作用面外法向沿坐標軸方向, ,則正的切應力沿坐標軸方向；則正的切應力沿坐標軸方向；第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動流體內一點的應力有九個分量流體內一點的應力有九個分量zzzyzxyzyyyxxzxyxxppp

3、pppppp Pjiijpp 由微元體的力矩平衡可證切應力的由微元體的力矩平衡可證切應力的對稱性對稱性8.1 8.1 粘性流體中的應力粘性流體中的應力其中其中應力張量應力張量切應力互等定律切應力互等定律)(yuxvppyxxy例如例如: : xoy平面內的切應力與角變形速度關系平面內的切應力與角變形速度關系xyxyp2)(21yuxvxy即有即有角變形速度角變形速度1. 1. 建立應力與變形速度的關系建立應力與變形速度的關系2. 2. 測量速度比測量應力方便測量速度比測量應力方便意義：意義：8.1 8.1 粘性流體中的應力粘性流體中的應力二、廣義牛頓內摩擦定律二、廣義牛頓內摩擦定律 )(yux

4、vppyxxy)(zvywppzyyz)(xwzuppxyzx牛頓流體切應力牛頓流體切應力xuzwyvxuppxx2)(32yvzwyvxuppyy2)(32zwzwyvxuppzz2)(32牛頓流體正應力牛頓流體正應力（流體的本構方程）（流體的本構方程）)(31zzyyxxpppp其中其中不可壓縮流體的正應力不可壓縮流體的正應力? ?8.1 8.1 粘性流體中的應力粘性流體中的應力二、廣義牛頓內摩擦定律二、廣義牛頓內摩擦定律 1. 1. 粘性流體微團受力分析粘性流體微團受力分析8-2 8-2 不可壓縮粘性流體運動的基本方程不可壓縮粘性流體運動的基本方程2. 應力形式的運動方程應力形式的運動方

5、程3. 3. N-S方程方程第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動一、一、Navier-Stokes (N-S)方程方程2dyyppyyyy2. 應力形式的運動方程應力形式的運動方程zpypxpfdtduzxyxxxxzpypxpfdtdvzyyyxyyzpypxpfdtdwzzyzxzz代入本構關系式后得到運動方程代入本構關系式后得到運動方程)(yuxvppyxxyxuzwyvxuppxx2)(328.2 不可壓縮粘性流體運動的基本方程不可壓縮粘性流體運動的基本方程)(1)(1)(1222222222222222222zwywxwzpfdtdwzvyvxvypfdtdvz

6、uyuxuxpfdtduzyx連續(xù)性方程連續(xù)性方程0zwyvxu3. N-S3. N-S方程方程不可壓縮粘性流體的運動方程不可壓縮粘性流體的運動方程8.2 不可壓縮粘性流體運動的基本方程不可壓縮粘性流體運動的基本方程二、求解二、求解N-SN-S方程的定解條件方程的定解條件 8.2 不可壓縮粘性流體運動的基本方程不可壓縮粘性流體運動的基本方程2 2、近似解、近似解1 1、精確解、精確解3 3、數(shù)值解、數(shù)值解求解求解N-SN-S方程的途徑方程的途徑定解條件定解條件2 2、邊界條件、邊界條件1 1、非定常流動的初始場、非定常流動的初始場在特殊條件下可得到在特殊條件下可得到N-SN-S方程的解析解方程

7、的解析解例如例如: :兩平行平板間的定常層流流動兩平行平板間的定常層流流動第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動8-3 納維納維-斯托克斯方程的解析解斯托克斯方程的解析解一、斜平面上液膜的定常流動一、斜平面上液膜的定常流動 邊界條件邊界條件hyyu , 0忽略液面摩擦力忽略液面摩擦力壁面流體無滑移壁面流體無滑移0, 0uy, uUyh液體液體上表面上表面與板同速與板同速U U二階偏微分方程二階偏微分方程需要兩個邊界條件需要兩個邊界條件4.10 邊界層流動、邊界層流動、邊界邊界 層分離及物體阻力層分離及物體阻力4-9 4-9 縫隙流動縫隙流動習題習題8-5：解：解N-SN-S

8、方程求平板間的速度分布方程求平板間的速度分布)(1222222zuyuxuxpfzuwyuvxuutux)(1222222zvyvxvypfzvwyvvxvutvy)(122222zwywxwzpfzwwywvxwutwz由流動的特性由流動的特性0, 0, 0, guwzt f充分發(fā)展流動充分發(fā)展流動 ，由連續(xù)性方程，由連續(xù)性方程0 xu 0v二維、定常二維、定常u 僅是僅是 y 的函數(shù)的函數(shù)8.3 納維-斯托克斯方程的解析解需要求解的方程組成為需要求解的方程組成為邊界條件邊界條件hyUuhyu , ; , 0221sincos0ugpyxpgypz Cxpyu122已知已知u 僅是僅是 y

9、的函數(shù)，而的函數(shù)，而 p/ x 僅是僅是x 的函數(shù)的函數(shù)2122CyCyCu8.3 納維-斯托克斯方程的解析解二、無限長同心圓柱面之間的定常流動。二、無限長同心圓柱面之間的定常流動。8.3 納維-斯托克斯方程的解析解21 dduprr22221 ddd1 d0dduprruuurrrr222122221RRruRRr邊界條件邊界條件u=0，r=R2外外壁面無滑移壁面無滑移u=R1，r=R1內壁面同速內壁面同速vr=vz =0, v= u(r)fr = f= fz=0/= 0r、方向運動方程8.3 納維-斯托克斯方程的解析解三、無限大平板在自身平面內啟動所帶動的流體運動三、無限大平板在自身平面內

10、啟動所帶動的流體運動p= C v= w= 0, u=u(y, t)/x= /z= 022uuty 0, 0, 00, 0, , 0tyutyuUyu 定解條件定解條件x方向運動方程方向運動方程量綱分析量綱分析 u/U= f (, , y, t)8.3 納維-斯托克斯方程的解析解三、無限大平板在自身平面內啟動所帶動的流體運動三、無限大平板在自身平面內啟動所帶動的流體運動常微分方程常微分方程2yt ufU20ff邊界條件邊界條件(0)1f( )0f 用相似性變量用相似性變量2 021 ed1 erfuU 相似性解相似性解 y U x u（y）hho由于板的運動產生的流動由于板的運動產生的流動 y

11、x u（y）hho由于壓強梯度產生的流動由于壓強梯度產生的流動 y U x u（y）hho例：例：兩平行平板間的定常層流流動兩平行平板間的定常層流流動均質不可壓縮均質不可壓縮, ,不計質量力不計質量力由于板的運動和壓強梯度產生的流動由于板的運動和壓強梯度產生的流動8.3 納維-斯托克斯方程的解析解解解N-SN-S方程求平板間的速度分布方程求平板間的速度分布)(1222222zuyuxuxpfzuwyuvxuutux)(1222222zvyvxvypfzvwyvvxvutvy)(122222zwywxwzpfzwwywvxwutwz由流動的特性由流動的特性0 , 0 , 0 , 0ftwzu充分

12、發(fā)展流動充分發(fā)展流動 ，由連續(xù)性方程，由連續(xù)性方程0 xu 0v二維、定常、不計質量力二維、定常、不計質量力u 僅是僅是 y 的函數(shù)的函數(shù)8.3 納維-斯托克斯方程的解析解需要求解的方程組成為需要求解的方程組成為邊界條件邊界條件hyUuhyu , ; , 000122zpypxpyu y U x u（y）hhoCxpyu122已知已知u 僅是僅是 y 的函數(shù)，而的函數(shù)，而 p 僅是僅是x 的函數(shù)的函數(shù)2122CyCyCu)(2)(222hyhUhyCu8.3 納維-斯托克斯方程的解析解3 3、若、若dp/dx 0 0，U 0 1 1、若、若dp/dx=0，U 0)(2hyhUu)(2)(212

13、2hyhUyhdxdpu2 2、若、若dp/dx 0 0，U=0)(2122yhdxdpu庫特流動庫特流動關于常數(shù)關于常數(shù)C 和和U)(2)(222hyhUhyCu y U x u（y）hho y x u（y）hho泊肅葉流動泊肅葉流動 y U x u（y）hho庫特庫特- -泊肅葉流動泊肅葉流動8.3 納維-斯托克斯方程的解析解 3 02 01 122zpypxpgyuapp 由連續(xù)性方程由連續(xù)性方程0 xu已知已知gftwvzux , 0 , 0 , 0需要求解的方程組成為需要求解的方程組成為例例.以常速以常速U垂直向上運動的皮帶表面油膜厚度垂直向上運動的皮帶表面油膜厚度h。設油膜。設油膜

14、在皮帶及自身重力作用下作定常層流運動，忽略空氣與在皮帶及自身重力作用下作定常層流運動，忽略空氣與油膜表面的切應力，求油膜內的速度分布。油膜表面的切應力，求油膜內的速度分布。解解)(xpp 在液面壓強不隨在液面壓強不隨x變化變化需要求解的方程組成為需要求解的方程組成為22d ugdy邊界條件邊界條件0 ,yUuhyyu , 02122guyC yC1()2guyh yU積分得積分得 8-4 8-4 層流邊界層流動的基本方程層流邊界層流動的基本方程一、邊界層厚度一、邊界層厚度、位位移厚度、動量損失厚度移厚度、動量損失厚度物面繞流物面繞流 根據粘性作用大小區(qū)分根據粘性作用大小區(qū)分 為邊界層流和外部勢

15、流為邊界層流和外部勢流Prandtl(1904)Prandtl(1904) 具有很小摩擦的流體運動具有很小摩擦的流體運動第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動2. 2. 邊界層厚度邊界層厚度 3. 3. 邊界層排移厚度邊界層排移厚度 * *4. 4. 邊界層動量損失厚度邊界層動量損失厚度 * * *1. 1. 邊界層的概念邊界層的概念層流邊界層外部勢流過渡區(qū)湍湍流邊界層粘性作用顯著，屬于粘性流有旋流動區(qū)。粘性作用顯著，屬于粘性流有旋流動區(qū)。邊界層外部流動邊界層外部流動邊界層內部流動邊界層內部流動不受壁面影響，粘性力很小，可用勢流理論。不受壁面影響，粘性力很小，可用勢流理論。

16、U8.4 層流邊界層流動的基本方程例：層流例：層流2/1Re5xxxRe5Re Re的物理意義的物理意義: : 慣性力慣性力/ /粘性力粘性力 & 流態(tài)判斷準則流態(tài)判斷準則 外部勢流外部勢流U xy065103103RexCr2800ReCr2. 邊界層厚度邊界層厚度 u=0.99U圓管流與圓管流與邊界層流速度剖面相似邊界層流速度剖面相似8.4 層流邊界層流動的基本方程UxxReURe流態(tài)判斷準則流態(tài)判斷準則雷諾數(shù)雷諾數(shù)3. 3. 位移厚度位移厚度 * *0*)1 (dyUu*u(x,y)00*udyUdyUyxU(x)物理意義物理意義外層外層流體被邊界層排擠流體被邊界層排擠的距離的距

17、離例例. .風洞的壁面阻塞效應風洞的壁面阻塞效應8.4 層流邊界層流動的基本方程4. 4. 動量損失厚度動量損失厚度 * * *U(x)u(x,y)yx2*200UUudyu dy0*)1 (dyUuUu* *物理意義物理意義邊界邊界 層流體的動量損失層流體的動量損失8.4 層流邊界層流動的基本方程 1. 1. 邊界層的基本特征邊界層的基本特征（1 1） L（2 2）（3 3）邊界層厚度沿著流動方向增加）邊界層厚度沿著流動方向增加（4 4）邊界層內粘性力與慣性力同數(shù)量級）邊界層內粘性力與慣性力同數(shù)量級xuyuyx0L 二、二、邊界層邊界層方程方程8.4 層流邊界層流動的基本方程 外部勢流外部勢

18、流U xy0vLULyvxu邊界層流邊界層流UvL 1L例：例：水，水，L=0.5m，U=0.2m/s，Re=1 105， 3mm8.4 層流邊界層流動的基本方程8.4 層流邊界層流動的基本方程2. 2. 邊界層微分邊界層微分方程方程)(12222yuxuxpyuvxuu)(12222yvxvypyvvxvu0yvxu根據邊界層的特征進行量級分析以簡化方程根據邊界層的特征進行量級分析以簡化方程二元不可壓縮定常流動邊界層二元不可壓縮定常流動邊界層方程（不計質量力）方程（不計質量力）（1）（2）)(12222yuxuxpyuvxuuU2/LvU/ U2/ L U/L2 U/ 2各項除以各項除以U2

19、/L，且，且Re=UL/ 1vL/U 1 /UL L/U 2當當Re 2 (大雷諾數(shù)大雷諾數(shù)) 時可略去括弧內第一項時可略去括弧內第一項11/Re1/ 2Re例：例：水，水，L=0.5m，U=0.2m/s，Re=1e5， 3mmx方向運動方程方向運動方程量級分析量級分析UvL8.4 層流邊界層流動的基本方程)(12222yvxvypyvvxvuUv/Lv2/ v/L2 v/ 2各項除以各項除以U2/L /Re 1/Re當當Re 2時時0ypv/Uv2L/U2 v/LU2 vL/ 2U2 1 /ULUvLy方向運動方向運動方程量級分析方程量級分析8.4 層流邊界層流動的基本方程邊界層內邊界層內0

20、yp U xy0p(x)p8.4 層流邊界層流動的基本方程（2）221yuxpyuvxuu22yudxdUUyuvxuu0yvxu固定壁面的邊界條件為固定壁面的邊界條件為二元不可壓縮定常二元不可壓縮定常層流邊界層的微分方程層流邊界層的微分方程0 , 0vuydxdUUdxdp1)( ,xUuy零壓梯度邊界層零壓梯度邊界層0 pUUxx8.4 層流邊界層流動的基本方程（1）例例. 密度為常數(shù)的均勻流速度密度為常數(shù)的均勻流速度U，平行流過寬，平行流過寬b 的平板。的平板。平板尾緣速度由零線性變化至平板尾緣速度由零線性變化至U，不計質量力求平板上，不計質量力求平板上表面總摩擦力。設表面總摩擦力。設

21、y=h處處 y方向的速度分量遠小于方向的速度分量遠小于U。解解. . 定常二元不可壓縮流，應用動量方程求阻力定常二元不可壓縮流，應用動量方程求阻力控制體控制體F F平板所受總切向力平板所受總切向力Uhb21UhbUhb21質量流量質量流量8.4 層流邊界層流動的基本方程F FUhbU21動量流量動量流量hbU231hbU2)2131(222hbUhbUhbUFhbU261邊界層內的壓強為常數(shù)邊界層內的壓強為常數(shù)0 pUUxx8.4 層流邊界層流動的基本方程一、零壓梯度層流邊界層一、零壓梯度層流邊界層 yx0L 二、二、層流邊界層的層流邊界層的相似性解相似性解第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動

22、粘性不可壓縮流體的流動8-5 平板層流邊界層的相似性解平板層流邊界層的相似性解相似性變量相似性變量相似性解相似性解Uyx( )ufU20fff0 pUUxx邊界層常微分方程邊界層常微分方程(0)0f(0)0f ( )1f 邊界條件邊界條件邊界層內的粘性力邊界層內的粘性力與慣性力為同量級與慣性力為同量級 2x/U如果以如果以U和和 度量速度量速度度u與距離與距離y，各斷，各斷面的速度分布相似面的速度分布相似u/U=f(y/ )vyxvyx, ,2平板平板層流邊界層的層流邊界層的微分方程解法微分方程解法(二元不可壓縮定常二元不可壓縮定常)0 , 0vuy)( ,常數(shù)Uuy22yuyuvxuu設為半

23、無限長平板設為半無限長平板, , 引入流函數(shù)引入流函數(shù)),(1Uxyf)/(UxyfUxU 為常數(shù)為常數(shù), , 方程有相似性解方程有相似性解Uxy/其中相似性變量為其中相似性變量為 f ()和和布拉修斯解布拉修斯解Ufyu)(21ffxUxv),(2UyUxf8.5 平板層流邊界層的相似性解平板層流邊界層的相似性解( )5.05.0 xxxxURe( )1.7211.721xxxxURe20(0)0.332wxyuUUUfyxRe8.5 平板層流邊界層的相似性解平板層流邊界層的相似性解邊界層厚度邊界層厚度壁剪應力壁剪應力摩擦力和摩擦系數(shù)（單面、單位寬度）摩擦力和摩擦系數(shù)（單面、單位寬度）21.

24、32812DfLFCReU L2 0 d0.664LDwLU LFxRe, , 8-6 8-6 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程yx0pAdxDxCddsdpp)2/(UB )(ddppdx一、二元不可壓縮定常邊界層一、二元不可壓縮定常邊界層（不計質量力）（不計質量力）建立壁面切應力與速度分布的積分關系：建立壁面切應力與速度分布的積分關系：1.1.已知外部勢流條件；已知外部勢流條件；2.2.對控制體應用動量方程對控制體應用動量方程0udydxudydxdudy)(00質量流量質量流量dxudydxd)(0由由AC控制面流入的控制面流入的 x方向方向動量等于動量等于dxudydxdU)(0第

25、八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動 yx0pAdxDxCdB )(ddppdx02dyudxdyudxddyu)(0202Udsdpp)2/(dxudydxdU)(0動量流量動量流量dxudydxdUdxdyudxd)()(002對控制體應用動量定理對控制體應用動量定理， x方向動量方程方向動量方程8.6 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程dxudydxdUdxdyudxd)()(002 yx0pAdxDxCdUB )(ddppdx0dxdp0pddsdpp)2/(sin)2/(dsdppdppdpx方向動量方程方向動量方程 略去高階小量略去高階小量8.6 邊界層動量積

26、分方程邊界層動量積分方程 )()( 0002dxdUUudydxdUdyudxd應用外部勢流條件應用外部勢流條件dxdUUdxdp二、零壓強梯度、二、零壓強梯度、定常二元邊界層定常二元邊界層20*Udxd0dpdUUdxdx8.6 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程層流、湍流邊界層都適用的動量積分關系式層流、湍流邊界層都適用的動量積分關系式20*)*2(1*UdxdUUdxd應用動量積分關系式解平板邊界層，應用動量積分關系式解平板邊界層，U=C20*Udxd（1 1）根據邊界條件根據邊界條件U( )構造近似的構造近似的速度分布速度分布（2）將將壁面切應力壁面切應力表示為表示為的函數(shù)的函數(shù)零壓

27、強梯度邊界層零壓強梯度邊界層)(yfUu解解的動量積分方程得摩擦阻力的動量積分方程得摩擦阻力* 的函數(shù)的函數(shù)8.6 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程三、三、 層流平板邊界層層流平板邊界層332210ycycyccu由邊界條件定系數(shù)由邊界條件定系數(shù)1. y=0，u=0 2. y= 0，u=0，v=0，邊界層方程在壁面給出0022yyu c0=0c2=04. y=，=0 3. y=，u=U 331ccU23130cc 230U3)(2123yyUu&得速度分布和壁面切應力表達式得速度分布和壁面切應力表達式設設22yuyuvxuu8.6 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程動量損失厚度為

28、動量損失厚度為28039)1 (0*dyUuUu代入動量積分關系式代入動量積分關系式由由x=0，=0， 積分得積分得Ux1328022/1Re64. 4xx2/1*Re646. 0 xx2/1*Re74. 1xx應用動量積分關系式確定應用動量積分關系式確定(x)20*UdxdUdxd23280393)(2123yyUu230U8.6 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程2/120Re323. 0 xU壁面切應力（層流）壁面切應力（層流）2/12Re646. 0lDUlF長長 l，單位寬度的平板單面所受阻力，單位寬度的平板單面所受阻力(積分積分)平板摩擦阻力系數(shù)平板摩擦阻力系數(shù)2/1Re3 .

29、1lfC比較：湍流平板邊界層比較：湍流平板邊界層7/1Re0307. 0lfC例例. Re=106 Cfl=0.0013， Cft=0.0043230U2/1Re64. 4xxAUFCDf2218.6 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程例例. 20 C空氣以空氣以5m/s流過流過長長2m寬寬1m平板。設為層流邊界平板。設為層流邊界層，已知速度分布層，已知速度分布 （1）應用動量積分關系式求平板尾緣的邊界層厚度）應用動量積分關系式求平板尾緣的邊界層厚度 ; （2）求平板阻力）求平板阻力 。解解 (1)3)(2123yyUu28039)1 (0*dyUuUu230Uyu&代入動量積分關系

30、式求出代入動量積分關系式求出2/1Re64. 4xx平板尾緣平板尾緣(x=2m)邊界層厚度為邊界層厚度為m011. 0)105 . 152(264. 42/15例例題題(2) 求平板單側受到摩擦阻力求平板單側受到摩擦阻力 AUFCDf2212/1Re3 . 1lfC551067. 6105 . 125ReUllNFD048. 021067. 6125205. 13 . 152AUCFfD221 例例題題8.6 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程8-7 8-7 湍流邊界層與混合邊界層湍流邊界層與混合邊界層應用動量積分關系式解平板邊界層，應用動量積分關系式解平板邊界層，U=C20*Udxd1.

31、1. 根據邊界條件構造近似的根據邊界條件構造近似的速度分布速度分布2. 2. 將將壁面切應力壁面切應力表示為表示為的的函數(shù)函數(shù)零壓強梯度邊界層零壓強梯度邊界層)(yfUu解解的動量積分方程得摩擦阻力的動量積分方程得摩擦阻力* 的函數(shù)的函數(shù)第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動8.7 湍流邊界層與混合邊界層一、一、 湍流平板邊界層湍流平板邊界層動量積分需補充速度分布和壁面切應力公式動量積分需補充速度分布和壁面切應力公式7/1)(yUu切應力切應力 實驗證明，平板邊界層湍流和圓管湍流相似實驗證明，平板邊界層湍流和圓管湍流相似21/400.0225 ReUR ,Uumax對應，速度分布對應，速度分布( (參考參考4.6)4.6)1/50.072ReflC應用動量積分得平板（單側、長應用動量積分得平板（單側、長l）摩阻系數(shù)摩阻系數(shù))105 . 2105(Re75l * 20Udxd二、平板混合邊界層二、平板混合邊界層轉捩臨界雷諾數(shù)